Princip řešení úloh soustav těles s uvážením pasivních účinků

1. Princip řešení úloh soustav těles s uvážením pasivních účinků

2. Dvě tělesa A a B o hmotnostech mA, resp. mB a zanedbatelných rozměrů se nacházejí na nakloněné rovině. Úhel sklonu roviny k vodorovnému směru je b. Těleso A je proti sklouznutí uchyceno k rámu prutem. Prut je na obou koncích připojen kloubovou vazbou a je po své délce nezatížen. Hmotnost prutu je vůči ostatním tělesům zanedbatelná. Na těleso B má působít síla F, která s nakloněnou rovinou svírá úhel a. Součinitel tření mezi tělesy i mezi tělesem B a nakloněnou rovinou je f. Určete velikost síly F tak, aby nedošlo k pohybu těles soustavy. F prut a A b B

3. F prut a A prut A b B B UVOLNĚNÍ (těles) a) osamostatnit každétěleso

4. prut F GB GA A B UVOLNĚNÍ (těles) a) osamostatnit každétěleso b) zavést akční síly hmotnost prutu je zanedbatelná,tzn. G = 0 N Kromě síly F ze zadání zavedeme tíhové síly (svisle) GA = mAg, GB = mBg

5. Těleso B na dotykovou plochu zavedeme normálovou reakci NA (princip akce a reakce) prut Těleso A do kloubu C zavedeme vazbovou reakci RC (princip akce a reakce, tj. opačným směrem) F GB GA A NA RC B NA NB Těleso A na dotykovou plochu zavedeme normálovou reakci NA Těleso B na dotykovou plochu zavedeme normálovou reakci NB UVOLNĚNÍ (těles) RD RC a) osamostatnit každétěleso C D b) zavést akční síly Prut  není zatížen po své délce  bude přenášet síly ve směru spojnice kloubových vazeb v bodech C a D. c) zavést síly ve vazbách V první řadě zavádíme do vazeb síly, bez ohledu na působící pasivní účinky. C

6. Těleso B dotyková plocha se vůči nehybnému tělesu A pohybuje nahoru  třecí síla TA směřuje dolů prut F GB GA A NA pro všechny síly jedné vazby musí platit zákon akce a reakce TA RC TB směr pohybu B NA NB TA Těleso B vůči nehybné podložce se pohybuje nahoru  třecí síla TB směřuje dolů Těleso A tato dotyková plocha se vůči tělesu B pohybuje dolů  třecí síla TA směřuje nahoru UVOLNĚNÍ (těles) RD RC a) osamostatnit každétěleso C D b) zavést akční síly c) zavést síly ve vazbách d) zavést pasivní účinky vazeb Nejprve určíme předpokládaný pohyb těles soustavy  v zadání není určen  zvolíme: pohyb tělesa B nahoru(za silou F) Poté zavedeme pasivní účinkyproti vzájemnému pohybu těles ve vazbě  zavádíme pouze do vazeb s pasivním účinkem zde jsou to třecí síly na dotykových plochách C

7. prut F GB GA A NA TA RC TB B NA NB TA Tělesa A a B jsou zanedbatelných rozměrů  tzn. jsou velmi malá Výsledek UVOLNĚNÍ RD RC C D Pro každétěleso máme jeho vlastní silovou soustavu pro kterou budeme v dalším psát rovnice rovnováhy Každétěleso je samostatně a veškeré spolupůsobení s ostatními tělesy nahrazují vazbové síly Proto identifikujmepříslušné silové soustavy C V tomto případě máme pro každé tělesosilovou soustavu se společným působištěm

8. prut F GB a b GA b NA TA RC TB b NA NB TA ROVNICE ROVNOVÁHY RD RC C D Pro každou silovou soustavu příslušné rovnovážné rovnice Ve finále máme celkem 5 rovnic(protože jedna je triviální) ale až 7 neznámých: RC, RD, NA, TA, NB, TB, F Chybějící rovnice plynou ze vztahů pro uvažované pasivní účinky

9. prut F GB GA NA TA RC TB NA NB TA ROVNICE PASIVNÍCH ÚČINKŮ RD RC C D Máme 2 vazby s uvažovanými pasivními účinky:  dotyk těles A a B - smykové tření:koef. tření f, normálový přítlak NA  dotyk tělesa B s podložkou - smykové tření:koef. tření f, normálový přítlak NB

10. ŘEŠENÍ SOUSTAVY ROVNIC Výsledná soustava rovnic sestává z:  rovnic rovnováhy těles (zde 5 rovnic)  vztahů pasivních účinků (zde 2 rovnice) Vzniklá soustava rovnic je soustavou regulární, tzn. počet neznámých odpovídá počtu rovnic  provedeme řešení soustavy pro neznámé: F , NA , NB , TA , TB , RC, RD  provedeme rozbor a kontrolu výsledků

11. ROZBOR A KONTROLA VÝSLEDKŮ U soustav s pasivními účinky má znamenko „-“ podstatně širší význam, než je tomu u soustav bez pasivních účinků, tzn. že:  má-li být výsledek správně, tj. určovat potřebnou hodnotu síly F, musí být hodnota F smysluplná; v tomto případě je předpokládaný pohyb tělesa B směrem nahoru způsobován sílou F (ostatní akční síly by pohybovaly tělesem směrem dolů), takže hodnota F musí být kladná, jinak by nedošlo k předpokládanému pohybu (záporný výsledek může ovšem u některých úloh znamenat, že pro stav požadovaný zadáním může být hledaná síla nulová)  značnou pozornost ve výsledcích je třeba věnovat hodnotám reakcí, které se uplatňují ve vztazích pro pasivní účinky;v tomto případě jsou to normálové síly NA a NB, ze kterých jsou určeny třecí síly TA a TB; obě třecí síly jsme zavedli proti předpokládanému pohybu a tyto síly splní náš předpoklad budou-li kladné, takže podle vztahů pro třecí síly musí být kladné normálové reakce, neboť koef. tření bude vždy kladný (pokud tato podmínka není splněna je nutno v uvolnění otočit orientaci příslušné reakce a řešení opravit)  v neposlední řadě je nutno prověřit, zda podmínky zadání nebudou splněny i pro opačný směr pohybu;v tomto případě jsme původně předpokládali, že síla F bude táhnout nahoru tak, že pohne tělesem B nahoru; mohla by ale nastat situace, že pro malou nebo nulovou sílu F se těleso B bude posouvat dolů vlivem své tíhy; k zabránění tomuto pohybu pak postačí jiná než námi zjištěná velikost síly F, kterou získáme provedeme-li řešení s předpokládaným pohybem směrem dolů (síla F bude orientována nahoru)