LA ESFERA

1. LA ESFERA Francisco Molina Almodóvar Kevin Israel Peralta Angulo 2ºbachillerato A Exposición: 24-1-2012

2. DEFINICIÓN En geometría, una esfera es un lugar geométrico del espacio, limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro (O) de la esfera. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro.

3. Coordenadas esféricas. Se diferencia la distancia de un punto cualquiera de la esfera al centro de la misma tanto en longitud como en latitud

4. ECUACION DE LA ESFERA.

5. DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA • O(a,b,c); P(x,y,z) Punto cualquiera del cuerpo. Se expresa la igualdad R=d(O,P) en la que se verifican todos sus puntos. • d(O,P)=√[(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²] • R²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²

6. Dada la ec.general de la esfera en la que los coeficientes de x², y², z² son unos, para hallar el centro C y radio R se aplica la siguiente: • R²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)² • X²+y²+z²-2ax-2by-2cz+a²+b²+c²-R=0, donde ``a,b,c´´ son las coordenadas del centro(O). De donde se deduce la fórmula expuesta anteriormente: • x²+y²+z²+mx+ny+pz+q= 0

7. ``M,n,p´´ están relacionados con los valores del centro de la esfera • O(a,b,c)=(-m/2,-n/2,-p/2), • R= √[a²+b²+c²-q] a=-m/2 ; b=-n/2 ; c=-p/2

8. POSICIONES RELATIVAS.Secante, tangente y exterior. • 1º- Con respecto a una recta • 2º- Con respecto a un plano

9. SECANTE A LA ESFERA:Recta-----------------------------Plano d(O,r)<R d(O,π)<R

10. TANGENTE A LA ESFERA:Recta---------------------Planod(O,r)=R d(O,π)=R

11. EXTERIOR A LA ESFERA:Recta---------------------Planod(O,r)>R d(O,π)>R

12. EJEMPLO: halla los puntos comunes • DATOS: • π ≡ 2x-3y+z+1=0 ; • x²+y²+z²-4x-2y-6z+10= 0 • C(2,1,3); R=√ [2²+1²+3² -10]= 2 U • d(C, π)=(|2*2-3*1+1*3+1|)/ √ (2²+(-3²)+1²)=1,34 U • d(C, π)=1,34<R=2 • El plano es secante a la esfera y tienen una circunferencia en comun

13. DATOS: r≡(x-4)/2=(y-3)/2=(z-1)/(-3) ; • x²+y²+z²-2x+2y-4z-3=0 • C(1,-1,2); R= √[1²+(-1²)+2²+3]=3 • D(C,r)= │AC^v│/│v│ (AC Es un vector con origen en A y destino en C) • A(4,3,1)Єr; v( 2,2,-3) • AC(-3,-4,1) AC^v=C,r(10,-7,2) , AC^v=√153=3√17 • D(C,r)=3√17/√17 = 3=R • la recta es tangente a la esfera; por tanto, tienen un punto en común. • Forma paramétrica de la recta : • r ≡[ x=4+2t; y=3+2t; z=1-3t] tЄR • (4+2t) ²+(3+2t) ²+(1-3t) ²-2(4+2t)+2(3+2t)-4(1-3t)-3=0 • t²+2t+1=0; t=-1 P(2,1,4)

14. A modo de un par de curiosidades podemos decir… -Que se dice que el movimiento esférico es el movimiento perfecto , y que la palabra ESFERA proviene de un términogriego, que significa pelota.