Bazat e Elektroteknikës Ligjërata: 9 Madhësitë e ndryshueshme sinusoidale

1. Bazat e Elektroteknikës Ligjërata: 9 Madhësitë e ndryshueshme sinusoidale Akademik Alajdin Abazie-mail:a.abazi@seeu.edu.mk , Tel: (044)356-110

2. Kuptime të përgjithshme për funksionet sinusoidale • Shprehja e përgjithshme e funksionitme ndërim kohor sinusoidal: • Komponentet kryesore të funksionit sinusoidal: • Këndi ose argumenti (ωt+α), që ritet gjatë kohës me shpejtësi këndore ω, nga vlera fillestare α(këndi fillestar në momentin t=0) • Vlera maksimale ose amplituda Ym • Perioditeti i fuksionit sinusoidal: • Vlera e funksionit sinusoidal përsëritet rregullisht pas çdo rritjeje të këndit për 2π. Kjo ndodh përgjatë kohës prej një periode T, andaj shpejtësia këndore konstante është ω=2π/T ([ω]=rad/s), ku numri i peridave për një sekondë është 1/T=f, frekuenca sinusoidale ([f]=1/s=Hz)

3. Veti me rëndësi të funksioneve sinusoidale sin(π/2)=1, sin(3π/2)=-1, sin(0+kπ)=0, (kЄN) sin(α+π/2) = cos(α) ose sin(α) = cos(α-π/2) sin(α-π/2) = -cos(α) ose sin(α) = -cos(α+π/2) • Shuma e funksioneve sinusoidale (me frekuenca të njejta) është funksion sinusoidal (me frekuencë të njejtë) • Ndryshimi i funksioneve sinusoidale (me frekuenca të njejta) është funksion sinusoidal (me frekuencë të njejtë) • Derivati i fuksionit sinusoidal është funksion sinusoidal: • Integrali i fuksionit sinusoidal është funksion sinusoidal:

4. Paraqitja e funksioneve sinusoidale me vektorë • Në sistemin koordinativ (XY), çdo vektor A mund të paraqitet si shumë e komponenteve vehtiake në drejtim të boshtit x dhe y (projektimit të vektorit në boshtin e abcisës x dhe ordinatës y): A=x(A)+y(A) • Komponentet e vektorit A mund të paraqitensi vijon: x(A)=Acosα dhe y(A)=Asinα • Njejtë, mund të paraqiten edhe komponentete vektorit B: x(B)=Bcosβ dhe y(B)=Bsinβ • Shuma e vektorëve A dhe B është vektori Cme komponente: x(C)=Ccosγ dhe y(C)=Csinγ • Andaj vlen: y(C)=y(A)+y(B), gjegjësisht: Asin(α)+Bsinβ=Csinγ • Mbledhja e funksioneve sinusoidale, në vend të formulave të ndërlikuara trigonometrike, mund të realizohet në këtë mënyrë si mbledhje e zakonshme e vektorëve. Ngjajshëm realizohet edhe zbritja.

5. Lidhja mes sinusoidës dhe vektorit rrotullues • Nëqoftëse këndi i vektorit A ndaj boshtit të abcisës x, nga ndonjë vlerë fillestare αrritet me shpejtësi këndore konstante ω, ai kënd mund të interpretohet me funksionin kohor (ωt+ α) • Vektori A rrotullohet me shpejtësikonstante në kahje të kundërt të akrepave të orës, kurse komponentae tij yA në drejtim të boshtit y(projektimi i vektorit në boshtin y)ndëron me kohën sipas funksionit: yA(t)=Asin(ωt+α) • Vektori i këtillë rrotullues me komponentën y paraqet shprehjen e përgjithshme të funksioneve me ndërim kohor sinusoidal-sinusoidë. Shpejtësia konstante e rrotullimit të vektorit ω, ndryshe quhet edhefrekuenca e rrotullimit (ω=2πf)

6. Kuptimi dhe interpretimi i numrave kompleks • Numri kompleks a në rastin e përgjithshëm mund të interpretohet si shumë e një numri real dhe një numri imagjinar: a=b+jc ku: b=Re{a} , c=Im{a} , kurse (njësia imagjinare) • Numri kompleks a paraqet një pikë nërrafshin kompleks (në anën e djathtë) • Përveç koordinatave në boshtin Re dhe Im,çdo pikë në rrafshin kompleks është e përcaktuar edhe me gjatësinë A të pikës ngaqendra dhe me këndin që A e mbyll me boshtin real Re (moduli dhe këndi i numrit kompleks) a=Re{a}+jIm{a}=Acosα+jAsinα=Aejα=A α ku: dhe

7. Vektori rrotullues në rrafshin kompleks • Ç’do pikë (numër kompleks a) në rrafshin kompleks mund të interpretohet me vektor me fillim në boshtin koordinativ. Gjatësia e vektorit A paraqet modulin, kurse këndi i vektorit α është këndi i numrit kompleks anë pikën e mbarimit të vektorit. • Me rritjen e këndit gjatë kohës, nga këndi fillestarα me shpejtësi këndore konstante ω, vektorirrotullohet në kahje të kundërt me akrepat e orës(kahja pozitive +) me frekuencë këndore konstanteω. Vektori rrotullues në fakt përcakton numrinkompleks a, ashtuqë: a=Acos(ωt+ α)+jAsin(ωt+ α)=Aej(ωt+α) • Pjesa imagjinare e numrit kompleks a, që paraqet vektorin rrotullues, ndryshon me kohën sikurse funksioni sinusoidal i zakonshëm-sinusoida: Im{a}=Asin(ωt+ α) • Tensioni dhe rryma e ndryshueshme sinusoidale mund të interpretohen me numra kompleks (me vektor në rrafshin kompleks), që thjeshtëson llogaritjet e tyre!

8. Paraqitja e rrymës dhe tensionit sinusoidal në mediumin kompleks • Në mediumin kompleks vektori rrotullues: paraqet tensionin u(t)=Umsin(ωt+αu): u(t)=Im{u} • ku pjesa komplekse e numrit Umejα=Um paraqetpozitën fillestare (për t=0) të vektorit (Um-vektorinë qetësi), kursen pjesa ejωt përcakton rotacionine vektorit u. • Ngjajshëm, rrymën i(t)=Imsin(ωt+αi) e paraqet vektori: • ku Imejα=Imështë vektori në qetësi (vlera maksimale) i rrymës. • Raporti mes madhësive amplitudë dhe fazë (i përcaktuar nga vektorët në qetësi) nuk ndryshon gjatë rrotullimit të vektorit (me frekuencë këndore të njejtë), andaj llogaritja në mediume komplekse mund të realizohet vetëm përmes vektorëve në qetësi, kurse pjeasa që përcakton rrotullimin (ejωt) i shtohet rezultatit të vektorit në qetësi para se të konvertohet në domenin kohor. φ=αu-αi ndryshimi fazor

9. Vlerat efektive të madhësive elektrike • Në qarqet e rrymës së ndryshueshme zakonisht manipulohet me vlerat efektive të rrymës dhe tensionit, të cilat në mediume komplekse përfaqësohen përmes vlerave efektive të vektorëve në qetësi. • Vektori me vlerë efektive është vektori në qetsi, që ka këndin e njejtë (pozitën fillestare në t=0)sikurse vektori në qetësi me vlerë maksimale,kurse prej tij është më i vogël për herë. • Vektori me vlerë efektive shënohet me shkronjëtë madhe të rrymës ose tensionit, si p.sh. • Kahja e vektorit në qetësi në mediume komplekse nuk e përcakton kahjen hapsirore, por këndin (çvendosjen fazore), andaj vektorët e rrymës dhe tensionit ndryshe quhen edhe fazorë. Për ti dalluar nga numrat tjerë kompleks zakonisht shënohen me pikë mbi shkronjë.

10. Kuptimi dhe rëndësia e impedacës • Raporti mes vlerave komplekse të tensionidhe rrymës së ndonjë elementi jep vlerëkomplekse të njohur si impedancë dheshënohet me Z • Z=U/I është impedanca ([Z]=Ω) • φ=αu- αi është këndi i impedancës që tregon ç’vendosjen fazore të tensionit prej rrymës • Impedanca shprehet në mediumin kompleks (Z) përmes pjesës imagjinare X dhe pjesës reale të impedancës R

11. Kuptimi dhe rëndësia e admintancës • Vlera reciproke e impedancës, ose raportimes vlerës komplekse të rrymës dhetensionit të ndonjë elementi është numërkompleks karakteristik për atë elementdhe quhet admitancë, shënohet me Y: • Y=I/U është admitanca ([Y]=S) • φY=αi- αu=-φështë këndi i admitancës që tregon ç’vendosjen fazore të rrymës prej tensionit • Admitanca shprehet në rrafshin e veçantë kompleks (Y) përmes pjesës imagjinareB dhe pjesës reale të admitancës G

12. Impedancat e elementeve themelore • Rezistenca R i(t)=Imsin(ωt) Fazori: Impedanca: • Induktiviteti L i(t)=Imsin(ωt) Fazori: Impedanca: • Kapaciteti C u(t)=Umsin(ωt) Fazori: Impedanca:

13. Ligjet e Kirhofit në mediume komplekse • Gjatë zgjidhjes së qarqeve me rrymë të ndryshueshme në mediume komplekse, ligjet e Kirhofit vlejnë për fazorët e rrymës dhe tensionit, si vijon: • Ligji i Kirhofit për rrymë: • Shuma algjebrike e fazorëve të rrymës së të gjitha degëve në një nyje është zero (fazorëve të rrymave hyrëse iu ndahet parashenja +, kurse fazorëve të rrymave dalëse, parashenja -) ose në nyje shuma e fazorëve të rrymave hyrëse dhe atyre dalëse është e barabartë. • Ligji i Kirhofit për tension: • Shuma algjebrike e fazorëve të tensioneve në një qark të mbyllur është zero (fazorëve të tensioneve që në drejtim të bredhjes riten iu ndahet parashenja +, kurse fazorëve që zvoglohen në atë drejtim iu ndahet parashenja -) ose në qark të mbyllur shuma e tensioneve aktive dhe atyre pasive është e barabartë.

14. Shembull: • Sipas Ligjit të Kirhofit për tensione: • Ekuacionet për qarqet 1, 2 dhe 3: • Sipas Ligjit të Kirhofit për rryma: • Ekuacionet për nyjet a, b dhe c:

15. Mënyra e zgjidhjes së qarqeve me rryma të ndryshueshme në mediume komplekse • Pasqyrohen shprehjet e rrymave dhe tensioneve të dhëna nga domeni kohor në ate kompleks, në mënyrën vijuese: • Rrymat dhe tensionet e dhëna shprehen si funksione sinusoidale dhe përcaktohen vlerat e tyre efektive (vlera maksimale pjestohet me ) • Shprehen fazorët e madhësive të dhëna, ashtuqë vlerat e fazorëve janë të barabarta me vlerat efektive, kurse këndet fazore me vlerat fillestare të këndeve. • Shprehen impedancate e elementeve të veçanta pasive të qarqeve. • Vendosen barazimet dhe llogariten rrymat dhe tensionet e panjohura në domenin kompleks. • Pasqyrohen shprehjet e llogaritura të rrymave dhe tensioneve nga domeni frekuencor në ate kohor, në mënyrën vijuese: • Fazorët shumzohen me faktorin dhe pastaj me ejωt dhe përcaktojnë vektorët rrotullues të rrymave dhe tensioneve të llogaritura. • Shprehen funksionet kohore të madhësive të kërkuara, si pjesët imagjinare të vektorëve rrotullues të llogaritur.

16. Pyetje!