1 / 79

Prof. dr. sc. Pavao Marović

Prof. dr. sc. Pavao Marović. Otpornost materijala II Šk. god. 2008/2009. 3. SLOŽENA NAPREZANJA. Promatramo ravni štap s općim slučajem opterećenja:. F 1. F 2. F 3. T. F i. F n.

benoit
Download Presentation

Prof. dr. sc. Pavao Marović

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala II Šk. god. 2008/2009

  2. 3. SLOŽENA NAPREZANJA Promatramo ravni štap s općim slučajem opterećenja: F1 F2 F3 T Fi Fn Ako štap presiječemo, onda iz uvjeta ravnoteže presječenog dijela štapa dobivamo unutarnje rezne sile koje obzirom na težište poprečnog presjeka mogu biti prikazane kao glavni vektor unutarnjih sila i glavni moment. 3. Složena naprezanja

  3. F1 T Fi Drugim riječima, djelovanje odbačenog dijela zamjenjujemo glavnim vektorom unutarnjih sila (R) i glavnim momentom (M). z M My Nx x Mz Tz Mx Prvo uvodimo koordinatni sustav, a zatim postavljamo šest (6) jednadžbi ravnoteže: Ty R y (1) Σx = Nx (uzdužna sila) → σxx (4) ΣMx =Mx=Mt (mom. torzije) → τt (2) Σy = Ty (poprečna sila) → τxy (5) ΣMy = My (mom. savijanja) → σxx (3) Σz = Tz (poprečna sila) → τxz (6) ΣMz = Mz (mom. savijanja) → σxx 3. Složena naprezanja

  4. Na osnovi principa nezavisnosti djelovanja sila, rezultirajuće naprezanje se određuje kao zbroj naprezanja izazvanih djelovanjem vanjskih sila od (1) do (6). Napomena: Rezultirajuće naprezanje σ se dobiva kao algebarska suma, dok se rezultirajuće naprezanje τ dobiva kao vektorska suma čija je apsolutna vrijednost određena izrazom: . Princip nezavisnosti djelovanja sila može se primijeniti samo onda ako pod djelovanjem vanjskog opterećenja nastaju male deformacije koje nemaju utjecaja na djelovanje opterećenja. 3. Složena naprezanja

  5. Djeluje li u presjeku samo jedna unutarnja sila (bilo koja od (1) do (6)), tada je to jedno osnovno stanje naprezanja. Imamo li u presjeku barem dvije komponente unutarnjih sila, tada je to složeno stanje naprezanja. Ovo nam daje veliki broj mogućih kombinacija: 1) Nx ≠ 0sve ostale komponente =0 , 1D vlak/tlak 2) My ≠ 0sve ostale komponente =0 , čisto savijanjeMz ≠ 0sve ostale komponente =0 , čisto savijanje 3) My ≠ 0i Tz ≠ 0 sve ostale komponente =0 , savijanje silamaMz ≠ 0i Ty ≠ 0 sve ostale komponente =0 , savijanje silama 4) Mx ≠ 0sve ostale komponente =0 , torzija 3. Složena naprezanja

  6. Obilježje osnovnih slučajeva opterećenja je da se u nekom presjeku, naprezanja određuju samo od jedne unutarnje sile: uzdužne sile, momenta savijanja, torzije. Kod složenih naprezanja, kada imamo djelovanje dvaju ili više komponenti unutarnjih sila, možemo izvršiti podjelu u dvije skupine: A) Linijsko stanje naprezanja – zbrajaju se kolinearna naprezanja, npr.: uzdužna sila i moment savijanja, ekscentrična sila.Dokaz naprezanja se vrši direktnom usporedbom maksimalnih i dopuštenih naprezanja bez uporabe teorija čvrstoće. B) Pravo složeno stanje naprezanja – imamo prostorno stanje naprezanja, npr. savijanje i torzija.Dokaz naprezanja se vrši uporabom teorija čvrstoće. 3. Složena naprezanja

  7. + + + - 3.1 – Savijanje s uzdužnom silom 3.1.1 – Uzdužna sila i moment savijanja u jednoj od ravnina glavnih osi tromosti n.o. ymin Mz N x + = ymax y 3. Složena naprezanja

  8. Ukupno naprezanje u poprečnom presjeku smo dobili kao zbroj pojedinačnih djelovanja: Za vlačnu uzdužnu silu: Za tlačnu uzdužnu silu: Položaj neutralne osi (može biti bilo gdje u ili izvan popr. presjeka): Kako odnos možemo prikazati kaoodakle slijedi: (e – ekscentricitet) Položaj neutralne osi, odsječak na osi y. Položaj neutralne osi prikazan samo geometrijskim veličinama: 3. Složena naprezanja

  9. 3.1.2 – Uzdužna sila i moment savijanja izvan ravnina glavnih osi tromosti (koso savijanje) Izy=0 RDMS α M My M N x z Mz=M·cosα Mz My=M·sinα y y 3. Složena naprezanja

  10. + Položaj neutralne osi: Ovu jednadžbu rješavamo po odsječcima neutralne osi na glavne osi tromosti, posebno za os y i posebno za os z: Za y=0: Za z=0: Ako djeluju i poprečne sile: -ay z +az n.o. y 3. Složena naprezanja

  11. x z y 3.2 – Ekscentrični pritisak / rastezanje N e N ez=e·sinα ey=e·cosα ez e A (ey,ez) α ey M=N·e N M=N·e My=M·sinα=N·e·sinα=N·ez Mz=M·cosα=N·e·cosα=N·ey 3. Složena naprezanja

  12. x N ez z e A (ey,ez) α ey - y ez=e·sinα M=N·e ey=e·cosα ay Mz M=N·e My My=M·sinα=N·ez az Mz=M·cosα=N·ey Predznak: Pravilo desnog dlana – prsti u smjeru vektora vrtnje kojeg pokriva dlan dok palac pokazuje slaganje (+) ili neslaganje (-) s odgovarajućom pozitivnom osi. σmin σmax Odsječci neutralne osi: n.o. 3. Složena naprezanja

  13. Opći izraz za naprezanja: Naš slučaj: Vidimo da je tlak u kvadrantu u kojem djeluje tlačna sila N. Izraz za naprezanja ako djeluje ekscentrična tlačna silaN. Izraz za naprezanja ako djeluje ekscentrična vlačna silaN. Predznak koordinata y i z prema koordinatnom sustavu. 3. Složena naprezanja

  14. Položaj neutralne osi: Jednadžba neutralne osi Prisjetimo se: Jednadžba neutralne osi u segmentnom obliku 3. Složena naprezanja

  15. Zaključci: ♦ Položaj neutralne osi (odsječci ay i az) ne ovisi o veličini i smjeru sile N, već samo o položaju hvatišta sile N. ♦ Neutralna os uvijek prolazi kroz kvadrant suprotan kvadrantu u kojem se nalazi hvatište sile N. ♦ Kada ey ; ez → ∞ tada ay ; az → 0 neutralna os → težište (koso sav.) Kada ey ; ez → 0 tada ay ; az → ∞ (centrična uzdužna sila) ♦ Kut nagiba neutralne osi (φ) ovisi samo o položaju djelovanja ukupnog momenta M i oblika poprečnog presjeka (kao i kod kosog sav.) n.o. ay φ z az α RDMS y 3. Složena naprezanja

  16. Zaključci: ♦ Ako se hvatište sile nalazi na jednoj od osi, A(ey,0), tada je odsječak az=∞, a neutralna os je okomita na os y. ♦ Ako imamo linijsko stanje naprezanja, tada se komponente naprezanja algebarski zbrajaju, te se dokaz čvrstoće provodi prema: n.o. z ey A(ey,0) y 3. Složena naprezanja

  17. 3.3 – Jezgra poprečnog presjeka Kod nekih materijala ili konstrukcija zanimljivo je da nema nekih naprezanja, najčešće vlačnih. To izaziva traženje područja u poprečnom presjeku gdje može djelovati sila, najčešće tlačna, i to ekscentrična, a da je neutralna os izvan poprečnog presjeka. Jednadžba neutralne osi: ay Odsječci neutralne osi: z az ey Hvatište sile: ez A1 n.o. 1 y 3. Složena naprezanja

  18. Za skup tangenata na poprečni presjek dobije se skup polova (hvatišta sila) koje spojene određuju jezgru poprečnog presjeka. Jezgra poprečnog presjeka je dio poprečnog presjeka unutar kojeg djelovanje uzdužne sile izaziva jednoznačno stanje naprezanja na cijelom poprečnom presjeku. Zakon recipročnosti neutralne osi i hvatišta sile Odsječci neutralne osi (za A): n.o. a ez A ey az z Odsječci neutralne osi (za B): ay n.o. b B y 3. Složena naprezanja

  19. A’ A ay n.o. a A’’ ez z az ey n.o. c Za bilo koji položaj hvatišta na pravcu A’A’’, neutralna os prolazi kroz točku C. C n.o. a’ n.o. a’’ y Ako se neutralna os okreće oko neke točke (C) onda se pripadajuće hvatište (A) pomiče po pravcu (n.o. c) koji je opet neutralna os točke koja je bila središte rotacije neutralne osi. I obrnuto: pri pomicanju hvatišta sile po nekom pravcu (n.o. c) neutralna os rotira oko pripadajuće točke (C). Za poligonalni poprečni presjek, jezgra je poligonalnog oblika. 3. Složena naprezanja

  20. 3.3.1 – Određivanje jezgre za neke poprečne presjeke Imamo tri načina određivanje jezgre: • odrede se “hvatišta” sila na konturi poprečnog presjeka (istaknute točke na konturi poprečnog presjeka) te se traže neutralne osi; • odrede se “neutralne osi” (poligon tangenata na poprečni presjek) te se traže hvatišta sila; • grafički postupak. 3. Složena naprezanja

  21. a) Pravokutni poprečni presjek d y y A D a c Jezgra d z z h b a c C B b b Ad. 2) Odredimo “neutralne osi” Ad. 1) Odredimo “hvatišta” 3. Složena naprezanja

  22. b) Kružni poprečni presjek y Jezgra z Radijus tromosti Elipsa tromosti D/2 D/2 Dobili smo da je jezgra kružnica s radijusom D/8. Zaključak: Jezgra se uvijek nalazi unutar elipse tromosti, a elipsa tromosti unutar tangentnog poligona na poprečni presjek. 3. Složena naprezanja

  23. c) Složeni poprečni presjeci (Slika 3.13, str. 103) 3. Složena naprezanja

  24. RDMS v α u T + + - - 3.3.2 – Primjena jezgre Elipsa tromosti a) Koso savijanje Jezgra 1 Iuv=0 M n.o. k2 φ k1 N + k1 = N 2 M=N·k1 N=M/k1 k1, k2 – odsječci jezgre 3. Složena naprezanja

  25. Opći oblik izraza za naprezanja: Ako gornji izraz usporedimo s poznatim izrazom: slijedi veza: što predstavlja opći oblik momenta otpora. Primjer za pravokutni poprečni presjek: 3. Složena naprezanja

  26. + + - - - b) Ekscentrična sila Elipsa tromosti RDMS Jezgra v 1 Iuv=0 A N e n.o. k2 u T φ k1 N + M=N·e = 2 n.o. k1, k2 – odsječci jezgre 3. Složena naprezanja

  27. 3.4 – Zajedničko djelovanje momenta savijanja i momenta torzije Moment savijanja Mz vrti oko osi z u ravnini xy. z Mz Moment torzije Mt vrti oko osi x u ravnini zy. x Sve ostale komponente sila su N=Ty=Tz=My=0. Mx=Mt y Zaključak: Svi presjeci se nalaze pod jednakim djelovanjem unutarnjih sila. Ms Mt 3. Složena naprezanja

  28. z Mz x y z x Mx=Mt y Odredimo pojedinačna naprezanja: Od momenta savijanjaMz A B Od momenta torzijeMt A Vidimo da su najveća naprezanja u točkama A i B. B 3. Složena naprezanja

  29. Pogledajmo detaljnije stanje naprezanja u točki A: Vidimo da se sva naprezanja nalaze u ravnini, pa ih možemo prikazati kao: τ σxx σxx τ τ σxx σxx Glavna naprezanja: τ 3. Složena naprezanja

  30. Prisjetimo se da su naša naprezanja nastala uslijed momenta savijanja i momenta torzije , pa dalje možemo pisati: 3. Složena naprezanja

  31. Smjer glavnih naprezanja: Zaključak: • Treba odrediti najkritičniji presjek; 2) U najkritičnijem presjeku treba odrediti najkritičniju točku, tj. točku u kojoj su najveća glavna naprezanja. 3. Složena naprezanja

  32. 4. TEORIJE ČVRSTOĆE Kontrola jednoosnog stanja naprezanja F σ1 σ1 σ1 σ1 Kod elasto-plastičnih materijala σkr=σR, a kod krtih σkr=σL. F Eksperimentalno je lako utvrditi ove vrijednosti (σ-ε dijagram). 4. Teorije čvrstoće

  33. Višeosno stanje naprezanja σ2 σ3 σ2 σ1 σ1 σ1 σ1 σ1 > σ2 σ1 > σ2 > σ3 σ3 σ2 σ2 Eksperimenti su vrlo složeni i skupi. Što je kritično? Koje naprezanje usporediti s dopuštenim? Teorije čvrstoće nam daju mogućnost ispitivanja kritičnog stanja naprezanja za višeosno stanje naprezanja! TČ 2D 3D σekv ≤ σdop (1D) (1D) 4. Teorije čvrstoće

  34. Sve teorije čvrstoće nam daju odnose između nekog višeosnog stanja naprezanja i ekvivalentnog jednoosnog stanja naprezanja. Niti jedna teorija čvrstoće nije apsolutno točna. Niti jedna teorija čvrstoće nije primjenjiva za sve slučajeve opterećenja kao ni za sve materijale. Svaki materijal ima “svoju” teoriju čvrstoće odnosno ovisno o stanju naprezanja (vlak-vlak; tlak-tlak; vlak-tlak) više njih. 3. Složena naprezanja

  35. I. Teorija čvrstoće – Teorija najvećih naprezanja - Galilei σ2 σ3 σ1 σ1 σ1 σ1 σ1 > σ2 > σ3 σ3 σ2 Dobri rezultati za krte materijale (staklo, keramika) ali samo na vlak. 4. Teorije čvrstoće

  36. Grafički prikaz teorija čvrstoće σ2 σdop σdop σ1 σdop I. TČ σdop 4. Teorije čvrstoće

  37. II. Teorija čvrstoće – Teorija najvećih normalnih deformacija – St. Venant σ2 σ3 σ1 σ1 σ1 > σ2 > σ3 σ3 σ2 Dobro za krte materijale. 4. Teorije čvrstoće

  38. Grafički prikaz teorija čvrstoće (2D) σ2 σdop II. TČ σdop σ1 σdop I. TČ σdop 4. Teorije čvrstoće

  39. III. Teorija čvrstoće – Teorija najvećih posmičnih naprezanja – Mohr - Coulomb σ2 σ3 σ1 σ1 σ1 > σ2 > σ3 σ3 σ2 Kada je σ1 = σ3 → σekv = 0 kritično naprezanje je isto kao da je neopterećeno. Veoma oštro reducira I. i II. teoriju čvrstoće. Samo za elasto-plastične materijale. 4. Teorije čvrstoće

  40. Grafički prikaz teorija čvrstoće (2D) σ2 σdop II. TČ σdop σ1 σdop III. TČ I. TČ σdop 4. Teorije čvrstoće

  41. IV. Teorija čvrstoće – Teorija potencijalne energije – Beltrami - Haigh σ2 σ1 σ3 σ1 σ1 σ1 1 σ1 σ1 σ1 > σ2 > σ3 σ3 σ2 1+εx Prije djelovanja opterećenja imamo kocku dimenzija 1×1×1, a nakon djelovanja, paralelopiped dimenzija (1+ε1) × (1+ε2) × (1+ε3). 4. Teorije čvrstoće

  42. Izrazi za 2D: ili Ovi izrazi predstavljaju jednadžbu elipse. Ova teorija, koja se rabila za krte materijale, se ne slaže s eksperimentalnim rezultatima. Za σ1=σ2=σ3 i ν=0.5 daje: 4. Teorije čvrstoće

  43. Grafički prikaz teorija čvrstoće (2D) σ2 σdop II. TČ σdop σ1 σdop III. TČ I. TČ σdop IV. TČ 4. Teorije čvrstoće

  44. V. Teorija čvrstoće – Teorija potencijalne energije promjene oblika – von Mises - Hencky Pri deformiranju se troši potencijalna energija; dio se troši na promjenu volumena (pri čemu se ne mijenja oblik) a dio na promjenu oblika (pri čemu volumen ostaje isti). Dakle: Ep = Epv + Epo σ2 σ0 σ2-σ0 σ3 σ0 σ3-σ0 σ1-σ0 σ1 σ0 σ1 σ0 σ1-σ0 = + σ3 σ0 σ3-σ0 σ2-σ0 σ2 σ0 Stanje A: promjena volumena uz srednje (hidrostatsko) napr.σ0=(σ1+σ2+σ3)/3 Stanje B: promjena oblika uz deviatorska napr. (odstupanja od srednjeg naprezanja) 4. Teorije čvrstoće

  45. Relativna promjena volumena (ranije prikazana na jediničnom elementu) je jednaka: uz: itd. Kada je ν=0.5, promjena volumena je jednaka nuli (kod tečenja materijala volumen se ne mijenja). Za stanje A: Samo promjena volumena, dok se oblik nije promijenio. Za stanje B: Samo promjena oblika, dok je volumen ostao isti, εV=0. 4. Teorije čvrstoće

  46. Ako upotrijebimo izraz za potencijalnu energiju: i uvrstimo za stanje A: σ0=(σ1+σ2+σ3)/3 , možemo potencijalnu energiju prikazati samo kao promjenu volumena: odnosno: 4. Teorije čvrstoće

  47. Izraz za potencijalnu energiju promjene oblika možemo dobiti iz: Epo = Ep - Epv odnosno: Za 1D stanje naprezanja (σ2=σ3=0) gornji izraz glasi: 4. Teorije čvrstoće

  48. V. teorija čvrstoće glasi: Kada gornje sredimo dobivamo izraz: odnosno: Ova teorija je dobra za elasto-plastične materijale posebice ako je tlak ≡ vlak. 4. Teorije čvrstoće

  49. Grafički prikaz teorija čvrstoće (2D) σ2 Ako je točka naprezanja uslijed zadanih naprezanja unutar odgovarajuće ovojnice, tada su ta naprezanja manja od dopuštenih. σdop II. TČ σdop σ1 σdop III. TČ I. TČ σdop IV. TČ V. TČ 4. Teorije čvrstoće

  50. Rezime: 1) Odredimo kritičnu točku u kritičnom presjeku (točka s najvećim naprezanjima). 2) Odredimo glavna naprezanja. 3) Pomoću odgovarajuće teorije čvrstoće odredimo ekvivalentno jednoosno stanje naprezanja te ga usporedimo s dopuštenim jednoosnim stanjem naprezanja. ♦ I. i II. teorija čvrstoće se koriste za krte materijale, III. i V. teorija čvrstoće se koriste za elasto-plastične materijale, IV. teorija čvrstoće se ne upotrebljava. 4. Teorije čvrstoće

More Related