DERIVADAS E DIFERENCIAIS II

1. DERIVADAS E DIFERENCIAIS II Nice Maria Americano da Costa

2. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA Seja Pela definição da derivada temos que calcular

3. DERIVADA DO SENO Seja Pela definição da derivada temos que Sabemos da trigonometria que diferença entre dois senos podem ser expressos como

4. DERIVADA DO CO-SENO Seja Pela definição da derivada temos que Sabemos da trigonometria que diferença entre dois co-senos podem ser expressos como

5. DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES

6. PROPRIEDADES Teorema. A derivada do produto de uma constante por uma função de x é igual ao produto da constante pela derivada da função; i. e. Demonstração usando a definição de derivada, temos

7. Teorema. A derivada da soma de um número finito de funções é a soma das derivas das funções; i. e. Demonstração usando a definição de derivada, temos

8. Teorema. A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da 1a. função pela derivada da 2a. função mais o produto da 2a função pela derivada da 1a. função Demonstração usando a definição de derivada, temos

9. Teorema. A derivada quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo denominador é igual ao quadrado da função dada no denominador e cujo numerador é igual ao produto da função no denominador pela derivada da função no numerador menos o produto da unção no numerador pela derivada da função no denominador Demonstração: temos

10. DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS Teorema. Seja y=f(x)=F(u), sendo u=  (x). Se u(x) tem uma derivada, u’(x)= x’ e y=F(u) tem uma derivada Fu’, a derivada f’(x)= Fu’ (u) x’ (x), Ou seja, a derivada de f(x) em relação a x é igual ao produto de derivada de F em relação a u pela derivada de u em relação a x. Demonstração: para o acréscimo x , temos os acréscimos correspondentes às funções Além disso, quando x 0, u 0 e y 0. Por hipótese, temos também

11. Pelo teorema do limite, podemos escrever,

12. Exemplos

14. DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA Uma função implícita, y=f(x), é aquela que satisfaz a uma equação da forma F(x,y)=0. Exemplos: Note que nem sempre é possível resolver a equação para y, como no primeiro caso. Podemos, entretanto calcular a derivada usando a regra da função composta.

15. DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS Toda funções crescente, ou decrescente, admite uma função inversa. I. e., dado y=f(x) é possível determinar a função que expressa x em função de y, ou x= (y). Teorema: Se a função y=f(x0 admite uma inversa, x=(y), cuja derivada ’(y), em um ponto dado é diferente de zero, então a função y=f(x) possui no ponto x correspondente uma derivada f’(x) igual ao inverso da ’(y), I.e:

16. Demonstração: Se por hipótese: derivando a segunda expressão em relação a x, usando a regra da cadeia,temos:

17. DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS y=arc cosx y=arc senx

18. y=arc tgx y=arc cotx

19. y y(t2) (x(t),y(t)) y(t1) x(t1) x(t2) x FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA Função Paramétrica Sejam duas funções da variável t (o tempo, por exemplo), x=(t)e y=(t). Se x e y representam as coordenadas de um ponto no plano, a cada instante t, teremos um ponto no plano. Quando t varia no intervalo, T1<t<T2, o ponto (x,y) descreve uma curva no plano. As funções dadas são chamadas de equação paramétrica desta curva. E t é o parâmetro.

20. Lançamento horizontal y vh y0 (x(t),y(t)) x

21. DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA Dadas as formas paramétricas, x=(t) e y=(t), de uma curva, isto é, as equações paramétricas da função y de x, é possível calcular a derivada dessa função, yx’. Se a função x=(t) admite uma inversa, isto é, podemos expressar t como uma função de x, t=(x), então a função y=(t), pode ser expressa como Temos então uma função composta. Podemos aplicar a regra da derivada:

22. Lançamento horizontal