Conservazione della quantità di moto

1. lungo l'asse z (la verticale) le coordinate dei due corpi non cambiano col tempo. Le forze che agiscono sono: F12 esercitata dalla persona sul carrello (verso –x) F21 esercitata sulla persona dal carrello (verso +x) P esercitata sul suolo R esercitata dal suolo lungo l'asse x per azione/reazione F12+F21 =0 = m1v1 +m2v2 = 0 v1/v2 = m2/m1 quindi se m1~ ∞ v1~ 0 il carrello rimane ~fermo Conservazione della quantità di moto • un carrello di massa m1 può scorrere sopra un superficie orizzontale levigata, sopra il carrello si trova una persona di massa m2 • inizialmente persona e carrello sono in quiete rispetto al suolo • ad un certo punto la persona si mette a camminare lungo il piano del carrello Z Fra suola e carrello c’e’ attrito. v2 v1

2. poiche’ la risultante delle forze e’ zero Q tot = 0 . Pero’ il moto relativo in presenza di Fij dovrebbe essere accelerato. In realta’ a parte lo “spunto” iniziale la velocita’ di carrello e persona e’ costante. Questo perche’ il moto e’ un moto di “stop &go” . Lo slancio iniziale fornito dal piede destro viene perso al momento in cui viene posato al suolo il piede sinistro. In questo secondo istante il moto relativo si annulla perche’ i versi di F12 e F21 si invertono . F12 ha verso +x , F21 ha verso –x. F12 ferma il carrello e F21 ferma l’uomo Il moto riprende con lo slancio sul piede sinistro. Se Dt e’ il tempo tra i due atti (slancio destro-arresto sinistro) lo spazio percorso in ogni Dt e’ Ds = ½ (F/m) Dt2 V = F/m Dt Dopo n passi il tempo trascorso e’ nDt e lo spazio percorso e’ nDs . La velocita’ media e’ V = nDs/nDt = cost = F/m Dt = cost Ovviamente essa dipende , a parita’ di lunghezza del passo, dalla frequenza dei passi : n = 1/Dt . Piu’ alta la frequenza, minore Dt , maggiore V (ma sempre costante)

3. consideriamo un sistema di riferimento in cui l'asse z è diretto verticalmente verso l'alto e l'origine è posta all'altezza del davanzale. Allora agli istanti t=0 sec e t=1 sec il vaso passa per z=0 l'altezza massima possiamo ricavarla dallo studio di z(t): Esercizio • Una persona attraverso una finestra vede passare un vaso diretto verso l'alto e quindi ricadere. Se il tempo intercorso tra l'istante in cui compare il vaso e quello quando il vaso scompare (nella fase di ricaduta) è di 1 sec. determinare l'altezza massima raggiunta dal vaso sopra il bordo della finestra. • il moto avviene sotto l'azione della forza peso, quindi è un moto uniformemente accelerato: z (t)= z0 + v0z t + 1/2gt2

4. Un uomo di massa 90 kg si trova su di un ascensore. Determinare la forza esercitata dall'uomo sul pavimento quando: • a) l'ascensore sale con velocità costante • b) l'ascensore scende con velocità costante • c)l'ascensore accelera verso l'alto con • aa = 3 m/s2 • d) l'ascensore accelera verso il basso con aa = 3m/sec2 • e) il cavo si spezza e l'ascensore cade liberamente • a) l'accelerazione dell‘uomo è nulla • ma =R + P = 0 R =882 N = PESO • b) Lo stesso. • c) l’accelerazione non e’ nulla a>0 • ma = R + P = R –mg • R= m (g+a) =1152 N > del peso • d) Idem a < 0 • - ma= R – mg • R = m(g-a)= 612 N < del peso • e) l’accelerazione e’ a = -g • -mg = R –mg R= 0 assenza di peso La forza esercitata dall'uomo è uguale (in modulo) alla reazione vincolare del pavimento. Consideriamo un sistema di riferimento con l'asse z rivolto verso l'alto L’uomo e’ soggetto alla reazione vincolare R(che potrebbe essere misurata da una bilancia) e al proprio peso P.

5. z b Esercizio • Due masse m1 e m2 sono appese come in figura con fili inestensibili e di massa trascurabile. • Calcolare i valori delle tensioni T1 e T2. • Si taglia il filo 1, durante la caduta il filo 2 è teso? La fune 1 deve sostenere m1 e m2 T1 + (m1+m2)g = 0 La fune 2 sostiene solo m2 T2 + m2g = 0 Se si taglia la fune 1 i due corpi Cadono con la stessa g Su m1 T1+m1g +T2 = m1g T1 = 0 dunque T2 = 0 Oppure T2+m2g = m2g T2=0 Si supponga che la fune ,lunga L, abbia massa con densita’ lineare λ = m/L Kg/m. Il segmento di lunghezza db e coordinata z = b deve sostenere la massa m e il peso Del tratto di fune lungo (L-b). La tensione in b e’ T = -mg – λ (L-b) g Se la fune ha massa la tensione dipende dalla posizione T(z) = -mg – λ (L-z) g E’ massima a z=0 e minima per z=L

6. h Rn X mg mg sinθ mg cosθ mg cosθ T T μ Esercizio La fune e’ ideale , la sua tensione e’ Uniforme, la sua massa nulla (non ha Inerzia). Il filo e’ inestensibile : v1 = v2 e a1= a2 Su 1 agiscono il peso e la tensione ma1 = mg + T1 (sono vettori) Su 2 il peso,la tensione, la reazione normale del piano , l’attrito. ma2 = mgp +mgn + Rn + μ m gn +T2 • Due masse uguali, collegate da un filo ideale, sono disposte come in figura. All'istante t=0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e si osserva che la massa sospesa (1) scende. Note: • θ= 30° • h = 1 m • μD = 0.4 • calcolare la distanza totale percorsa in salita dalla massa che si trova sul piano inclinato Posto mgn = mg cosθ mgp =mg sinθ si puo’ trsformare il moto in un moto “lineare”

7. h Rn X mg mg sinθ mg cosθ mg cosθ T T μ Moto di 1) -ma = - mg +T Moto di 2 -ma = mg (sinθ + μcosθ) - T Sommando si ricava a a = ½ g (1- sinθ - μ cosθ) = 0,75 m/sec2 1 si arresta dopo aver percorso il tratto h cioe’ al tempo t per cui h =1/2 a t2 quando ha velocita’ V = - (2ah)1/2 = - 1.23 msec. A questo punto 2 ha la velocita’ V ed e’ frenato da F = mg (sinθ + μ cosθ) La accelerazione di 2 e’ costante e vale a’ = g (sinθ + μ cosθ) = 8,29 m/sec2 La sua velocita’ v(t) = V + a’ t e vale zero per t = -V/a’ Quando 2 ha percorso s = Vt + ½ a’ t2 = 0.09 m Cui va aggiunto il tratto h percorso insieme ad 1.

8. ds A T2 +Fa dθ R T1 r dθ Tensione ~ nulla Tensione Max. Nel punto A della corda ,che non scorre a causa dell’attrito,oppure ,se si vuole sul tratto ds = r dθ, agiscono le forze T1, T2 e Fa l’attrito generato dalla pressione della risultante T1+T2. Poiche’ ds e’ fermo deve essere in modulo T = T1 = T2 + Fa la risultante delle forze T1 + (T2 + Fa) e’ un vettore diretto verso Il centro e di modulo R = 2T1 dθ = 2 T dθ Quindi Fa = 2 μ T dθ ds e’ in equilibrio (fermo) se F = T - 2 μ T dθ – T2 = 0 Dal che si conclude che T2 < T e si puo scrivere dT = T2-T = - 2 μ T dθ e ottenere l’equazione dT(θ) / dθ = - 2 μ T(θ) Che ha come soluzione T(θ) = T0 e (-2 μθ) la tensione della fune diminuisceexp con l’angolo di avvolgimento

9. quando l≠l0 agisce una forza di richiamo che tende a riportare l'estremità della molla nella posizione di riposo tale forza è proporzionale all'allungamento: con k>0 k viene detta costante elastica della molla Forza elastica • moto rettilineo sotto l'azione di una forza elastica: • consideriamo una molla • una estremità è fissata • un sistema di riferimento con l'asse x parallelo all'asse della molla • O indica la posizione di riposo della molla • può essere allungata o compressa • l0: lunghezza a riposo • l: lunghezza generica • l'allungamento è: [k] = [m l t-2 l-1]=[mt-2]

10. ωsi chiama pulsazione questa equazione è una equazione differenziale di secondo grado, lineare, omogenea e a coefficienti costanti, la soluzione generale di questa equazione è: X(t)= A sin (ωt + f0) con A e f 0 costanti reali. Infatti d2x/dt2= - ω2 x ω = k/m Forza elastica • dal secondo principio di Newton ricaviamo: • dove si è posto • ωha dimensioni [T-1] • k ha dimensioni [M] [T-2] • ω2 ha dimensioni [M][T-2] [M-1] = [T-2] d2x/dt2 + ω2x = 0 è un moto periodico

11. X(t)= A sin (ωt + f ) dove A e f sono due costanti A è il valore massimo raggiungibile da X = ampiezza dell'oscillazione X varia tra –A e + A Si supponga che per t = 0 X = 0 si ha f = 0 SIN θ ha periodo 2 π X assume lo stesso valore ( per es. +A) per t1 = (π/ 2)/ ω t2 = 5 ((π/ 2)/ ω) t3 = 9 ((π/ 2)/ ω) Cioe’ ogni T = 2 π / ω sec. V = dx/dt = A ω cos (ω t) e’ massima per t = 0 o t = n π/ ω Cioe’ quando x = 0 al centro dell’oscillazione V = 0 per t = (2n+1)(π/ 2)/ ω cioe’ quando X = +- A a = d2X/dt2 = - ω2 X quindi a e’ nulla quando V = max e massima Quando V = 0 agli estremi dell’oscillazione

12. θ L gsinθ gcosθ Un’equazione analoga descrive il moto del pendolo semplice. Per piccoli angoli (<10 0) sinθ ~ θ L’unica forza efficace e’ mgθ e’ dovra’ Essere mgθ = - m d2s/dt2 con s = lunghezza d’arco = Lθ mgθ = - m L d2θ/dt2 d2θ/dt2= - g/L θ La soluzione e’ θ (t) = θ0 sin (ωt + f) d2θ/dt2 = - ω2θ0 sin (ωt + f) =-ω2θ Il moto si ripete ogni volta che t = T = 2π/ω = periodo dell’oscillazione = 2 π (L/g)1/2. Osservare che T non dipende da θ0 ,che e’ l’ampiezza dell’oscillazione, ma solo da L e g.

13. ALTRE OSSERVAZIONI θ (t) = θ0 sin (ωt + f) per t= 0 θ = θ0 < 0 quindi f = π/2 La velocita’: dθ/dt = θ0ω cos (ωt + π/2) e’ nulla per t = 0 ed e’ max per ωt =π/2 quando θ(t) = 0 L’accelerazione: d2θ/dt2 = - ω2θ0 sin (ωt +π/2 ) e’ massima per t=0 (quando e’ nulla la Velocita’ ) e nulla per ωt =π/2 quando θ = 0 Si noti anche che la tensione della fune deve compensare la componente di g lungo il filo e fornire l’accelerazione centripeta, che vale v2/L = (dθ/dt )2 L Quindi la Tensione vale T = mg sin θ0 alla max. elongazione (dθ/dt =0) e T = m θ02ω2 L + mg al passaggio per θ = 0 Alla conclusione che il periodo dell’oscillazione fosse proporzionale a (L/g) ½ si poteva arrivare con semplici considerazioni dimensionali. Il Periodo ha le dimensioni di un tempo : le grandezze in gioco sono L, g, m . L’unica combinazione che abbia e dimensioni di un tempo e’ (L/g)1/2

14. Lavoro di una forza Si definisce come lavoro della forza F applicata al punto P che si sposti di ds il prodotto scalare dei vettori F e ds dL = F ds = F ds cosθ Il lavoro si misura in Joule (J) 1 J = 1N 1m Notare che, per definizione dL = F ds = m dv/dt vdt = m v dv = d (1/2 m v2) ATTENZIONE: La forza F compie il lavoro dL = F ds indipendentemente dalla causa dello spostamento di P ,che potrebbe anche non essere dovuto a F, ma semplicemente perche’ P si sposta. Se il punto P si sposta da P1 a P2 lungo il Cammino s il lavoro sara’ L = dove l’integrale va eseguito lungo la linea s. F puo’ dipendere ovviamente dalla posizione lungo s.

15. dL = F ds = Fx dx + Fy dy + Fz dz Il lavoro di Fx se P si sposta da X1 a X2 e’ L = Per il principio di sovrapposizione delle forze Il lavoro di n Forze applicate in P che si sposta di ds e’ la somma dei lavori delle singole forze che e’ uguale al lavoro della forza risultante.

16. z2 F z1 mg Calcolo di alcuni lavori Sollevamento a velocita’ costante da z1 a z2 V= cost F – mg = 0 F e mg sono costanti dLF = Fdz LF = F (z2-z1) dL g = - mg dz = -mg (z2-z1) Il lavoro totale e’ nullo : d (1/2m v2) = 0 v = cost m viene lasciato cadere liberamente da z2 a z1 L = - mg (z1 –z2) >0 perche’ F e ds sono concordi dL = d (1/2m v2) L = (1/2mv2)fin – (1/2mv2) iniz Attrito F = μ mg Il corpo si arresta dopo S S dL = - μ mg ds ds e’ positivo,F e’ in verso opposto L = - μ mg S = (1/2mv2)fin – (1/2mv2) iniz = – (1/2mv2) iniz perche’ Vfin =0 Lo spazio di frenata dipende dal quadrato della velocita’.

17. θ K A s B gsinθ h gcosθ La tensione non compie lavoro : T perp. a ds Lavoro del peso da θ a 0 ? dL = mg ∙ ds = mg ds cos (π/2 –θ)= mg sin θ ds ds = - K d θ dL = - mg K sin θ d θ = d (mg K cos θ) = mg d (Kcos θ) Kcos θ = z quindi dL = mg dz L = mgK cos θfin – mgk cos θin = mg (K – K cos θin )= = mg(z fin-zin) = mg h > 0 ½ mv2 – 0 = mgh Il lavoro e’> 0 perche’ ds e mgsin θ hanno lo stesso verso. Z Il Lavoro per andare da 0 a – θ’ e’ L = - mgK cos θ’ + mgK = - mgh’ Se θ’ corrisponde al punto in cui si arresta L = 1/2mv2 fin – ½ mv2in = 0 – mgh cioe h’=h Da A a B il peso fa lavoro=0 Un attrito costante Fa farebbe L = Fa 2K θ <0 perche’ θ <0 Il lavoro della forza peso dipende solo dalla variazione di z e non dal cammino percorso: se z finale = z iniziale il lavoro del peso e’ nullo. Fissato un asse Z con verso positivo parallelo a g : E ’ possibile definire una funzione U(z) = - mgz tale che F = - dU/dz = mg e il lavoro dL = - dU(z)

18. Caso della molla : F = -kx dL = F dx = - kx dx = d (- ½ kx2) L = -1/2 K ( x2fin – x2iniz) il lavoro dipende solo dai valori iniziali e finali di X Si definisce U (x) = ½ kx2 e si ha F = - dU/dx dL = -dU Nel caso della forza di gravitazione F = (G M m /r3) r e’facile mostrareche il lavoro di F dipende solo da rfin-rin e che e’ possibile definire U = - GMm/r tale che F = -dU/dr dL = - dU Nel caso della forza elettrica F = (K Q1Q2/r3) r U = -kQ1Q2/r Poiche’ ,per definizione, dL = d (1/2 mv2) = d Ek Ek = Energia Cinetica Si ha anche dL = -dU = dEk cioe’ dU + dEk = 0 U + Ek = cost Le forze che hanno la proprieta’ di compiere un lavoro nullo lungo un cammino chiuso sono dette conservative . La funzione U prende il nome di energia potenziale Notare che F e’ un vettore e U e’ uno scalare

19. Una forza si dice conservativa se il suo lavoro non dipende dal percorso ma solo posizione iniziale e finale. Ovvero se l’integrale di F ds su una curva chiusa e‘ nullo. Cio’ e’ equivalente a dire che Fds e’ il differenziale esatto di una funzione U della posizione. dL = F ds = - dU(x,y,z) in questo caso infatti il lavoro da F tra P1 e P2 vale L = - [U(P2) – U(P1)]. Poiche’ F ds = Fx dx + Fy dy + Fz dz e’ anche Fx = -dU/dx, Fy = - dU/dy , Fz = -dU/dz E chiaro che la quantita misurabile e’ la variazione di U , e non il suo valore assoluto. Infatti e’ possibile misurare L attraverso la variazione di energia cinetica , o Fx con dinamometri a o misure di accelerazione : il valore di U e’ sempre noto a meno di un termine costante U = U + Uo con dUo = 0. D’altra parte lo stesso vale per Ek = q2/2m: la quantita’ di moto ( o la velocita’ ) e’ sempre definita a meno di una costante che rappresenta la parte di q dovuta allo stato di moto rettilineo uniforme del riferimento. In definitiva [U + Ek] e’ definita a meno di una costante.

20. = ~ 11 Km/sec • si calcoli la velocità minima che deve avere un corpo lanciato verticalmente per poter sfuggire all'attrazione gravitazionale terrestre supponendo trascurabile la resistenza dell'aria. • Se m è la massa del corpo e v0 la velocità di lancio, l'energia cinetica iniziale è: Ek = ½ mV2 mentre l'energia potenziale iniziale è: • U = - G m Mt/ rt + Uo dove U0 è una costante arbitraria L’energia totale iniziale e’ Ei = Ek + U = ½ mV2 - G m Mt/ rt + Uo Quella finale (V =0 e r = infinito ) Ef = 0 + Uo Deve essere Ef = Ei ½ mV2 - G m Mt/ rt = 0 V =

21. una cassa viene posta sulla sommità di un piano inclinato scabro (μd = 0.2), di altezza h = 4 m e inclinato di un angolo θ = 30° rispetto all'orizzontale. Si calcoli il modulo v della velocità che la cassa possiede quando arriva in fondo al piano inclinato. • L’energia cinetica iniziale e’ nulla . La variazione di energia cinetica e’ uguale al lavoro delle forze. • Il lavoro del peso e’ L = mgh >0 • La forza di attrito vale Fa = μ mg cos θ ed e’ costante . • Il suo lavoro e ‘ La = Fa S negativo perche’ forza e spostamento hanno versi • opposti • S e’ la lunghezza del piano S = h/ sin θ e La= -μ mg h cosθ/sin θ • L tot = mgh ( 1 – μ cosθ/sin θ ) = ½ m v2 da cui V = 7,2 m/sec

22. Dinamica dei sistemi • consideriamo un sistema di N punti materiali, indichiamo con: • Pi il punto i-esimo • mi la massa del punto i-esimo • Fi(t) la forza agente sul punti i-esimo all'istante t la forza Fi che agisce su un certo punto ad un certo istante è dovuta alla interazione del punto con gli altri punti materiali e del punto con corpi esterni: forza interna: ogni forza esercitata sopra un punto del sistema da un altro punto del sistema stesso

23. Forze interne ed esterne • per distinguere il contributo delle forze indichiamo con • Fi,j forza di Pj su Pi • FiI la risultante delle forze interne agenti sul punto i-esimo • FiE la risultante delle forze esterne agenti sul punto i-esimo • la forza totale agente sul punto i-esimo sarà allora: • se consideriamo la forza che il punto Pi esercita sul punto Pj, dal principio di azione-reazione ricaviamo che otteniamo: ad ogni istante la risultante di tutte le forze interne agenti in un sistema materiale è nulla • quindi:

24. Dinamica dei sistemi • l'equazione del moto del punto Pi è: a causa delle forze interne, la forza agente su ogni punto materiale dipenderà dalla posizione e velocità di ogni altro punto materiale • la somma di tutte le forze agenti risulta allora: e quindi:

25. Dinamica dei sistemi è la quantità di moto del punto Pi, la somma viene chiamata quantità di moto totale del sistema, possiamo allora scrivere: • ad ogni istante la risultante di tutte le forze esterne agenti su un sistema materiale è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema • la quantità di moto totale di un sistema materiale isolato è costante nel tempo

26. Si immagini un insieme di n masse mi nello spazio : su di ognuna di esse agisce la forza di gravita’ dovuta alla terra, FORZA ESTERNA, ma anche la forza di gravita’ reciproca fra le masse.FORZE INTERNE Le masse acquisteranno tutte una stessa accelerazione verso la terra . ed una accelerazione le une verso le altre dovuta alla mutua attrazione. A causa della forza esterna dQi/dt = G mi Mt/r2 (assumendo che le dimensioni del sistema di n masse sia piccolo rispetto a r ) dQ/dt = ΣdQi/dt = G Mt/r2 x Σ mi = FE notare cheΣ mi e’ la massa totale. Poiche’ le attrazioni interne a due a due sono eguali e opposte , eguali e opposte sono le variazioni delle loro QdM , la cui somma totale e’ quindi nulla . In conclusione il sistema ha un moto collettivo verso la terra la cui QdM varia secondo la dQ/dt = Σ DQi/dt = G Mt/r2 x Σ mi diversa da zero , e un moto indipendente di contrazione dovuto alla mutua interazione per cui la somma vettoriale delle DQij /dt e’ nulla.

27. Dinamica dei sistemi • poiché v = dr/dt possiamo scrivere: • OPi è il vettore posizione che da la posizione del punto materiale Pi • consideriamo il punto G dello spazio dato dalla equazione dove m è la somma delle masse di tutti i punti materiali

28. Centro di massa • la posizione del punto G è la media ponderata delle posizioni dei vari punti • i relativi pesi sono i rapporti mi/m • il punto G così definito viene chiamato centro di massa o baricentro del sistema • se deriviamo rispetto al tempo l'equazione che da la posizione del centro di massa otteniamo: • la quantità di moto totale del sistema è uguale al prodotto della massa totale del sistema per la velocità del centro di massa: • ricordando che la risultante di tutte le forze esterne è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale otteniamo: dove aG indica l'accelerazione del centro di massa

29. d2 d1 O m2g m1 g L r2 r1 Archimede e’ famoso per la frase “datemi un punto d’appoggio e sollevero’ Il mondo” . Data una forza F ed un punto O nello spazio si puo’ definire il prodotto vettoriale M= R X F = momento della forza F rispetto al polo O. Un momento produce una rotazione: data la leva L (di massa nulla) con fulcro in O e le due masse m1 e m2 Archimede trova che si ha equilibrio (assenza di moto) se d2Xm2g + d1Xm1g = 0 a) d1X m1g = ( r1 –L)X m1g b) d2X m2g = (r2 – L) X m2g La somma a+b deve dare zero r1Xm1g + r2Xm2g = (m1+m2) LXg (m1r1 + m2r2)Xg = (m1 + m2) LXg L(m1+m2) = m1r1 + m2r2 L = (m1r1 +m2r2) / (m1+ m2) L e’ il raggio vettore del Centro di Massa o “baricentro” = centro dei pesi O e’ il punto sul quale il vincolo esercita la forza (m1+m2)g in modo che la leva non ruoti (cioe’ sia in equilibrio). Da qui il nome “centro di massa”

30. Teorema del centro di massa • Teorema del moto del centro di massa: il centro di massa di un sistema materiale si muove come un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema e soggetto ad una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti sopra il sistema • il centro di massa ha una importanza particolare per un sistema di punti materiali • permette di descrivere il moto del sistema senza dover conoscere il dettaglio dei componenti del sistema • questo vale per i corpi estesi, corpi che si possono considerare come l'insieme di un numero infinito di punti materiali vicini tra di loro

31. Impulso Per una forza costante F si definisce come IMPULSO I (t1,t2) della forza tra t1 e t2 come il prodotto della forza per il tempo in cui ha agito I (t1,t2) = F Δ t L’impulso e’ un vettore che ha la stessa direzione della Forza e si misura in N sec. Se la forza non e’ costante l’impulso e’ dato dall’integrale La somma degli impulsi di tutte le forze agenti su un punto materiale e’ uguale all’impulso della forza risultante. • Teorema dell'impulso: l'impulso di una forza in un certo intervallo di tempo è uguale alla variazione, in quell'intervallo di tempo, della quantità di moto del corpo sul quale agisce la forza