1 / 22

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan)

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan). 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A –1 = A T disebut sebagai matriks ortogonal .

basia-santiago
Download Presentation

BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan)

  2. 8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A–1 = AT disebut sebagai matriks ortogonal. Dari definisi kita dapat menyimpulkan bahwa suatu matrik persegi dikatakan ortogonal jika dan hanya jika AAT = ATA = I

  3. Contoh 8.12 matriks ortogonal Buktikan bahwa Bukti

  4. Karena ATA = I, maka terbukti bahwa matriks A adalah matriks ortogonal

  5. Teorema 8.4.1 Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen untuk sebuah matriks A, n x n. a) A adalah matriks ortogonal Vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada Rnyang memiliki hasilkali dalam Euclidean. c) Vektor-vektor kolom A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada Rnyang memiliki hasilkali dalam Euclidean.

  6. Contoh 8.13 Tunjukkan bahwa adalah ortogonal dengan menunjukkan: a) vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R2 vektor-vektor kolom matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R2 Penyelesaian

  7. a) Karena 〈r1, r2〉 = 0 dan ||r1|| = ||r2|| = 1, berarti vektor- vektor baris dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal.

  8. b) Karena 〈c1, c2〉 = 0 dan ||c1|| = ||c2|| = 1, berarti vektor- vektor kolom dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal.

  9. Teorema 8.4.2 a) Invers dari sebuah matriks matriks ortogonal adalah sebuah matriks ortogonal Hasilkali matriks-matriks ortogonal akan menghasilkan sebuah matriks ortogonal Jika A ortogonal, maka det (A) = 1 atau det (A) = –1

  10. Contoh 8.14 Telah ditunjukkan pada contoh 8.13 bahwa adalah ortogonal, sehingga berdasarkan teorema 8.4.2c, det (A) = 1 atau det (A) = –1

  11. 8.4.1 Matriks Koordinat Dari teorema sebelumnya, jika S = {v1, v2, …, vn } adalah sebuah basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v didalam V dapat dinyatakan secara unik sebagai sebuah kombinasi linier dari vektor-vektor basis, v = k1v1 + k2v2 + … + knvn Skalar k1, k2, …, kn adalah koordinat-koordinat v relatif terhadap S dan vektor (v)S =(k1, k2, …, kn) adalah vektor koordinat dari v relatif terhadap S.

  12. Jika (v)S ditulis dalam bentuk matriks n x 1, Selanjutnya [v]S didefinisikan sebagai matriks koordinat dari vektor v relatif terhadap S Contoh 8.15 Tentukan matriks koordinat v relatif terhadap S = {v1, v2, v3} jika v = (2, –1, 3); v1 = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3,) Penyelesaian

  13. v = k1v1 + k2v2 + k3v3 (2, –1, 3) = k1 (1, 0, 0) +k2 (2, 2, 0) + k3 (3, 3, 3) k1 + 2k2 +3k3 = 2 0k1 + 2k2 +3k3 = –1 0k1 + 0k2 +3k3 = 3

  14. 8.4.2 Perubahan Basis Jika ada perubahan basis sebuah ruang vektor V dari basis lama B ke basis baru B, maka matriks koordinat v lama, yaitu [v]B berubah menjadi koordinat baru [v]B. Misal B = {u1, u2} adalah basis lama dan B = {u1, u2} adalah basis baru untuk R2. Matriks-matriks koordinat untuk vektor-vektor basis yang baru relatif terhadap basis yang lama adalah, dan Untuk medapatkan nilai a, b, c, dan d selesaikan persamaan berikut. u1 = au1 + bu2 u2 = cu1 + du2

  15. Selanjutnya didapat matriks transisi dari basis baru B ke basis lama B, P = ] … [ [u2]B [un]B [u1]B Hubungan matriks koordinat lama [v]B dengan matriks koordinat baru [v]B dari sebuah vektor v yang sama adalah, [v]B = P[v]B

  16. Contoh 8.16 Diketahui basis B = {u1, u2} dan basis B = {u1, u2} untuk R2. Jika u1 = (1, 0); u2 = (0, 1); u1 = (1, 1); u2 = (2, 1), tentukan: a) matriks transisi dari B ke B Penyelesaian b) Tentukan [v]B, jika

  17. u1 = au1 + bu2  (1, 1) = a(1, 0) + b(0, 1) 1 = 1a + 0b  a = 1 1 = 0a + 1b  b = 1 a) u2 = cu1 + du2  (2, 1) = c(1, 0) + d(0, 1) 2 = 1c + 0d  c = 2 1 = 0c + 1d  d = 1 Matriks transisi dari B ke B b)

  18. Contoh 8.17 Diketahui basis B = {u1, u2} dan basis B = {u1, u2} untuk R2. Jika u1 = (1, 0); u2 = (0, 1); u1 = (1, 1); u2 = (2, 1), tentukan matriks transisi dari B ke B Penyelesaian u1 = au1 + bu2  (1, 0) = a(1, 1) + b(2, 1) 1 = 1a + 2b 0 = 1a + 1b Didapat a = –1 dan b = 1

  19. u2 = cu1 + du2  (0, 1) = c(1, 1) + d(2, 1) 0 = 1c + 2d 1 = 1c + 1d Didapat c = 2 dan d = –1 Matriks transisi dari B ke B

  20. Teorema 8.4.3 Jika P adalah matriks transisi dari sebuah basis B ke sebuah basis B untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, maka: a) P dapat dibalik (invertible) P-1 adalah matriks transisi dari dari B ke B Kesimpulan: Jika matriks transisi dari basis baru B ke sebuah basis lama B adalah P, maka matriks transisi dari basis lama B ke basis baru B adalah P-1 Jadi matriks transisi contoh 8.17 dapat langsung dicari dengan cara melakukan proses invers pada matriks P

  21. 8.4.3 Perubahan Basis Ortonormal Teorema 8.4.4 Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal lainnya untuk sebuah ruang hasilkali dalam, maka P adalah sebuah matriks ortogonal. Jadi P-1 = PT

  22. Latihan 1. Buktikan bahwa matriks berikut adalah matriks ortogonal 2. Tentukan matriks koordinat untuk v relatif terhadap S = {v1, v2, v3} jika v = (1, 2, –3); v1 = (1, 1, 0), v2 = (2, 0, 2), v3 = (1, 1, 1)

More Related