Contagem e Probabilidade

1. Contagem e Probabilidade

2. Contagem Processo para se encontrar o número de elementos de um conjunto ou das possíveis respostas em uma situação problema. Sendo usado para esse fim um raciocínio matemático chamado Princípio Multiplicativo.

3. Princípio Multiplicativo Se uma escolha E1 possui n opções, uma escolha E2m opções e assim sucessivamente até uma escolha Ek com p opções. Temos que o número total(contagem) de maneiras de fazermos as escolhas E1, E2,..., Ek , será o produto das opções em cada escolha, ou seja, n.m.....p.

4. Probabilidade Onde E é o evento e  o espaço amostral

5. Vamos aos exemplos!

6. Exemplo 1: Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

7. E2 E1

8. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2 2 . 3 = 6 saias blusas 6 maneiras de fazer as escolhas E1 e E2 , ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir.

10. Exemplo 2: Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada, grelhado), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa?

11. E1 E2 E3

12. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2 E3 4 . 2 . 3 = 24 p. q. sal. Sobr. 24 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 24 modos do cliente se servir com o cardápio.

13. Exemplo 3: Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendo mais baratas as opções que incluíssem frango ou grelhado com salada verde, de quantas maneiras você poderia se alimentar pagando menos?

14. E1 E2 E3

15. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2 E3 2 . 1 . 3 = 6 p. q. sal. Sobr. 6 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 6 modos do cliente se servir com o cardápio.

16. Qual é a probabilidade de nesse restaurante uma pessoa fazer uma refeição barata ?

17. Qual é a probabilidade de nesse restaurante uma pessoa fazer uma refeição barata ?

18. Qual é a probabilidade de nesse restaurante uma pessoa fazer uma refeição barata ?

19. Exemplo 4: De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade X?

20. A para X

21. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2 E3 5 . 2 . 4 = 40 A a Y Y a B B a X 40 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 40 caminhos diferentes de A para X.

22. Exemplo 5: De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade Y?

23. A para Y

24. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2 E3 3 . 4 . 2 = 24 A a X X a B B a Y 24 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 24 caminhos diferentes de A para Y.

25. Exemplo 6: De quantas maneiras você pode ir da cidade B para a cidade Y?

26. B para Y

27. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2 E3 4 . 3 . 5 = 60 B a X X a A A a Y 60 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 60 caminhos diferentes de B para Y.

28. Exemplo 7: De quantas maneiras você pode ir da cidade B para a cidade X?

29. B para X

30. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2 E3 2 . 5 . 3 = 30 B a Y Y a A A a X 30 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 30 caminhos diferentes de B para X.

31. Exemplo 8: De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade B?

32. A para B

33. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2ou E3 E4 3 . 4+5 . 2 = 22 A a X X a B A a Y Y a B 22 maneiras de fazer as escolhas E1 e E2 ou E3 e E4 , ou seja, 22 caminhos diferentes de A para B.

34. Qual é a probabilidade de irmos da cidade A para X sabendo que algumas estradas estão fechadas ?

35. A para X

36. Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo E1 E2 E3 3 . 1 . 2 = 6 A a Y Y a B B a X 6 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 6 caminhos diferentes de A para X.

37. Qual é a probabilidade de irmos da cidade A para X sabendo que algumas estradas estão fechadas ?

38. Qual é a probabilidade de irmos da cidade A para X sabendo que algumas estradas estão fechadas ?

39. Exemplo 9: Considerando números formados com três digitos e usando os algarismos 0,2,3,5,6,7 e 9 responda:

40. a) Quantos nºs de três dígitos podemos formar? b) Quantos são impares ? c) Quantos são impares distintos ? d) Quantos são pares ? e) Quantos são pares distintos ?

41. Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 a) Quantos nºs de três dígitos podemos formar? Ex: 567, 336, 999, 432, 905, 562, 037, 579, ... E1 E2 E3 6 . 7 . 7 = 294 menos 0 294 nºs de três dígitos.

42. Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 b) Quantos são impares ? Ex: 567, 337, 992, 439, 905, 560, 237, 579, ... E2 E3 E1 6 . 7 . 4 = 168 menos 03,5,7,9 168 nºs impares de três dígitos.

43. Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 c) Quantos são impares distintos ? Ex: 567, 337, 957, 539, 905, 565, 237, 579, ... E2 E3 E1 5 . 5 . 4 = 100 menos 0 e E1 3,5,7,9 100 nºs impares de três dígitos distintos.

44. Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 d) Quantos são pares ? Ex: 567, 332, 956, 536, 902, 562, 236, 579, ... E2 E3 E1 ou E2 E3 E1 6 . 7 . 1+6 . 7 . 2 = 126 menos 0 0 menos 0 2,6 126 nºs pares de três dígitos.

45. Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9 e) Quantos são pares distintos ? Ex: 567, 332, 956, 536, 902, 562, 226, 576, ... E2 E3 E1 ou E2 E3 E1 6 . 5 . 1+5 . 5 . 2 = 80 menos 0 0 menos 0 e E1 2,6 80 nºs pares de três dígitos distintos.

46. Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9

47. Se todos os números formados estão em uma urna qual é a probabilidade de escolhermos um número impar distinto ?

48. Se todos os números formados estão em uma urna qual é a probabilidade de escolhermos um número impar distinto ?

49. Se todos os números formados estão em uma urna qual é a probabilidade de escolhermos um número impar distinto ?

50. Exemplo 10: Um professor tem 15 alunos e deseja fazer uma fila com 4 alunos. Quantas filas diferentes ele pode montar?