1 / 25

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2. Inferens i den lineære regressionsmodel 12. marts 2007. Dagens program. Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4): Normalitetsantagelse (MLR.6). Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel.

Download Presentation

Kvantitative metoder 2

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Kvantitative metoder 2 Inferens i den lineære regressionsmodel 12. marts 2007 Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  2. Dagens program • Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4): • Normalitetsantagelse (MLR.6). • Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel. • Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5). • Konsistens • Asymptotisk normalitet og efficiens • Eksempel: Monte Carlo eksperiment med uniformt fordelte fejlled (asynorm_uni.sas). Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  3. Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve • Linearitet af i u og CLM giver følgende resultat: • Theorem 4.1: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at hvor Heraf følger: Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  4. Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve (fortsat) • Theorem 4.1 indeholder den ukendte parameter , derfor ikke umiddelbart operationel. • Erstattes af kan man vise at der gælder følgende resultat: • Theorem 4.2: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at • hvor k+1 er antal regressorer i modellen inkl. konstantled. • t-fordelingen går mod N(0,1) når antallet af frihedsgrader vokser. Fin approximation hvis større end 120. Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  5. Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient • Betragt en nulhypotese om en regressionskoefficient: , hvor a er en konstant. • Under nulhypotesen påstår vi altså en bestemt værdi af en parameter i den sande model. • Bruge afvigelsen mellem estimatet, og den postulerede værdi, a, til at vurdere gyldigheden af nulhypotesen. Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  6. Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient • t-testet for er givet ved • og er fordelt som under nulhypotesen. • Alternativhypotesen: • Ensidede alternativer:eller • Tosidet alternativ: • Ex. Afkast af uddannelse: Hypotese om • Nulhypotese: • Relevant alternativ: Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  7. Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient • Klassisk teststrategi: • Vælg signifikansniveau: Sandsynlighed for at afvise nulhypotesen, givet at den er sand. Typisk vælges 5 %. • Vælg alternativhypotese: Bestemmer den kritiske region, givet signifikansniveauet. • Beregn teststatistik. • Afvis nulhypotesen hvis testet er i den kritiske region. • Afvis ellers ikke. • Alternativ: Beregn p-værdi: Marginale signifikansniveau som ville betyde at nulhypotesen netop ville blive afvist. Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  8. Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient • Typiske eksempler: • a=0: Standard signifikanstest. • a=1 eller a=-1: Test af homogenitet eller proportionalitet. • Konfidensinterval: Givet signifikansniveau, , fx 5 %. Så er 100- % konfidensintervallet givet ved: • Konstrueres intervallet således vil det i 100- % af udfaldene rumme den sande værdi. Nulhypoteser om værdier udenfor vil således blive afvist. • Skitsér på tavlen. Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  9. Hypotesetest: Eksempel: Lønrelationen Afhængig variabel: log(timeløn) Kilde: Output fra SAS-programmet lon_udd2.sas Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  10. Generel lineær restriktion • Nulhypotese på linearkombination af koefficienter: • Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn). • Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U): I log-transformerede størrelser: Test antagelse om konstant skalaafkast: Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  11. Generel lineær restriktion (fortsat) • Hypotesen er af formen: ”Linearkombination af koefficienterne er lig med konstant”. • Estimere , men hvad med ? • Omparameterisere modellen: • OLS af • I reparameterisering er hypotesen direkte en restriktion på koefficienten til : Kald den fx • Test restriktionen vha. t-stat. på • Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt. Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  12. Eksakte versus asymptotiske egenskaber • Under antagelserne MLR.1-4 er OLS en middelret estimator. • Ved uafhængige trækninger af datasæt af n observationer vil OLS–estimatoren i gennemsnit ramme den sande parameterværdi, . • Gælder for enhver størrelse n af datasættet • Under CLM-antagelserne MLR.1-6 kender vi hele fordelingen eksakt: • t-test følger t-fordelingen • For enhver størrelse n af datasættet • MLR.6: Normalitet er restriktivt. • Nu: Se på egenskaber for OLS når vi lader Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  13. Konsistens: Generelt • Wooldridge appendix C.3 definerer konsistens af en estimator, se også Berry og Lindgren kap. 9.3 • Estimatoren konvergerer i sandsynlighed mod den sande værdi: • Egenskab for estimatoren når antallet af observationer øges mod uendeligt. • Minimalkrav til en ”fornuftig” estimator. Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  14. Konsistens: Generelt (fortsat) • Store tals lov: i.i.d. følge med middelværdi . Så gælder • Anvendes på en lang række størrelser beregnet ud fra data: Gennemsnit, varianser, kovarianser mv. • Egenskaber ved plim (se side 774-75): Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  15. Konsistens: Generelt (fortsat) • Middelret estimator er ikke nødvendigvis konsistent: Præcisionen bliver ikke nødvendigvis bedre når • Men: Hvis variansen af en middelret estimator går mod nul i sandsynlighed når , så gælder at • Ex. Estimation af middelværdi af i.i.d. følge med middelværdi og konstant varians : • Gennemsnittet af n observationer: • Gennemsnit af første og n’te observation: Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  16. Konsistens: OLS • Theorem 5.1: Konsistens af OLS estimatoren: Under antagelserne: • MLR.1: Lineær model: • MLR.2: Tilfældigt udvalg af • MLR.3: Ingen perfekt multikollinearitet: er non-singulær. • MLR.4: Betinget middelværdi nul: Så er OLS-estimatoren konsistent for • Bevis: Tavlegennemgang. • Konsistens kan vises under svagere betingelse end MLR.4: Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  17. Konsistens: OLS • Hvis fejlleddet er korreleret med en eller flere regressorer vil OLS være inkonsistent: • Inkonsistensen (den ”asymptotiske bias”) i den simple lineære regressionsmodel er givet ved • Per konstruktion forsvinder problemet ikke ved at få flere data fra samme population. • Vil se på metoder til at håndtere inkonsistens i kap. 15. Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  18. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt • Konsistens af OLS i store datasæt under MLR.1-4: Minimumskrav opfyldt. • Inferens: Vi behøver mere end det. Antager nu: • MLR.5: Homoskedasticitet: • Men ikke MLR.6: Normalitet af ui • Normalfordelte fejlled er alt for stærk antagelse i en række realistiske problemstillinger: • Diskrete fordelinger: Heltallige udfald, fx antal medlemmer af en bestyrelse. • Skæve fordelinger: Asymmetriske aktieafkast. • Fordelinger med ”tunge” haler: Aktieafkast (outliers). Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  19. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt • Teorem 5.2: Asymptotisk normalfordeling af OLS estimatoren • Antag: Gauss-Markov antagelserne MLR.1-5. Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  20. Asymptotisk normalfordeling for OLS: I praksis • Standardiserede OLS estimater er asymptotisk standardnormalfordelt: • Hvad er ”asymptotisk”? • Afhænger bl.a. af, hvor meget u’sfordeling afviger fra normalfordelingen: Ikke hårde regler. • N(0,1) >< tn-k-1: Ikke vigtigt (for rimeligt store n og moderate værdier af k). Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  21. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Monte Carlo experiment • Lad os designe et lille eksperiment, hvor MLR.1-5 er overholdt (faktisk er u uafhængige af x her): Lineær model, ingen eksakt multikollinearitet, u har middelværdi nul og konstant varians. • Men u trækkes fra en uniform (eller lige) fordeling: • Kontinuert fordeling fx på intervallet [-1,1]. • Konstant tæthed f(u)=0.5 over intervallet. • Udfaldsrummet begrænset >< normalfordeling. • Resultat af eksperimentet for forskellige n: SAS Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  22. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Standardfejl • OLS standardfejlen: Asymptotik: • Komponenter i formlen: • Betyder at går mod nul som 1/n, standardfejlen går mod nul som Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  23. Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren • Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient. • Theorem 5.3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningerne • OLS: Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  24. Oversigt over OLS estimatorens egenskaber Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

  25. Næste gang • Test af flere restriktioner: kap. 4.5 • Andre test: kap. 5.2 • Præsentation af estimationsresultater: kap. 4.6 Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

More Related