1 / 60

Integrasi Numerik (Bag. 2)

Integrasi Numerik (Bag. 2). Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh ; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB). Singularitas.

dianne
Download Presentation

Integrasi Numerik (Bag. 2)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. IntegrasiNumerik(Bag. 2) BahanKuliah IF4058 TopikKhususInformatika I Oleh; RinaldiMunir (IF-STEI ITB) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  2. Singularitas • Kita akankesulitanmelakukanmenghitungintegrasinumerikapabilafungsitidakterdefenisidix = t,dalamhalinia < t < b. Misalnyadalammenghitungintegrasi • Fungsif(x) = cosx/xjelastidakterdefinisidix = 0 (ujungbawahselang). IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  3. Begitujugapadaperhitunganintegrasi menggunakanh = 0.1, titikdiskritdix =1 tidakdapatdihitungsebabfungsif(x) = 1/(x-1) tidakterdefinisidix = 1. • Fungsi yang tidakterdefinisidix = t,untuka  t  b, dinamakanfungsisingular. • Singularitasharusdihilangkandengancaramemanipulasipersamaanfungsisedemikiansehinggaiatidak singular lagi. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  4. Contoh: Ubahlahfungsiintegrasi sehinggamenjaditidak singular lagi. Penyelesaian: Fungsif(x) = cos(x)/xtidakterdefenisidix = 0. Misalkan x = u 2dx = 2udu Batas-batasselangintegrasijugaberubah x = 0 u = x = 0 x = 1 u = x = 1 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  5. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  6. Contoh lain: IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  7. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  8. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  9. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  10. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  11. PenerapanEkstrapolasiuntukIntegrasi • MisalkanI(h) adalahperkiraannilaiintegrasidenganjarakantaratitik data adalahh (h < 1). • Dari persamangalatkaidahintegrasi (trapesium, Simpson 1/3, dll) yang dinyatakandalamnotasiorde: E = O(h p) • dapatdilihatbahwagalatEsemakinkecilbiladigunakanh yang semakinkecil, seperti yang ditunjukkanoleh diagram garisberikut: IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  12. Nilaisejatiintegrasiadalahbilah = 0, tetapipemilihanh = 0 tidakmungkinkitalakukandidalamrumusintegrasinumeriksebabiaakanmembuatnilaiintegrasisamadengan 0. • Yang dapatkitaperolehadalahperkiraannilaiintegrasi yang lebihbaikdenganmelakukanekstrapolasikeh = 0. • Adaduamacammetodeekstrapolasi yang digunakanuntukintegrasi: • Ekstrapolasi Richardson • EkstrapoalsiAitken IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  13. EkstrapolasiRichardson IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  14. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  15. Tujuanekstrapolasi Richardson ialahmenghitungnilaiintegrasi yang lebihbaik (improve) dibandingkandenganI. • MisalkanJadalahnilaiintegrasi yang lebihbaikdaripadaIdenganjarakantartitikadalahh: J = I(h) + Chq (1) • Ekstrapolasikanhmenjadi 2h, laluhitungintegrasinumeriknya J = I (2h) + C(2h)q (2) • EliminasikanCdarikeduapersamaandenganmenyamakanpersamaan (1) danpersamaan (2): I(h) + Ch q = I (2h) + C(2h) q (3) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  16. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  17. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  18. Contoh: Hitungkembali integral denganmenggunakanekstrapolasi Richardson, yang dalamhaliniI(h) danI(2h) dihitungdengankaidahtrapesiumdanh = 0.125. • Penyelesaian: Jumlahupaselang: n = (1 - 0)/0.125 = 8 Tabeltitik-titikdidalamselang [0,1] denganh = 0.125: IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  19. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  20. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  21. Contoh: PerlihatkanbahwabilaI(h) danI(2h) dihitungdengankaidahtrapesium, makapersamaanekstrapolasi Richardson menyatakankaidah Simpson 1/3. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  22. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  23. Persamaanekstrapolasi Richardson memenuhisemuakaidahintegrasi yang dirurunkandenganmetodepiasmaupunmetode Newton-Cotes. • Kita pun dapatmenurunkankaidahintegrasinumerik yang barudenganmenerapkanekstrapolasi Richardson. • MisalkanbilaI(h) danI(2h) dihitungdengankaidah Simpson 1/3, makaekstrapolasi Richardson menyatakankaidah Boole (buktikan!): IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  24. Metode Romberg • Metodeintegrasi Romberg didasarkanpadaperluasanekstrapolasi Richardson untukmemperolehnilaiintegrasi yang semakinbaik. • Sebagaicatatan, setiappenerapanekstrapolasi Richardson akanmenaikkan order galatpadahasilsolusinyasebesardua: O( h2N ) O(h2N+2) • Misalnya,bilaI(h) danI(2h) dihitungdengankaidahtrapesium yang berordegalatO(h2), makaekstrapolasi Richardson menghaslkankaidah Simpson 1/3 yang berordeO(h4). • Selanjutnya, bilaI(h) danI(2h) dihitungdengankaidah Simpson 1/3, ekstrapolasi Richardson menghaslkankaidah Boole yang berordeO(h6). IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  25. Misalkan Iadalahnilaiintegrasisejati yang dinyatakansebagai I = Ak + Ch2 + Dh4 + Eh6 + ... yang dalamhalini h = (b - a)/n dan A k = Perkiraannilaiintegrasidengankaidahtrapesium danjumlahpiasn = 2 k IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  26. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  27. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  28. Dari runtunantersebut, diperolehtabel yang dinamakantabelRombergsepertiberikutini IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  29. Contoh: Hitung integral denganmetode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angkabena. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  30. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  31. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  32. EkstrapolasiAitken • MengatasikasuspadaesktrapolasiRichradosnjika q tidakdiketahui. • UntukkasusinikitagunakantigabuahperkiraannilaiI, yaitu I(h), I(2h),dan I(4h). IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  33. Integral Ganda Tafsirangeometridari integral gandaadalahmenghitung volume ruangdibawahpermukaankurvaf(x,y) yang alasnyaadalahberupabidang yang dibatasiolehgaris-garisx = a, x = b, y = c, dany = d. Volume bendaberdimensitigaadalah V = luas alas tinggi IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  34. Solusi integral lipatduadiperolehdenganmelakukanintegrasidua kali, pertamadalamarahx (dalamhalininilai, nilaiytetap), • selanjutnyadalamarahy (dalamhalini, nilaixtetap), atausebaliknya. • Dalamarahxberartikitamenghitungluas alas benda, • sedangkandalamarahyberartikitamengalikan alas dengantinggiuntukmemperoleh volume benda. • Tinggibendadinyatakansecaratidaklangsungdengankoefisien-koefisienwipadapersamaan IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  35. Misalkanintegrasidalamarahx dihitungdengankaidahtrapesium, danintegrasidalamarahy dihitungdengankaidah Simpson 1/3. Maka : IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  36. dengan x = jarakantartitikdalamarahx, y = jarakantartitikdalamarahy, n = jumlahtitikdiskritdalamarahx, m = jumlahtitikdiskritdalamarahy. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  37. Contoh: Diberikantabelf(x,y)sebagaiberikut: IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  38. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  39. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  40. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  41. Kuadratur Gauss Persamaankuadratur Gauss denganc1 , c2 , x1 , danx2adalahsembarangnilai. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  42. Perhatikanbahwabiladipilihx1 = -1 , x2 =1, danc1 = c2 = 1, makapersamaankuadratur Gauss menjadikaidahtrapesium: denganh = (1-(-1)) = 2. • Jadi, kaidahtrapesiummemenuhipersamaankuadratur Gauss IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  43. Persamaankuadratur Gauss mengandungempatbuahpeubah yang tidakdiketahui (unknown), yaitux1 , x2 , c1 , danc2. • Kita harusmemilihx1, x2, c1, danc2sedemikiansehinggagalatintegrasinya minimum. • Karenaadaempatbuahpeubah yang tidakdiketahui, makakitaharusmempunyaiempatbuahpersamaansimultan yang mengandungx1, x2, c1, danc2 . IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  44. Di atastelahdikatakanbahwakaidahtrapesiumbersesuaiandengankuadratur Gauss. • Dapatdilihatbahwanilaiintegrasinumerikdengankaidahtrapesiumakantepat (galatnya = 0) untukfungsitetapdanfungsilanjar. Misalnyauntuk f(x) = 1danf(x) = x IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  45. Kita memerlukanduabuahpersamaanlagi agar x1, x2, c1, danc2 dapatditentukan. Dari penalaranbahwakaidahtrapesiumsejatiuntuk fungsitetapdanfungsilanjar, makapenalaraninijuga kitaperluasdenganmenambahkananggapanbahwa integrasinyajugasejatiuntuk • f(x) = x2danf(x) = x3. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  46. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  47. Sekarang, kitasudahmempunyaiempatbuahpersamaansimultan c1 + c2 = 2 c1 x1 + c2 x2 =0 c1 x12+ c2 x22 = 2/3 c1 x3+ c2 x3 = 0 yang biladipecahkanmenghasilkan: c1= c2 = 1 x1= 1/3 = 0.577350269 x2 = -1/(3 = -0.577350269 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  48. Persamaaninidinamakankaidah Gauss-Legendre 2-titik. • Dengankaidahini, menghitung integral f(x) didalamselang [-1, 1] cukuphanyadenganmengevaluasinilaifungsifdix =1/3 dandix = -13. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  49. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  50. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

More Related