LA CLASE VIRTUAL

1. LA CLASE VIRTUAL LOS NUMEROS COMBINATORIOS

2. NUMEROS COMBINATORIOS • Se recuerda que el factorialdel número natural n es el producto de los números naturales de 1 a n, esto es, n!=12  3  …  n y que por convenio 0!=1

3. NUMEROS COMBINATORIOS • Se llama permutación de n elementos a1, a2, a3, …, an a cualquier ordenación de los mismos. Por ejemplo: Las permutaciones de las 3 letras pqr son pqr, qrp, rpq, qpr,rqp,prq. • Teorema:El número de permutaciones de n elementos vale n! • En el ejemplo 3!=6

4. NUMEROS COMBINATORIOS • En lugar de ordenaciones de los n elementos podríamos pensar en ordenaciones de k elementos extraídos de los n dados. Por ejemplo: las permutaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez son pq, pr, qr, qp, rp, rq • Teorema: El número de permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez vale n!/(n-k)!.

5. NUMEROS COMBINATORIOS • En nuestro ejemplo 3!/(3-2)!=6/1=6 • Nota: Si en las permutaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admitiera repeticiones el número de tales permutaciones sería nk • En nuestro ejemplo 32=9: pp, pq, pr, qp, qq, qr, rp, rq, rr

6. NUMEROS COMBINATORIOS • Se llama combinacióna una permutación en la que el orden no tiene relevancia y sólo qué elementos la forman • Por ejemplo: Sólo hay una combinación de las tres letras pqr, precisamente pqr. Las combinaciones de pqr tomadas de dos en dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno p, q, r

7. NUMEROS COMBINATORIOS • Teorema: El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k viene dado por la expresión • El primer miembro de la expresión es la notación del número combinatorio n sobre k definido por el segundo miembro.

8. NUMEROS COMBINATORIOS • Nota: Si en las combinaciones de n elementos tomados de k en k cada vez se admiten repeticiones, el número de tales combinaciones viene dado por

9. NUMEROS COMBINATORIOS • Ejemplo: El número de combinaciones de las tres letras pqr tomadas de dos en dos cada vez es y si se admite repeticiones de letras

10. NUMEROS COMBINATORIOS • El número combinatorio se puede calcular también de la forma

11. NUMEROS COMBINATORIOS • Se justifica lo anterior mediante

12. NUMEROS COMBINATORIOS • Se tienen las siguientes propiedades:

13. NUMEROS COMBINATORIOS • La última propiedad permite obtener los números combinatorios de forma recursiva, dando origen al llamado triángulo de Pascal o de Tartaglia:

14. NUMEROS COMBINATORIOS • Los números combinatorios aparecen como coeficientes del binomio de Newton:

15. NUMEROS COMBINATORIOS • Utilizando la anterior expresión se puede probar inmediatamente:

16. Permutaciones sin repetición • Denominamos permutaciones ordinarias o sin repetición de n elementos, a cada uno de los distintos grupos que pueden formarse de manera que: • En cada grupo entran todos los n elementos. • - Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de los elementos.

17. Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo representaremos por Pn y se calculará: Pn=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 a este  número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos por n! , esto es:                                    n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 Si n = 1, se define 1!=1 Si n = 0  se define 0!=1

18. EJEMPLOS

19. Permutaciones con repetición. Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta el último que se repite k veces ( a+b+c+....k = n); todas las ordenaciones posibles de estos n elementos. Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento ( distinguible ). Notaremos a este tipo de permutación como: y se calcularán:

20. EJEMPLOS:

21. Combinaciones Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m,  (m<=n) a las distintas agrupaciones de m elementos de manera que: - En cada grupo entren m elementos distintos - Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento. El número de combinaciones ordinarias de m elementos tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula: