Uji Friedman (1)

1. STATISTIK NONPARAMETRIKKuliah 10: Uji k-SampelBerhubungan:Uji Friedman Dosen:Dr. HamonanganRitonga, MScSekolahTinggiIlmuStatistik JakartaTahun 2013

2. Uji Friedman (1) • Kegunaan Uji Friedman bergunauntukmengujiapakah 3 ataulebih-sampelberpasanganberasaldaripopulasi yang samaatautidak. Karena 3 ataulebih-sampeltersebutberpasangan, makajumlahkasuspadasetiapsampeladalahsama. Ujiinidilakukandenganmempelajarikelompoksubyekygsamadibawah k-kondisi. Uji Friedman bermanfaatuntukmelihatperbedaandampakperlakuan (kondisi) terhadapkelompok-kelompokberpasangan yang diteliti. UjiinimerupakanalternatifuntukUji ANOVA padaUjistatistikparametrik. • Asumsi Data berbentukperingkat. Data tidakharusmengikutidistribusi normal. • Syarat Data setidak-tidaknyaberskala ordinal • BentukHipotesa Ho: 3 ataulebihsampelberpasanganberasaldaripopulasi yang sama Ha: 3 ataulebihsampelberpasanganberasaldaripopulasi yang berbeda

3. Uji Friedman (2) • Prosedur: PadaUji Friedman, data dibuatdalamtabelduaarah, dengan N-barisdan k-kolom; dimana N-barismerepresentasikanvariasikelompokberpasangan, dan k-kolommerepresentasikanvariasikondisi. Misalkankitainginmempelajariskor-skordari 3 variasikelompokberpasangandibawah 4 variasikondisi. Dengandemikiankelompok (N) =3, kondisi (k)=4. Tiap-tiapkelompokberpasanganterdiridari 4 subyek/kasusdanmasing-masingsatusubyekdihadapkanpadasatukondisi. Misalkanskor-skormenurutvariasikelompok (baris) danvariasikondisi (kolom) padaTabel 1: Skor-skor 3 variasikelompokberpasangandibawah 4 variasikondisi .

4. Uji Friedman (3) • Tahapanprosedur: UntukmelakukanUji Friedman dengan data padaTabel 1, makadilakukantahapanprosedursebagaiberikut: 1) Berikanranking kepadaskor-skordalamsetiapbarisdari 1 sampai k, denganrangking 1 untukskor yang terendah, rangking 2 untukskorterendahberikutnya, …, rangking k untukskortertinggi . Bilarangkingada yang sama, makanilairangkingnyaadalah rata-rata rangking yang sama. 2) Tentukanjumlahrangkinguntukmasing-masingkolom (kondisi). Tabel 2 dibawahinimenunjukkanrangkingberdasarkanTabel 1 berikutjumlahrangkinguntukmasing-masingkondisi: .

5. Uji Friedman (4) • TahapanProsedur (Lanjutan): Catatan: a) Jika Ho benaratausemuasubyekmenurutkondisi (kolom) berasaldaripopulasi yang sama, makadistribusirankingpadatiap-tiapkolomhanyalahtersusunsecarakebetulan. Dengankata lain, rangking 1.2,3, dan 4 munculdisetiapkolomdenganfrekuensi yang relatifsama. b) Jikaskor-skorsubyekdipengaruhikondisi-kondisi yang ditentukan (Ho salah), makajumlahkeseluruhanrankingakanberbedaantarakolom yang satudengankolomlainnya. 3) Uji Friedman padadasarnyamengujiapakahjumlahkeseluruhanrangking (Rj) berbedasecarasiginikanatautidak. Uji Friedman menghitungnilaistatistik yang disebut Friedman r2 dengan formula: . r2 = {12 /Nk(k+1)} {k j=1 (Rj) 2} - {3 N (k+1)} dimana k = banyaknyakolom (kondisi) N = banyaknyabaris (jugadisebutkelompokberpasangan) R j = jumlahrangkingatauperingkatpadakolomke-j

6. Uji Friedman (5) • Prosedur (lanjutan): . Padacontohdiatas (Tabel 2) dapatdihitungnilaistatistikr2 sbb: r2 = {12 /Nk(k+1)} {k j=1 (Rj) 2} - {3 N (k+1)} = {12/(3)(4)(4+1)} { (11) 2 + (5) 2 + (4) 2 + (10) 2} - { (3) (3) (4+1)} = 7,4 4) Menentukannilaiprobabilitaaskejadiandibawah Ho yang berhubungandengannilaiobservasir2. Penentuannyadidasarkanpadajumlah N dan k: a) GunakanTabel N (Lampiran) untuk k=3 ; N=2 s/d 9, dan k=4; N=2 s/d 4 b) Gunakandistribusi Chi-Square (Tabel C Lampiran) untuk N dan/atau k yang lebihbesardgnderajatbebasataudegrees of freedom (df)=k-1 Padacontohdiatas, digunakanTabel N. Dengan k = 4 dan N = 3. Tabel N menunjukkannilaiprobabilitas (p) yang berkaitandengannilair2  7,4 adalah p=0,033. 5) Jikanilaiprobabilitasp ≤  makaTolak Ho. Padacontohdiatas p = 0,033. Kita dapatmenolak Ho bahwakeempatsampelberpasangantersebutditarikdaripopulasi yang samasehubungandengan parameter lokasi (mean ranking) padatarafnyata 0,033.

7. Uji Friedman (6) • Langkah-langkahUji Friedman: 1. RumuskanHipotesa Ho: k-sampelberpasanganberasaldaripopulasi yang sama Ha: k-sampelberpasanganberasaldaripopulasi yang berbeda 2. TentukanUjiStatistik-nya, sesuairumusanhipotesadanskala data  alasanmenggunakanUji Friedman 3. Tentukantarafnyata () 4. Tentukandistribusi sampling 5. Tentukandaerahtolak 6. Buatkeputusan

8. UjiFrieman (7): Contoh N dan/atau k besar • Suatupenelitiandilakukanuntukmengetahuiakibattigapolapemberiandoronganterhadapperbedaanderajatbelajarpadatikus. Tigasampelberpasangan (k=3) terdiridari 18 himpunantikus (N=18) dilatihdibawah 3 poladorongan. Pasanganditentukandenganmenggunakan 18 himpunansekelahiran, masing-masingterdiridari 3 tikus . Walaupun ke-54 tikustersebutmenerimadorongan (imbalan) dalamjumlah yang sama , polapemberiandoronganberbeda-bedauntuksetiapkelompok. Kelompokberpasanganpertamadilatihdengandorongan 100% (RR), kelompokberpasangankeduadilatihdengandorongansebagaiandimanasetiaprangkaianberakhirdenganusaha yang tidakdiberidorongan (RU), dankelompokberpasanganketigadilatihdengandorongansebagiandimanasetiaprangkaianusahaberakhirdenganusaha yang diberidorongan (UR). Setelahlatihan, tingkatbelajardiukurdengandasarkecepatantikusmempelajarikebiasaan “yang berlawanan”, dimanasebelumnyatikus-tikusdilatihberlarimenujutujuanwarnaputih, sekarangmenujutujuanwarnahitam. Semakinbaikpelajaranterdahulu, seharusnyasemakinlambatpengalihanpelajarantsb (HasilpenelitianmenurutrangkingpadaTabel 1). Ujiapakahpola-polapemberiandoronganmengakibatkanperbedaanbelajarsebagaimanaditunjukkanolehkemampuanmengalihkanpadatarafnyata 5 %

9. UjiFrieman (8): Contoh N dan/atau k besar • Tabel 1: Rangkingskorpengalihankebiasaantikus * = Jikarangkingsama , makanilairangkingnyaadalahnilai rata-ratanya

10. UjiFrieman (9): Contoh N dan/atau k besar • Jawab: 1) Ho:perbedaanpoladorongantidakmembawaakibatperbedaan H1: perbedaanpoladoronganmembawaakibatperbedaan. 2) UjiStatistik: Uji Friedman Sesuaiuntukmengujiperbedaandengan data ordinal dan 3 ataulebihkelompokberpasangan 3) Tarafnyata:  = 5 %, N = 18= himpunantikusdisetiap 3 kelompokberpasangan 4) Distribusi sampling: Nilaistatistikr2 mengikutidistribusi Chi- square dengandf =k-1 karena N dan/atau k besar. GunakanTabel C

11. UjiFrieman (10): Contoh N dan k besar • Jawaban Nilair2 = {12 /Nk(k+1)} {k j=1 (Rj) 2} - {3 N (k+1)} = {12/(18)(3)(3+1)} { (39,5) 2 + (42,5) 2 + (26,0) 2 } - { (3) (18) (3+1)} = 8,4 Bandingkandengannilaiprobabilitas (p) Chi-Square TabelLampiran C , dimanar2 = 8,4 ketikadf = k-1 = 3-1 =2 signifikanantara 0,02 dan 0,01. 5) Keputusan: Karena p < 0,05, makatolak Ho Kesimpulan: perbedaanpoladoronganmembawaakibatperbedaanpadapengalihankebiasaan

12. UjiFrieman (11): KekuatanUji Friedman vsUjiUjiparametrik-Anova • Friedman (1937) melaporkan 56 analisisterpisahUjiNonparametrik-Uji Friedman yang jugabisadiujidenganUjiparametrik-UjiAnova (F-test). Perbandinganhasilmenunjukkanbahwa 45 dari 56 analisistersebutmenunjukkanbahwapadatingkatkemungkinan yang dihasilkankeduaujitersebutmenghasilkankesimpulan yang padadasarnyasama. Selebihnyaadaperbedaanpadatarafnyataantara 0,00 dan 0,05. • DengandemikiandapatdisimpulkanbahwaUjiNonparametrik-Friedman r2 menunjukkanefisiensi yang baikjikadibandingkandenganUjiParametrik k-sampelberpasangan yang paling kuat, yaituUji F.

13. UjiFrieman (12): SoalLatihanuntuk N dan k kecil Seorangpenelitiinginmengetahuitingkatkepuasanmasyarakatterhadakkebijakanpresidenmenaikkanharga BBM padakondisi interval waktuberikut: 1) satubulansebelumharga BBM naik, 2) satubulansetelahharga BBM naik, danduabulansetelahharga BBM naik. Untukitudiambilsebanyak 8 respondenberpasanganpenggunakenderaan roda-4 diRukunTetangga “X” (data fiktif). Pengukurankepuasanmenggunakanskala ordinal: 1) tidakpuas, 2) cukuppuas, 3) puas, denganhasilobservasisbb: Sebulansebelumkenaikanharga BBM: 3 3 3 3 2 3 2 2 Sebulansetelahkenaikanharga BBM : 2 2 3 2 1 2 3 2 Duabulansetelahkenaikanharga BBM: 2 2 2 1 1 2 1 1 Dengantarafnyata 5 %, ujihipotesisapakahtingkatkepuasanpenggunakenderaan roda-4 samasebelumkenaikanharga BBM dansesudahsatubulandanduabulanharga BBM naik di RT “X”.

14. UjiFrieman (13): SoalLatihanuntuk N dan/atau k besar 1. Seorangpenelitiinginmengetahuiapakahtigagayakepemimpinan, yaitu: direktif, supprotif, danpartisipatif di satu unit kerjamempengaruhiefektivitaskerjapegawai. Ketigagayakepemimpinantersebutdiujipada 12 kelompokberpasangan, masing-masingterdiridarisebanyak3subyek. Selanjutnyaemelaluiinstrumenpenelitiantertentu (misalnyakuesioner) dilakukanpengukuranefektivitaskerjapegawai. Data skorefektivitaspegawaimenurutgayakepemimpinanadalahsbb: Direktif : 32 48 57 56 58 44 41 44 42 45 42 20 Supportif : 47 30 47 44 49 38 39 41 28 23 35 21 Partisipatif : 55 43 53 50 40 53 54 25 28 32 42 31 Dengantarafnyata 5 %, ujihipotesis yang menyatakanbahwa ke-3 gayakepemimpinanmempunyaipengaruhterhadapefektivitaskerjapegawai. 2. Soal Lain: Buatrencanapenelitian (denganmenggunakan data simulasi) untukmenganalisisperubahanopiniterhadapcalonBupati/Gubernur/PresidenpadaPilkada /Pemiludisuatudaerah.