Análisis de Redes

1. Análisis de Redes Temas 3.1 Problema de transporte. • 3.1.1 Método de la esquina noroeste • 3.1.2 Procedimiento de optimización. 32 Problema del camino mas corto. 3.3 Problema del árbol expandido mínimo. 3.4 Problema de flujo máximo. 3.5 Ruta critica ( PERT-CPM). Alumno: Jesús David Manuel Garcia

2. Método de la esquina Noroeste Problema de Transporte Procedimiento de optimización Problema del camino mas corto Análisis de Redes. • Problema del árbol expandido mínimo. Mapa Conceptual. Problema de flujo máximo Ruta Critica(PERT-CPM)

3. 3.1 Problema de Transporte. • El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: 1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino. • Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. • La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte. • El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij. Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es: • Minimiza Z= S i=1 m S j=1 n C i j X i j • Sujeta a: • S j=1 n X i j <= ai , i=1,2,…, m S i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n • X i j >=0 para todas las i y j

4. El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda. • El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total Si=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total Sj=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir: • SX i j = ai, i=1,2,…, m • SX i j = bj, j=1,2,…, n • En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones prácticas.

5. Ejemplo. • Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar) • MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centro de distribución son: • Denver Miami Los Ángeles • 1 000 1 690 Detroit 1 250 1 350 Nueva Orleans 1 275 850 • Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original: • Denver Miami • Los Ángeles 80 215 Detroit 100 108 Nueva Orleans 102 68 • Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.

6. Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32 • Sujeto a: • X 11 X 12 = 1 000 • X 21 X 22 = 1 500 X 31 X 32 = 1 200 X 11 X 21 X 31 = 2 300 • X 12 X 22 X 32 = 1 400 X i j para todas las i y j

7. 3.1.1 Método de la Esquina Noroeste Este método comienza asignando la cantidad máxima permisible para la oferta y la demanda a la variable X11 (la que está en la esquina noroeste de la tabla). La columna o renglón satisfechos se tacha indicando que las variables restantes en la columna o renglón tachado son igual a cero. Si la columna y el renglón se satisfacen simultaneamente, únicamente uno (cualquiera de los dos) debe tacharse. Esta condición garantiza localizar las variables básicas cero si es que existen. Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda para todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad máxima factible se asigna al primer elemento no tachado en la nueva columna o renglón. El procedimiento termina cuando exactamente un renglón o una columna se dejan sin tachar. Ejemplo: Una compañía tiene 3 almacenes con 15, 25 y 5 artículos disponibles respectivamente. Con estos productos disponibles desea satisfacer la demanda de 4 clientes que requieren 5, 15, 15 y 10 unidades respectivamente. Los costos asociados con el envío de mercancía del almacén al cliente por unidad se dan en la siguiente tabla.

8. 3.1.2 Procedimiento de optimización • Motivos para estudiar Optimización •  Existe una enorme variedad de actividades en el mundo cotidiano que pueden ser útilmente descritas como sistemas, desde sistemas físicos tales como una planta industrial hasta entidades teóricas tales como los modelos económicos. La operación eficiente de esos sistemas usualmente requiere un intento por optimizar varios índices que miden el desempeño del sistema. Algunas veces, esos índices son cuantificados y representados como variables algebraicas. Entonces se deben encontrar valores para esas variables, que maximicen la ganancia o beneficio del sistema, o bien minimicen los  gastos  o  pérdidas.  Se  asume  que  las  variables  dependen  de  ciertos  factores. Algunos de esos factores a veces están bajo el control (al menos parcialmente) del analista responsable del desempeño del sistema.

9. El proceso de administración de los recursos escasos de un sistema se suele dividir en seis fases: • i    análisis matemático del sistema • ii  construcción de un modelo matemático que refleja los aspectos importantes del sistema • iii validación del modelo • iv manipulación  del  modelo a fin  de obtener una  solución  satisfactoria,  si  no óptima • v   implementación de la solución seleccionada • vi introducción de una estrategia de control del desempeño del sistema después de la implementación efectuada. • La cuarta fase, la manipulación del modelo, es la que concierne a la teoría de la optimización. Las otras fases son muy importantes en la administración de cualquier sistema y probablemente requerirán mayor esfuerzo total que la fase de optimización. Sin embargo, en esta presentación de la optimización se asumirá que las demás fases fueron o serán resueltas aparte. Debido a que la teoría de la optimización brinda este eslabón en la cadena de la administración de sistemas constituye un cuerpo importante del conocimiento matemático.

10. 3.2 Problema Camino Corto • El problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar la forma mas económica posible desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red dada existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo Cij asociado con cada arco (i a j) en la red. Formalmente, el problema del camino mas corto (CC) es encontrar el camino mas corto (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma de los costo de cada arco recorrido. Defina las variables binarias Xij, donde Xij =1 si el arco (i a j)es sobre el CC y Xij = 0 de lo contrario. Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. El objetivo es encontrar el camino mas corto entre el origen y el destino.

11. 3.3 Problema Árbol Expandido Mínimo • Árbol: Es un grafo en el que existe un único nodo desde el que se puede acceder a todos los demás y cada nodo tiene un único predecesor, excepto el primero, que no tiene ninguno. También podemos definir un árbol como: • Un grafo conexo y sin ciclos. • Un grafo sin ciclos y con n-1 aristas, siendo n el número de vértices. • Grado de un nodo en un árbol es el número de subárboles de aquel nodo (en el ejemplo, el grado de v1 es 2 y de v21). • Denominamos hojas en un árbol a los nodos finales (v3, v5 y v6). • Un árbol de máximo alcance es aquel que obtenemos en un grafo conexo y sin ciclos. • Árbol de mínima expansión: Árbol de máximo alcance cuyo valor es mínimo, es decir, la suma de sus aristas es mínima

12. ALGORITMO DE KRUSKAL •  El algoritmo de Kruskal permite hallar el árbol minimal de cualquier grafo valorado (con capacidades). Hay que seguir los siguientes pasos: • Se marca la arista con menor valor. Si hay más de una, se elige cualquiera de ellas. • De las aristas restantes, se marca la que tenga menor valor, si hay más de una, se elige cualquiera de ellas. • Repetir el paso 2 siempre que la arista elegida no forme un ciclo con las ya marcadas. • El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo en alguna de las aristas marcadas, es decir, cuando tenemos marcados n-1 arcos, siendo n el número de nodos del grafo. • Ejemplo:Determinar el árbol de mínima expansión para el siguiente grafo:

13. Siguiendo el algoritmo de Kruskal, tenemos: • Elegimos, por ejemplo, la arista (5, 6) = 1 (menor valor) y la marcamos. • Elegimos la siguiente arista con menor valor (1, 3)= 1 y la marcamos. • Elegimos la siguiente arista con menor valor (5, 7)= 2 y la marcamos, ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente. • Elegimos la siguiente arista con menor valor (1, 2)= 3 y la marcamos, ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente. • Elegimos la siguiente arista con menor valor (6, 7)= 4 y la desechamos, ya que forma ciclos con las aristas (5, 7) y (5, 6) marcadas anteriormente. • Elegimos la siguiente arista con menor valor (2, 5)= 5 y la marcamos, ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente. • Elegimos la siguiente arista con menor valor (4, 5)= 6 y la marcamos, ya que no forma ciclos con ninguna arista de las marcadas anteriormente. • FIN. Finalizamos dado que los 7 nodos del grafo están en alguna de las aristas, o también ya que tenemos marcadas 6 aristas (n-1).

14. 2.4 Problema Flujo Máximo • En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como Xij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m. • Luego de resolver este problema de PL mediante el uso de LINDO (entre otros software), obtenemos los siguientes resultados: • Enviar 10 unidades de 1 a 2 • Enviar 7 unidades de 1 a 3 • Enviar 3 unidades de 2 a 6 • Enviar 7 unidades de 2 a 4 • Enviar 4 unidades de 3 a 6 • Enviar 6 unidades de 3 a 5 • Enviar 7 unidades de 4 a 7 • Enviar 8 unidades de 5 a 7 • Enviar 3 unidades de 6 a 3 • Enviar 2 unidades de 6 a 5 • Enviar 2 unidades de 6 a 7

15. El flujo máximo es F= 17 unidades. • El Problema Dual de Flujo Máximo: • El problema dual para el ejemplo numérico anterior es: • Min 10Y12 + 10Y13 + Y23 + Y32 + 6Y26 + 4Y36 + 4Y63 + 8Y24 • 3Y64 + 3Y46 + 12Y35 + 2Y65 + 2Y56 + 8Y75 + 7Y47 + 2Y67 • sujeto a: • X2 - X1 + Y12  0, X3 - X1 + Y13  0, X3 - X2 + Y23  0, • X3 - X2 + Y32  0, X6 - X2 + Y26  0, X6 - X3 + Y36  0, • X3 - X6 + Y63  0, X4 - X2 + Y24  0, X4 - X6 + Y64  0 • X6 - X4 + Y46  0, X5 - X3 + Y35  0, X5 - X6 + Y65  0, • X6 - X5 + Y56  0, X5 - X7 + Y75  0, X7 - X4 + Y47  0, • X7 - X6 + Y67  0, X1 - X7 1, y • Yij  0, y todos los Xi son variables libres. • La formulación dual sugiere que se intente asignar flujos a arcos de misma manera que para cada arco, la diferencia en valores en el nodo inicial y el nodo final excede el valor agregado.

16. 3.5 Ruta critica ( PERT-CPM). • MÉTODOS CPM Y PERT • Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico,criticaIpathmethod) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa,programevaluation and reviewtechni- que) se basan en redes, y tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades. En la figura 6.50 se resumen los pasos de estas técnicas. Primero se definen las actividades del proyecto, sus relaciones de precedencia.

17. Representación en red • Cada actividad del proyecto se representa con un arco que apunta en la dirección de avance del proyecto. Los nodos de la red establecen las relaciones de precedencia entre las diferentes actividades del proyecto. • Para configurar la red se dispone de dos reglas: • Regla 1. Cada actividad se representa con un arco, y uno sólo. • Regla 2. Cada actividad se debe identificar con dos nodos distintos. • La figura 6.51 muestra cómo se puede usar una actividad ficticia para representar dos actividades concurrentes, A y B. Por definición, la actividad ficticia, que normalmente se re­presenta con un arco de línea interrumpida, no consume tiempo o recursos. La inserción de una actividad ficticia en una de las cuatro formas que se ven en la figura 6.51, mantiene la concurrencia de A y B, y también proporciona nodos finales únicos para las dos actividades (para satisfacer la regla 2). • Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben contestar las si­guientes preguntas cuando se agrega a la red cada actividad: • a)         ¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual? • b)         ¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual? • c)         ¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente o simultánea con la actividad actual?

18. Regla 3. Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben contestar las si­guientes preguntas cuando se agrega a la red cada actividad: • a)         ¿Qué actividades deben anteceder inmediatamente a la actividad actual? • b)         ¿Qué actividades deben seguir inmediatamente a la actividad actual? • c)         ¿Qué actividades deben efectuarse en forma concurrente o simultánea con la actividad actual? Uso de una actividad ficticia para tener representación única de las actividades concurrentes A y B Para contestar estas preguntas se podrá necesitar el uso de actividades ficticias, para asegurar las precedencias correctas entre las actividades. Por ejemplo, considere al siguiente segmento de un proyecto: La actividad C comienza de inmediato después de haber terminado A y B. La actividad E se inicia después de que sólo terminó la actividad B.

19. La parte (a) de la figura 6.52 muestra la representación incorrecta de esta relación de prece­dencia, porque pide que A y B terminen antes de poder iniciar E. En la parte B se corrige la si­tuación con el uso de la actividad ficticia. • Figura 6.52: Uso de una actividad ficticia para asegurar una relación de precedencia correcta