Uji Binomial (1)

1. STATISTIK NONPARAMETRIKKuliah 2: Uji Binomial danUji Runs (SatuPopulasi) Dosen:Dr. HamonanganRitonga, MScSekolahTinggiIlmuStatistik JakartaTahun 2013

2. Uji Binomial (1) a. Ciri Fungsi Binomial: • Hanya ada 2 kemungkinan dalam percobaan: sukses atau gagal; ya atau tidak, baik atau cacat. Populasi seperti ini disebut binary population Setiap observation (x), hasilnya adalah 1 (misalnya sukses) atau 0 (gagal). • Bila dilakukan n percobaan: x1 , x2 , ,,, xk independen (tidak terkait): probabilitas suatu kejadian (misalnya sukses = 1) adalah konstan (tidak berubah-ubah untuk setiap percobaan) atau sama, yaitu p; sedangkan sebaliknya (gagal=0) adalah 1-p  P (X=1) = p dan P (X=0) = 1-p

3. Uji Binomial (2) • Fungsi Distribusi Binomial: • Distribusi binomial merupakan hasil probabilitas n observasi yang kita ambil dari populasi binomial. • Jika dalam satu observasi, notasi sukses = 1 dan gagal = 0, maka dalam n observasi: Y =  Xi jumlah sukses (X=1) • Dalam n observasi, probabilitas untuk memperoleh k dalam satu kategori dan n-k dalam kategori lain, dapat dituliskan dalam fungsi berikut: P (Y=k) = nCk pk (1-p)n-k dimana: p = proporsi observasi yang diharapkan dimana X =1 1-p= proporsi observasi yang diharapkan ketika X=0

4. Uji Binomial (3) c. Contoh Distribusi Binomial Koin dilemparkan 5 kali, dinama muncul Mukan(M) dan muncul Belakang (B): a. Berapa probabilitas M muncul 2 kali? b. Berapa probabiliti muncul M kurang atau sama dengan 2? c. Berapa probabilitas muncul M lebih dari 2 kali? d. Berapa probabilitas muncul M antara 2 sampai 3 kali? Jawab: - probabiliti sukses (muncul M) p = ½ - probabiliti gagal (muncul B q = 1-p = 1-1/2 = ½ - jumlah percobaan  n = 5 5! 5x4x3x2x1 - P(Y=2) = 5C2 (1/2)2 (1/2)5-2 = --------- -- (1/2)2 (1/2)3 = --------------------- (1/2)2 (1/2)3 = 0,3125 2! (5-2)! (2x1) (3x2x1) - Bila Gunakan Tabel Binomial (Tabel E Lampiran)  P (2) = 0,3125 - P (Y≤2) = P(x=0) + P(x=1) + P (x=2) = 0,0313 + 0,1563+0,3125 = 0,500 - P (Y>2) = P (x=3)+P(X=4)+P (x=5) = 0,3125 + 0,1563 + 0,0313 = 0,500 - P (2≤Y≤3) = P(x=2) + P (x=3) = 0,3125 + 0,3125 = 0,6250

5. Uji Binomial (4) d. Uji Sampel Kecil • Uji Binomial digunakan untuk menguji hipotesis bila dalam populasi terdiri dari: 1) dua kelompok kelas, 2) datanya dalam bentuk skala nominal, 3) sampelnya kecil. Contoh 1: Suatu studi tentang dampak stress dilakukan terhadap 18 subjek (mahasiswa). Studi menggunakan 2 metode Setengah subjek (yang dipilih secara random dari 18) mempelajari Metode A (metode yang pertama kali dipelajari), dan setengahnya mempelajari Metode B (metode yang kedua yang dipelajari ). Selanjutnya , 4 jam setelah ujian akhir setiap mahasiswa ditanya apa yang diikuti. Prediksinya adalah stress akan menyebabkan kemunduran, objek akan kembali mengikuti metode yang pertama dipelajari. Setiap subjek ditanya apakah dia menggunakan metode yang pertama kali dia pelajari atau yang kedua, ketika ditanya apa yang diikuti dalam kondisi stress. Hasil observasi dari 18 subjek: Metode yang dipilihadalah: 1) Metode A (yang pertama kali dipelajari) sebanyak 16 subjek dan Metode B (yang kedua dipelajari) sebanyak 2 subjek.

6. Uji Binomial (5) Contoh 1 (Lanjutan): 1) Hipothesis Awal: Ho: p= q = 1/2  Tidak ada perbedaan probabilitas antara metode pertama yang dipelajari dalam (p) dengan metode kedua yang dipelajari (q) dalam kondisi stress. Hipothesis Alternatif: Ha: p > q • Uji Statistik: Uji Binomial  karena datanya dua kategori diskrit dan dalam tipe satu sampel Karena metode A (metode pertama yang dipelajari) dan metode B (metode kedua yang dipelajari) dipilih secara random maka Ho: p= q = ½ • Tarafnyata. Misalkan = 0,01 dan n=18 adalahjumlahsubjek • Distribusi sampling: Distribusi Binomial • Daerah Tolak: Satuarah  jika probability n observasi <  makatolak Ho Independenobservasi n = 18, danfrekuensiterkecil k = 2 Dari Tabel Binomial (Appendix D). P (Y2) = 0,001   = 0,01  Tolak Ho 6) Kesimpulan: Dalamkondisi stress, subjekakankembalikemetode yang pertama kali dipelajari

7. Uji Binomial (6) d. Uji Binomial untuk Sampel Keci Contoh 2: Polres X ingin mengetahui kepuasan pemohon SIM pada suatu hari tertentu: puas atau tidak puas. Ingin diketahui apakah pemohon SIM lebih banyak yang puas dengan pelayanan SIM dari pada yang tidak puas. Untuk mengujinya, diambil sampel sebanyak 26 orang dan diketahui 14 orang puas dan 12 orang tidak puas. • Hipotesis yang diajukan: Ho: p= q =0,50 Ha: p > q • Uji Statistik: Uji Binomial, karena data nominal dan sampel kecil • Taraf nyata ( ) = 0,05 ( 5%) • Distribusi sampling: Distribusi Binomial • Daerah tolak: satu arah  Jika Probability n observasi <  tolak Ho Dari sampel observasi n= 26, frekuensi terkecil k=12 Dari Tabel Binomial (Appendix D); P(Y 12) = 0,423 > 0,05 maka Terima Ho 6) Kesimpulan: Frekuensi pemohon SIM yang puas dan tidak puas adalah sama, yaitu 50 % menyatakan puas dan 50 % menyatakan tidak puas.

8. Uji Binomial (7) d. Uji Binomial untuk Sampel Kecil Contoh 3: Dalam mengirim roti coklat ke outlet-outlet, manajer distribusi beranggapan bahwa keberhasilan para sopir untuk mengirim tepat waktu (dalam waktu 5 jam) adalah 70 % atau 0,7. Hal ini berarti kegagalan mengirim tepat waktu hanya 100 % -70% =30 % atau 0,3. Untuk membuktikan apakah anggapan tersebut benar, dikumpulkan data 8 kali pengiriman roti, dengan sampel; 1) tepat waktu, 2) terlambat, 3) terlambat, 4) terlambat, 5) terlambat, 6) tepat waktu, 7) terlambat, 8) terlambat. • Hipotesis yang diajukan: Ho: p= 0,70 Ha: p  0,70 • Uji Statistik: Uji Binomial • Taraf nyata ( )= 0,05 ( 5%) • Distribusi sampling: Distribusi Binomial • Daerah tolak: dua arah Jika Probability n observasi <  tolak Ho Dari sampel observasi n= 8, frekuensi terkecil k=2 Dari Tabel Binomial (Appendix E); P(Y 2) = P (Y=0) + P (Y=1) + P (Y=2) = 0,0100 + 0,0012 + 0,0001 = 0,0113 < 0,05 maka Tolak Ho 6) Kesimpulan: Pernyataan manajer distribusi bahwa keberhasilan mengirim roti tepat waktu sebesar 70 % adalah Tidak Benar.

9. Uji Binomial (8) d. Uji Binomial untuk Sampel Kecil Contoh 3 (data kontinu): Suatu perusahaan baterei mengetahui rata-rata daya tahan baterei produksinya adalah 104 jam. Untuk menguji kebenaran informasi tersebut dilakukan pengujian 8 baterei yang diambil secara random, dengan hasil sebagai berikut: 105,4; 104,6; 107,8; 108,9; 98,6; 94,5; 99,7; 107,2. • Hipotesis yang diajukan: Ho: µ= 104 Ha: µ  104 • Uji Statistik: Uji Binomial (tidak mengikuti distribusi normal, serta jumlah observasi < 30) • Taraf nyata () = 0,05 ( 5%) • Distribusi sampling: Distribusi Binomial • Daerah tolak: uji dua arah  Jika Probability n observasi <  maka tolak Ho Dari sampel observasi n= 8 maka frekuensi terkecil k=3 (dibawah 104 jam) Dari Tabel Binomial (Appendix D); P(Y 3) = 0,363 Untuk Uji Binomial dua arah probability 0,363 dikali 2 menjadi 0,726 > 0,05 Terima Ho • Kesimpulan: Pernyataan bahwa daya tahan batere adalah 104 jam adalah valid.

10. Uji Binomial (9) d. Uji Binomial untuk Sampel Kecil Soal Latihan: Soal 1: Suatu perusahaan otomotif, ingin memproduksi minibus berbahan bakar bensin dan berbahan bakar solar. Perusahaan tersebut ingin mengetahui apakah masyarakat lebih senang mobil berbahan bakar bensin atau solar. Untuk itu dambil sampel sebanyak 25 melalui pengamatan terhadap mobil yang sedang lewat di pintu tol, sebanyak 14 pengendara mobil senang bahan bakar bensin dan 11 senang bahan bakar solar. Lakukan pengujian terhadap pernyataan tersebut dengan Uji Binomial pada  = 0,05. Soal 2: Dalam pemasaran asuransi kesehatan oleh perusahaan X, manajer pemasaran beranggapan bahwa keberhasilan para salesmen dalam menjual asuransi sesuai atau melebihi target pada umumnya 50%. Hasil ini berarti kegagalan mencapai target adalah 100%-50% = 50 % atau 0,5. Untuk membuktikan anggapan tersebut benar, maka dikumpulkan data 10 salesmen, yang telah dinilai kinerja penjualannya, dengan kategori berhasil atau gagal. Data ke-10 salesmen tersebut adalah: 1) berhasil, 2) berhasil, 3) berhasil, 4) gagal, 5) gagal, 6) berhasil, 7) gagal, 8) berhasil, 9) gagal, 10) berhasil. Lakukan pengujian terhadap anggapan tersebut dengan Uji Binomial pada = 0,01

11. Uji Binomial (10) e. Uji Binomial untuk Sampel Besar • Lampiran D tidak bisa digunakan bila n > 35. Tetapi, jika n semakin besar distribusi binomial akan cenderung mengikuti distribusi normal. Tendensinya lebih cepat bila p dekat dengan 0,5 dan lebih lambat bila p lebih dekat dengan 0 dan 1. Dengan kata lain semakin besar perbedaan p dan q semakin besar n diperlukan untuk pendekatan distribusi normal. Jika p dekat dengan ½, maka pendekatan bisa digunakan bila n > 25; sedangkan jika p dekat dengan 0 atau 1, maka besaran n yang digunakan untuk pendekatan adalah apabila (rule of thumb) npq > 9. • Jika menggunakan pendekatan distribusi normal, maka uji statistiknya menjadi: Y- µy Y - np zUji = ------------ = ---------- y npq zUji adalah pendekatan distribusi normal dengan rata-rata = 0 dan standar deviasi 1

12. Uji Binomial (11) e. Uji Binomial untuk Sampel Besar • Pendekatan distribusi normal akan lebih baik aabila digunakan faktor koreksi karena distribusi normal adalah disribusi variabel kontinu, sedangkan distribuasi binomial adalah distribusi variabel diskrit. Faktor koreksi terhadap batas bawah dan batas atas adalah 0,5. • Dengan faktor koreksi, maka uji statistiknya menjadi: (Y0,5) - np zUji = ------------------ npq Y + 0,5 dipakai ketika Y < np, dan Y-0,5 digunakan bila Y > np • Contoh: Lihat Contoh 1 Uji Binomial dengan Sampel kecil. (12+0,5) – (26)(0,5) zUji = ---------------------------- = - 0,20 (26)(0,5)(0,5) Dengan  = 0,01, maka Ho diterima pada uji satu arah karena zUji <Zα= 2,58

13. Uji RUNS (1 ) • Penggunaan Uji Runs • Uji Runs adalah metode statistik nonparametrik menguji kerandoman data populasi yang didasarkan pada hasil pengamatan melalui data sampel. • Pengamatan dilakukan dengan mengukur banyaknya ”run” dalam suatu kejadian. • Run adalah suatu sekuen dari hasil yang sama, yang didahului dan dikuti oleh hasil yang berbeda. • Misalkan kita melempar koin 20 kali dan sekuen berikut muncul: H H H H H H H H H H T T T T T T T T T T hanya 2 run ( r=2) yang terjadi dalam 20 kali melempar koin. Hasil ini terlalu sedikit untuk koin yang benar (pelemparan yang benar). Ada kejanggalan pada independensi. • Di lain pihak, dari 20 kali melempar koin sekuen berikut terjadi: H T H T H T H T H T H T H T H T H T H T terjadi 20 run (r=20) yang terjadi dalam 20 kali melempar koin. Ini juga kelihatannya menolak hypothesis untuk koin yang benar. Sekuen kelihatannya tidak independen.

14. Uji RUNS (2 ) b. Contoh Penggunaan Uji Runs untuk Sampel Kecil • Misalkan m adalah jumlah elemen dalam satu jenis, dan n adalah jumlah elemen dalam jenis lain dalam sekuen of N. Jika m dan n  20  Bisa Gunakan Tabel G (Lampiran ) • Suatu studi tentang agresifitas anak dilakukan oleh seorang peneliti terhadap 24 anak kecil. Peneliti mengamati pasangan-pasangan anak kecil dalam suatu permainan yang terkontrol. Hampir semua 24 anak berasal dari tempat penitipan anak dan bermain bersama setiap hari. Setelah studi selesai, sebelum analisi lebih lanjut peneliti tersebut terlebih dahuli ingin menguji kerandoman skor agresi yang dikonversikan ke posisi + atau – tergantung apakah diatas atau dibawah nilai median skor agressi dari kelompok anak. • Berikut adalah skor agressi dalam sekuen kejadian. Anak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Skor 31 23 36 43 51 44 12 26 43 75 2 3 15 18 78 24 13 27 86 61 13 7 6 8 Posisi + - + + + + - + + + - - - - + - - + + + - - - - (thdp median)

15. Uji RUNS (3 ) b. Contoh Penggunaan Uji Runs untuk Sampel Kecil (Lanjutan) • Tahapan: 1) Tentukan Ho dan Ha: Ho : Sekuen data terjadi secara random Ha : Sekuen data tidak terjadi secara random 2) Uji Statistik: Uji runs untuk satu sampel 3) Taraf nyata. Misalkan  = 0.05 dan N = 24, m =n = 12 4) Sampling distribution. Lihat Lampiran Tabel G pada Lampiran, dengan nilai r dari sampling distribution. 5) Daerah tolak. Karena Ha tidak memperkirakan arah deviasi dari kerandoman, maka digunakan uji dua arah. Karena m = n =12, referensi pada Tabel G menunjukkan bahwa Ho ditolak pada  = 0,05 jika observasi r  7 atau  dengan 19. 6) Keputusan: Dari sekuen observasi, r = 10 untuk m=n=12, tidak berada pada daerah tolak, sehingga kita tidak menolak hipotesis bahwa series observasi tejadi dalam sekuen random.

16. Uji RUNS (4 ) c. Uji Runs dengan dua tanda untuk sampel besar. • Beberapa langkah yang dapat dilakukan dalam uji runs: 1) Menentukan Ho dan Ha Ho: Sekuen data bersifat random Ha: Sekuen data bersifat tidak random 2) Menetukan tingkat signifikansi () 3) Menentukan daerah terima Ho dan Ha, dengan menggunakan distribusi normal Z /2 Terima Ho /2

17. Uji RUNS (5 ) c. Uji Runs dengan dua tanda, sampel besar (Lanjutan) • Beberapa langkah yang dapat dilakukan dalam runs test (lanjutan): 4) Menentukan Statistik Uji r - µr Zuji = --------- r r = Jumlah run pada sampel 2 mn µr = -------------- + 1 N  =  2mn (2mn - N) / N 2 (N - 1)

18. Uji RUNS (6 ) c. Uji Runs dengan dua tanda, sampel besar (lanjutan) 4) Menentukan Statistik Uji Pendekatan distrubusi normal bila m atau n > 20. Ho diuji dengan r - µr r + h – 2mn/N - 1 Zuji = --------- = -------------------------- r  2mn (2mn - N) / N 2 (N - 1) dimana : h = + 0,5 jika r < 2mn/N + 1 h = - 0,5 jika r > 2mn/N + 1 Nilai Z adalah pendekatan distribusi normal dengan rata-rata = 0 dan standar deviasi 1, seperti pada Lampiran Tabel A 5) Menentukan Keputusan

19. Uji Runs (7) d. Contoh Soal Uji Runs dengan dua tanda, sampel besar • Seorang peneliti ingin mengetahui apakah pengaturan antrian pria dan wanita didepan box pembelian tiket teater mengikuti pengaturan random. Data diperoleh dengan melakukan tally jenis kelamin dari urutan 50 orang yang menuju box pembelian tiket tiket. Urutan dari 30 pria (M) dan 20 wanita (F)adalah sbb: • M F M F MMM FF M F M F M F MMMM F M F M F MM FFF M F M F M F MM F MM F MMMM F M F MM • Ho: urutan pria dan wanita dalam antrian adalah random Ha: urutan pria dan wanita dalam antrian tidak random • Uji Statistik. Uji runs satu sampel, dengan sampel besar. • Taraf nyata Misalkan  = 0.05, N = 50 • Sampling Distribution. Untuk sampel besar, gunakan tabel z. • Daerah Tolak. Karena Ha tidak memprediksi arah dari kerandoman, maka digunakan uji dua arah . Sehingga daerah tolak mencakup nilai Z diluar  1,96 • Keputusan: Dengan banyaknya r = 35 , Zuji dihitung dengan menggunakan persamaan pada slide 17 dimana h = -0,5  diperoleh Zuji = 2,83 Karena ZZuji > nilai kritis Z (1,96) maka tolak Ho. Dengan kata lain, urutan pria dan wanita dalam antrian di kotak pembelian tiket tidak random.

20. Uji Runs (8) e. Soal Latihan Uji Runs dengan dua tanda, sampel besar Sebuah penelitian ingin mengetahui apakah harga saham PT ”X” mengikuti pola random atau tidak. Untuk itu dilakukan analisis data harga selama 50 hari, jumlah run adalah 40, dengan tanda + sebanyak 30 dan tanda – sebanyak 20. Ujilah dengan  = 5 %, apakah harga saham tersebut bersifat random atau tidak.

21. Uji RUNS (9 ) f. Uji Runs dengan lebih dari dua tanda untuk sampel besar. • Beberapa langkah yang dapat dilakukan dalam runs test: 1) Menentukan Ho dan Ha Ho: sekuen data bersifat random Ha: sekuen data bersifat tidak random 2) Menetukan taraf nyata () 3) Menentukan daerah terima Ho dan Ha, dengan menggunakan distribusi normal Z /2 Terima Ho /2

22. Uji RUNS (10 ) f. Uji Runs dengan lebih dari dua tanda, sampel besar • Beberapa langkah yang dapat dilakukan dalam runs test (lanjutan): 4) Menentukan Statistik Uji (r  0,5) - µr {N(N +1) -  ni 2 } Zuji = ---------------- µr = -------------------- r N r =  [ ni 2 [ ni 2 + N (N+!) – 2N  ni 3 - N3]/N 2(N-1)  0,5 = faktor koreksi kontinuitas ”+” jika r < µr ”-” jika r > µr µr = jumlah run yang diharapkan r = deviasi standar dari µr N= pengamatan ni= jumlah tanda ke i

23. Uji RUNS (11 ) g. Contoh soal Uji Runs untuk lebih dari dua tanda, sampel besar: Suatu sekuen data harga saham diketahui bahwa jumlah tanda ”+” (harga naik dari sebelumnya) adalah 9, jumlah tanda ”-” (harga turun dari sebelumnya) adalah 20, dan tanda ”0” (harga tidak berubah) adalah 50. Jumlah run adalah 40. Ujilah dengan  = 0,05, apakah harga saham tersebut bersifat random (Jumlah harga saham yang diobservasi = 80) • Ho: Data bersifat random Ha: Data bersifat tidak random •  = 5 % • Penghitungan Z uji: {N(N +1) -  ni2} {80(80 +1) – {(9) 2 + (20) 2 + (50) 2 } µr = ------------------------- = ---------------------------------------------- = 43,73 N 80 N= pengamatan = 80 ni= jumlah tanda ke i n1 = jumlah tanda ”+” = 9 n2 = jumlah tanda ”-” = 20 n3 = jumlah tanda ”0” = 50

24. Uji RUNS (12 ) • Penghitungan Z Uji (Lanjutan) r =  [ ni 2 [ ni 2 + N (N+1) – 2N  ni 3 - N3]/N 2(N-1) = 3,53 (r  0,5) - µr (40 + 0,5) - 44 Zuji = --------------------- = --------------------- = -0,99 r 3,53 Catatan: digunakan r + 0,5 karena r (40) < µr (44) • Daerah tolak dan terima: Ho diterima karena Zuji terletak diantara  1,96 • Kesimpulan Data saham bersifat random