Discrete keuze theorie H01I6A Verkeerskunde basis cursus 2010

1. Discrete keuze theorieH01I6A Verkeerskunde basis cursus 2010 Francesco Viti & Willem Himpe Author: Jim Stada Traffic and Infrastructure Faculty of Engineering Katholieke Universiteit Leuven

2. Overzicht college • Keuze • Utiliteit • Logitmodel • Voorbeelden • Specificatie • Aggregatie • Beperkingen • Nested logitmodel H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

3. Gebieds- gegevens Ritproductie/ ritattractie Transport netwerken Trip-ends Verplaatsings- weerstanden Distributie/ vervoerwijzekeuze H-B tabellen Toedeling Vervoersstromen Voorbeelden van keuze in de verkeerskunde Keuze voor: • Wel of niet maken van verplaatsing • Bestemming • Vervoerwijze • Route H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

4. Discrete keuze theorie • Algemene theorie over keuze tussen discrete (elkaar uitsluitende) alternatieven • Afkomstig uit de psychologie en economie Belangrijke referenties: • Daniel Mc Fadden • M. Ben Akiva en S. Lerman (1985) Discrete choice analysis: Theory and application to Travel Demand (The MIT Press) • Kenneth Train H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

5. Werkwijze • dataset met gegevens over de keuzes die mensen gemaakt hebben in bepaalde situaties • Opsporen regelmatigheden in die keuzes • Gieten in mathematische vorm • Afgeleide formules gebruiken om de keuzes in nieuwe situaties te voorspellen. H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

6. Kenmerken van alternatieven en keuzemaker + een keuzeregel • Kenmerken van de alternatieven • Ook van invloed: kenmerken van de keuzemaker (bijv. inkomen) • Tenslotte nodig: een keuzeregel H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

7. Utiliteit Utiliteiten : niet direct waarneembaar Kenmerken alternatieven en personen: wel waarneembaar Daarom: Uan = functie (kenmerken alternatief a, kenmerken persoon n) • Keuzeregel: De aantrekkelijkheid van een alternatief a voor persoon n kan worden uitgedrukt in één getal, de utiliteit: Uan Persoon kiest alternatief met hoogste utiliteit H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

8. Stochastische utiliteit Personen in (voor de waarnemer) exact dezelfde situatie (zelfde kenmerken a en n) maken toch verschillende keuzen! Waarom? Er zijn een (mogelijk groot) aantal kenmerken die de analist niet waarneemt! Daarom: Definieer Uan als een stochastische variabele: met Van deterministisch = f(kenmerken a,n) en  een kansvariabele De kans dat alternatief a wordt gekozen (door persoon n) wordt nu: (We laten in het vervolg n weg als dat niet tot onduidelijkheid leidt) H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

9. Eigenschappen utiliteit U • Optellen (of aftrekken) constante bij alleU maakt geen verschil voor kansen: • Vermenigvuldigen van alleU met positieve constante c maakt geen verschil voor kansen: H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

10. Voorbeeld Pr(1) = Pr(U1 > U2) = Pr(5 + 1 > 7 + 2) U1 = 5 + 1 U2 = 7 + 2 1 Uniform verdeeld tussen –2 en +2 2 Uniform verdeeld tussen –1 en +1 En kansverdelingen Onafhankelijk ! Alt 1 3 7 Alt 2 6 8 Alt 1 wordt gekozen Kans = 1/16 (alleen bij uniforme en onafhankelijke kansverdelingen!) H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

11. Kansverdeling stoortermen  H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

12. Normale verdeling vs Gumbel-verdeling Gumbel verdeling ook wel Extreme Value of EV-verdeling genoemd H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

13. Logitmodel Als we voor de kansverdelingen van de stoortermen aannemen: • Aanname 1: Gumbel-verdelingen • Aanname 2: identiek (zelfde variantie :: 1/2 ) • Aanname 3:onafhankelijk Dan kan worden aangetoond: H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

14. Binaire logitmodel Keuze tussen twee alternatieven: Deel teller en noemer door H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

15. Voorbeeld binaire logitGebruik logitmodel voor berekening productie Keuzeverzameling voor een persoon: Alternatief 1: maakt wel woon-werk verplaatsing Alternatief 2: maakt niet woon-werk verplaatsing Persoonskenmerken: L = Leeftijd (in jaren 16-90) OPL = Opleiding (schaal van 1-17) G = Geslacht (0 = vrouw, 1 = man) GM = Gehuwde man (0 = nee, 1 = ja) GV = Gehuwde vrouw (0 = nee, 1 = ja) VK = Vrouw met jong kind (0 = nee, 1 = ja) Geschatte functies voor V (uit waarnemingen): • Opmerkingen: • Alleen verschilV1 en V2 is van belang ! • Aggregeren over zone ! • Check de plausibiliteit van de coefficienten ! H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

16. Multinomiale logit Voorbeeld vervoerwijzekeuze Pr(a) de kans dat vervoerwijze a wordt gekozen Vk de (waarneembare) utiliteit van vervoerwijze k K het aantal alternatieve vervoerwijzen Als K = 2 binaire logit Als K > 2 multinomiale logit H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

17. Voorbeeld multinomiale logitGebruik logitmodel voor berekening vervoerwijzekeuze Geschatte functies voor V (uit waarnemingen): Vauto = 1,00 - 0,15*KOSTauto - 0,10*TIJDauto Vbus = - 0,15*KOSTbus - 0,10*TIJDbus Vfiets = -0,50 - 0,10*TIJDfiets Stel gegeven: Dan: Vauto = +0,47, Vbus = -1,53, Vfiets = -2,50 Modal split Pr(auto) = e0,47 / (e0,47 + e-1,53 + e -2,50) = 85% Pr(bus) = = 11% Pr(fiets) = = 4% • Opmerkingen: • V kan negatief zijn ! • V + constante verandert uitkomsten niet ! H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

18. Specificatie logitmodel • Functionele vorm utiliteitsfuncties • Meestal lineaire functies maar niet verplicht • Variabelen in de utiliteitsfunctie • Onderscheid 1 • Kenmerken alternatieven (tijd, kost, ….) • Kenmerken personen (inkomen, leeftijd, …) • Gecombineerde kenmerken (kost/inkomen, ….) • Onderscheid 2 • Generieke variabelen • Alternatief-specifieke variabelen Vauto = 1,00 - 0,15*KOSTauto - 0,10*TIJDauto Vbus = - 0,15*KOSTbus - 0,10*TIJDbus Vfiets = -0,50 - 0,10*TIJDfiets H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

19. Geaggregeerde en gedisaggregeerde modellen Stel 2 personen A en B: Correct is eerst Pr(A) en Pr(B) bepalen, daarna middelen. Foutief is eerst VA en VB middelen, daarna Pr(C) bepalen. Voor een zone betekent dit eerst kansen voor homogene groepen bepalen, daarna aggregeren. H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

20. Schatting logitmodelMaximum Likelihood Methode Neem aan: Waarnemingen: Kans op individuele waarnemingen: Likelihood = Gezamenlijke kans op alle waarnemingen: Bepaal a en b zodat L maximaal is H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

21. Havenkeuzemodel H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

22. Resultaten schatting(op basis van gegevens 1992 Statisches Bundesamt) H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

23. Toepassing modelEffect aanleg IJzeren Rijn H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

24. Beperkingen logitmodel (1) • Voor de kansverdeling van de stoortermen: • Aanname 1: Gumbel-verdelingen • Aanname 2: identiek (zelfde variantie :: 1/2 ) • Aanname 3:onafhankelijk Logit routekeuze Geeft verkeerd resultaat Want variantie stoortermen nietidentiek H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

25. Beperkingen logitmodel (2) Rode/Blauwe bussen probleem 1e situatie: Vervoerwijze verdeling auto/blauwe bus 50%/50% Dan geldt dus Vauto= Vblauwe bus want: 2e situatie: Introductie rode bussen. Kleur bussen geen invloed op utiliteit: Dus Vauto = Vrode bus = Vblauwe bus Nu keuze uit 3 alternatieven: Logit geeft verkeerd resultaat want: kansverdeling stoortermen niet onafhankelijk H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

26. Gevolg aanname onafhankelijke stoortermen:Independence of irrelevant alternatives (i.i.a.) (i.a.a. eigenschap) i.a.a. leidt tot: Proportionele substitutie Nieuwe verdeling als ov B van markt verdwijnt H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

27. Aanpak i.a.a.1. Toch logit, maar met heterogene bevolkingsgroepen H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

28. Betere aanpak i.a.a.2.Nested logit Alle verplaatsingen Auto Openbaar Vervoer Trein (of OV bedrijf A) Bus (of OV bedrijf B) H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

29. alle verplaatsingen prive vervoer openbaar vervoer auto ov-bedrijf A ov-bedrijf B Nested logit - Berekeningsmethode (1) Neem aan: (Generalised Extreme Value verdeling) Dan kan worden afgeleid: Zet gecorrelleerde alternatieven bij elkaar in een “nest” k is maat voor correlatie: 0 = perfecte corr 1 = onafhankelijk H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

30. alle verplaatsingen Nested logit - Berekeningsmethode (2) Complexe formule op vorige slide is equivalent aan sequentie van ‘gewone’ logits ! LS = ‘logsom’ H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

31. alle verplaatsingen Nested logit – nest met 1 alternatief Vereenvoudiging als nest slechts één alternatief bevat H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

32. Nested logit – voorbeeld berekening H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010

33. Samenvatting • Keuze is een centraal thema in de verkeerskunde • Het logitmodel is een zeer geschikt instrument voor het analyseren van keuzes • Gebaseerd op toekenning van utiliteiten aan de diverse keuze-alternatieven • Utiliteiten zijn een functie van de kenmerken van alternatieven (en van kenmerken van personen) • Omdat we niet alle kenmerken weten, voegen we een stochastischecomponent toe aan de utiliteit. Dit heet een stoorterm. • De keuzeverdeling wordt gegeven in termen van kansen, die later over een gebied of bevolkingsgroep worden geaggregeerd • Het logitmodel kent beperkingen. Correlaties in stoortermen kunnen worden verwerkt door toepassing van een nestedlogitmodel. H01I6A Verkeerskunde Cursus 2010