Persamaan Diferensial Orde-1

1. PersamaanDiferensial Orde-1

2. Pengertian-Pengertian

3. Pengertian Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagaiberikut: 1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasukpembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas. 2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. 3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Contoh: adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

4. adalah karena turunan Solusi Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi darisuatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya. adalah solusi dari persamaan Contoh: dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh Persamaan terpenuhi. Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.

5. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan

6. PemisahanPeubah Jika pemisahanpeubahini bisa dilakukan maka persamaandiferensialdapat kita tuliskan dalam bentuk Apabila kita lakukan integrasi,kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu Suku-sukuterbentukdaripeubah yang berbeda

7. Persamaan ini dapat kita tuliskan atau sehingga Contoh: yang kemudiandapatkitatuliskansebagaipersamaandengan peubah terpisah Integrasikeduaruasmemberikan:

8. Contoh: Pemisahan peubah akan memberikan bentuk atau Integrasikeduaruas: atau

9. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

10. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk Inidapatdijadikansebagai peubah bebas baru yang akanmemberikan dan Pemisahanpeubah: atau:

11. Contoh: Usahakan menjadi homogen Peubah baru v = y/x Peubahterpisah atau

12. Kita coba hitung Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan vsebagai fungsi x. Sukuke-duainiberbentuk 1/x dan kita tahu bahwa Hasilhitunganinidapatdigunakanuntukmengubahbentukpersamaanmenjadi Integrasike-duaruas:

13. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

14. Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol Olehkarenaitu persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasanakan langsung dikaitkandengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik. Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai Dalamaplikasipadaanalisisrangkaianlistrik, f(t) tidakterlalubervariasi. Mungkiniabernilai 0, ataumempunyaibentuksinyalutamayang hanyaadatiga, yaituanaktangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalahbahwaiamerupakanbentukkomposityang merupakangabungandaribentukutama.

15. Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian. Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak. Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogenadalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen

16. Hal ini dapat difahami karena jika f1(t)memenuhi persamaan yang diberikan dan fungsi f2(t)memenuhipersamaanhomogen, maka y = (f1+f2) akan juga memenuhipersamaan yang diberikan, sebab Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalahjumlahdarisolusi khusus dan solusi homogen.

17. SolusiHomogen Persamaanhomogen Jika yaadalah solusinyamaka Integrasikeduaruasmemberikan sehingga Inilahsolusihomogen

18. Jikasolusikhususadalahyp , maka Bentukf(t) inimenentukanbagaimanabentukyp. Dugaanbentuk-bentuksolusiyp yang tergantungdarif(t) inidapatdiperolehkarenahanyadenganbentuk-bentuksepertiitulahpersamaandiferensialdapatdipenuhi Jika dugaan solusi total adalah Masihharusditentukanmelaluikondisiawal.

19. Contoh: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V. Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol. Penerapan kondisi awal: Solusi total:

20. Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap. Solusi homogen: Solusi khusus: karenaf(t) = 12 Solusi total (dugaan): Penerapan kondisi awal: Solusi total:

21. Pada kondisi awal v = 0 V,suatu analisis transien menghasilkan persamaan Contoh: Carilahsolusitotal. Solusi homogen: Solusi khusus: Solusi total (dugaan): Penerapan kondisi awal: Solusi total :

22. Course Ware PersamaanDiferensial Orde-1 SudaryatnoSudirham