1 / 13

INTEGRASI NUMERIK

INTEGRASI NUMERIK. METODE PERSEGI PANJANG. Metode secara numerik Metode Pendekatan Persegi Panjang Metode Trapesium. Metode Pendekatan Persegi Panjang Bagi interval a sampai b atas n sub-interval  Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (x k )

colorado-hooper
Download Presentation

INTEGRASI NUMERIK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. INTEGRASI NUMERIK

  2. METODE PERSEGI PANJANG • Metode secara numerik • Metode Pendekatan Persegi Panjang • Metode Trapesium • Metode Pendekatan Persegi Panjang • Bagi interval a sampai b atas n sub-interval  • Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (xk ) • Hitung luas tiap-tiap persegi panjang tersebut Pk = h * f (xk ) • Jumlahkan semua luaspersegi panjang tersebut 

  3. METODE PERSEGI PANJANG • Selain mengambil tinggi persegi panjang ke-k, sama dengan f (xk ) yaitu nilai fungsi pada ujung kanan sub-interval ke-k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan f (xk-1 ) yaitu nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval, ataupun juga pada :  yaitu nilai fungsi pada titik tengah sub-interval • Contoh: Cari luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi: • Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1 • Luas persegi panjang  P1= 1 * f(1) = 1 * 1 = 1 P2= 1 * f(2) = 1 * 4 = 4 P3= 1 * f(3) = 1 * 9 = 9 P4= 1 * f(4) = 1 * 16 = 16 Luas Total = 30 Penyimpangannya = 30 – 21.33 = 8.66 +

  4. METODE PERSEGI PANJANG • Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8  h = (4 - 0)/8 = 0.5 • Luas persegi panjang  P1= 1 * f(0.5) = 1 * 1 = 0.125 P2= 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1 P3= 1 * f(1.5) = 1 * 9 = 1.125 P4= 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2 P5= 1 * f(2.5) = 1 * 4 = 3.125 P6= 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5 P7= 1 * f(3.5) = 1 * 16 = 6.125 P8= 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8 Luas Total = 26 Penyimpangannya = 26 – 21.33 = 4.67 • Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14, dan untuk n = 100 diperoleh L = 21.6544 +

  5. METODE PERSEGI PANJANG • Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval Luas  P1= 0.5 * f(0.0) = 0.5 * 0 = 0 P2= 0.5 * f(0.5) = 0.5 * 0.25 = 0.125 P3= 0.5 * f(1.0) = 0.5 * 1 = 1 P4= 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = 1.125 P5= 0.5 * f(2.0) = 0.5 * 4 = 2 P6= 0.5 * f(2.5) = 0.5 * 6.25 = 3.125 P7= 0.5 * f(3.0) = 0.5 * 9 = 4.5 P8= 0.5 * f(3.5) = 0.5 * 12.25 = 6.125 Luas Total = 18 +

  6. METODE PERSEGI PANJANG • Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh: Luas  P1= 0.5 * f(0.25) = 0.03125 P2= 0.5 * f(0.75) = 0.28125 P3= 0.5* f(1.25) = 0.78125 P4= 0.5* f(1.75) = 1.53125 P5= 0.5 * f(2.25) = 2.53125 P6= 0.5* f(2.75) = 3.78125 P7= 0.5* f(3.25) = 5.23125 P8= 0.5* f(3.75) = 7.03125 Luas Total = 21.2000 + Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik.

  7. METODE TRAPESIUM • Metode Trapesium • Bagi interval (a, b) menjadi n sub-interval yang sama  • Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (xk ) • Hitung luas trapesium Pk = h * f (xk ) Luas trapesium ke-1 = t1 = ½ ( f(x0) + f(x1) ) * h = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) ke-2 =t2 = ½ ( f(x1) + f(x2) ) * h = h/2 ( f(x1) + f(x2) ) ……………. ke-n =tn = ½ ( f(xn-1) + f(xn) ) * h = h/2 (f(xn-1) + f(xn) ) Luas Total = t1 + t2 + ……. + tn = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) + h/2 ( f(x1) + f(x2) ) + ……. + h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

  8. METODE TRAPESIUM

  9. METODE TRAPESIUM • Contoh: Hitung luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi: • Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1 • Luas total

  10. METODE KUADRATUR GAUSS • Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik • Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral • F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang tidak berjarak sama, melainkan simetris terhadap titik tengah interval I = f(x) dx = (a-b) [R1 (U1 ) + R2 (u2) + … + Rn (Un)] U1,U2,…,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2] (U) = f(x) = f[(b-a)u + ] X = (b-a)u + (Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R)

  11. ALGORITMA KUADRATUR GAUSS Algoritma: • Inisialisasi tabel koefisien gauss • Definisikan fungsi integran • Tentukan batas pengintegralan a dan b • Inisialisasi : sum = 0 • Hitung : sum = sum + Ri x (Ui), i = 1 sampai n • Hitung : I = (b-a) x sum • Tulis hasil integral

  12. METODE SIMPSON • Paling luas pemakaiannya • Untuk pendekatannya memakai parabola yang melalui 3 ordinat dari 2 interval berdampingan • Eksak untuk polinim derajat dua atau kurang • Lebih teliti dan rumus tidak lebih rumit dari metode trapesium • n = banyak interval h = I = (Y0 + 4Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 +…+ 2Yn-4 + 4Yn-3 + 2Yn-2 + 4Yn-1 + Yn) Kesalahan pemotongan : eT ~ (b-a) f (Q), a<Q<b

  13. ALGORITMA METODE SIMPSON Algoritma: • Definisikan fungsi integran • Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap) • Hitung : h = (b-a)/n • Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h) • Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 2 sum = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h) • Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b)) • Tulis hasil perhitungan

More Related