函数 Y=Asin( ω x+ φ) 的图像

函数Y=Asin(ωx+φ)的图像 滁州中学关礼杰进入

在生活中有很多周而复始，相继交替的情况，如月亮圆缺变化，海水潮涨潮落，四季更替，在数学上我们将其定位为“周期性”。在生活中有很多周而复始，相继交替的情况，如月亮圆缺变化，海水潮涨潮落，四季更替，在数学上我们将其定位为“周期性”。 • 数学源于生活，又引领生活，在必修1中我们学习过了将生活中的某些问题抽象成了数学模型，那么上面的这些现象既然跟三角函数的独特性质吻合，能否用三角函数来刻画的数学特征，进而预测呢？ • 当然由于正弦函数过于简单，不可能所有的类似现象都可以由其表示，因而我们需要将其进行一定的变换，修改！

怎么修改呢！ • 我们知道在必修1中有一种叫指数型模型函数，大家应该清楚它是由指数函数扩展而来，这样就可以将较为复杂的爆炸增长性问题在较小的误差范围内解决了。 • 类比上述的扩展，我们可以将在能添加系数的地方添加了，由于书本的36页已有提示，因而一种改变就是表达式：

扩展函数找到了，怎么研究呢？ • 图像决定性质，因而我们可以试着先将其图像画出，然后观察，在本章我们学习了画三角函数图像的特殊方法，五点作图法，在这里，我们会让她大方光彩。 • 在扩展后的函数中多了，可以断言他们必然有影响，关键是有什么影响?又怎样将这种影响一个一个得找出来呢？它的图像与的图像又有怎样的联系呢？下面我们将逐一研究！

列表取点； 描点；用圆滑曲线连接。 1、五点法作图的步骤：

最高点 曲线与x轴交点 y=sinx 最低点 2、用五点法画函数y=sinx在[0，2 ]的图象的关键点是：(如图) y 1 o x -1

问题1 在同一坐标系中作出y=2sinx及 y= sinx的简图，并指出它们与y=sinx图象间的关系。 1 2 1、A对函数图象的影响

0 0 0 0 y y=2sinx 2 y=sinx 1 o x 1 2 y= sinx -1 -2 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0

y＝2sinx的图象 y＝sinx的图象 1 y＝sinx的图象 y＝ sinx的图象 2 A的作用纵向伸缩上述变换可简记为: 各点的纵坐标伸长到原来的2倍 (横坐标不变) 各点的纵坐标缩短到原来的1/2倍 (横坐标不变) 结论: y＝Asinx （其中A>0) 的图象可看成是由y＝sinx的图象上的所有点的横坐标不变,纵坐标伸长（A>1时) 或缩短(0<A<1时)到原来的A倍而得到. 注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小）值,我们把A 叫做振幅。

问题2 作函数y=sin2x及y=sin x的简图，并指出它们与y=sinx图象间的关系。 1 2 2、ω对函数图象的影响

0 0 1 -1 0 0 0 y=sin2x y 1 y=sinx o x -1

0 0 2 y=sin2x y y=sin x 1 1 1 2 2 y=sinx o x -1 0 1 0 -1 0

1 2 上述变换可简记为: 各点的横坐标缩短到原来的1/2倍 Y=sinx的图象 y=sin2x的图象 (纵坐标不变) 各点的横坐标伸长到原来的2倍 Y=sinx的图象 y=sin x的图象 (纵坐标不变) 结论:函数y=sinωx (其中ω>0) 的图象,可看作把y=sinx图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长(当 0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍而得到. 注: ①ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起横向伸缩

问题3 作函数y=sin(x+ )和y=sin(x- ) 的简图，并指出它们与y=sinx图象之间的关系。 3、φ对函数图象的影响

_ 0 2 y=sin(x+ ) y=sinx 兀 3 0 1 0 -1 0 y 1 o - x -1

0 2 y=sin(x- ) y=sin(x+ ) y=sinx 兀 4 兀 3 0 1 0 -1 0 y 1 - o x -1

结论:y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度而得到.(简记为:左加右减)结论:y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx的图象向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度而得到.(简记为:左加右减) 注:φ引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改变图象的形状.φ叫做初相.

4 、函数y=Asin( x+ )的图象 问题4 作出y=3sin(2x+ )的图象。

_ 0 2 y 3 2 1 y=3sin(2x+ ) o x - -1 -2 -3 兀 3 0 3 0 -3 0

y 3 2 1 y=3sin(2x+ ) y=sinx o x - -1 -2 兀 y=sin(2x+ ) 3 -3 兀 y=sin(x+ ) 兀先左右平移再左右伸缩(只变x的系数) 3 3 变换1：

兀 =sin(2x+ ) 3 y 3 2 1 y=3sin(2x+ ) y=sinx o x - -1 y=sin2x 兀 y =sin 2(x+ ) -2 6 -3 先左右伸缩再左右平移(注意变形) 兀 3 变换2：

y=sinx的图象 y=sin(x+π/3)的图象第1步: y=sin(x+π/3)的图象 y=sin(2x+ π/3)的图象第2步: y=3sin(2x+ π/3)的图象第3步: y=sin(2x+ π/3)的图象 y 3 2 1 o x -1 -2 -3 用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤(先平后缩): 向左平移π/3个单位长度横坐标缩短到原来的1/2倍 (纵坐标不变) 纵坐标伸长到原来的3倍 (横坐标不变) y=3sin(2x+ π/3) y=sinx y=sin(x+π/3) y=sin(2x+ π/3)

小结4 （1）函数y=Asin( x+ )(其中A>0, >0)的图象，可看作由下面方法得到：再把所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）, 得到y=Asin( x+ )。把y=sinx的图象上所有的点向左（当 >0时）或向右（当 <0时）平行移动| |个单位长度，得到y=sin(x+ ); 再把所有点的横坐标缩短（当 >1时）或伸长（当0< <1时）到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin ( x+ ); （注意变形）

（2）函数y=Asin( x+ )(其中A>0, >0)的图象，还可看作由下面方法得到：把y=sinx图象上所有点的横坐标缩短(当 >1时)或伸长(当0< <1时)到原来的倍(纵坐标不变）,得到y=sin x; 再把所有的点向左（当 >0时）或向右（当 <0时）平行移动| |个单位长度，得到y=sin (x+ ) =sin( x+ ); （注意）再把所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）, 得到y=Asin( x+ )。

总结

1、函数y=Ａsin( x+ )中的Ａ，，这 　　三个量对函数图象的影响是： A（振幅): 引起图象纵向伸缩（T= ): 引起图象横向伸缩（注意变形）（初相）：引起图象左右平移（注意变形）

2、注意前面所研究的前提条件是 y=Asin( x+ )中的A>0, >0；若A<0, <0呢？留作同学们课下思考，例如：y=-2sin(-2x+ )

3、函数 y=Acos( x+ )（A>0, >0） 的图象可用类似方法作出。思考题：用两种方法作函数y=2cos(2x- )的图象。

作业： P66：练习----1，2，3，4，5写在书上；习题4.9----2，3 写在作业本上。

测试： 1、函数y=2sin(3x- )的图象是由y=sinx 的图象怎样变换得到的? 2、函数y=sin(2x- )的图象是由y=sin2x的图象怎样平移得到的？

函数 Y=Asin( ω x+ φ) 的图像