INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK

1. INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK APROKSIMASI DERIVATIF APROKSIMASI INTEGRAL

2. STRATEGI APROKSIMASI • Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial interpolasi P. • Derivatif polinomial P diambil sbg aproksimasi derivatif fungsi f. • Integral polinomial P diambil sbg aproksimasi integral fungsi f. BAGAIMANA KESALAHAN APROKSIMASINYA ? Menentukan nilai aproksimasi lebih mudah daripada memperkirakan resiko kesalahan yang mungkin terjadi akibat aproksimasi tersebut.

3. Misalkan titik berbeda dalam interval . Bila dan P(x) polinomial interpolasinya maka setiap x didalam terdapat ξ(x) didalam (a,b) sehingga aproksimasi CONTOH: Misalkan fungsi f(x) = ex diaproksimasi oleh polinomial interpolasi didalam interval [0, 1]. Berikan estimasi kesalahan aproksimasinya. PENYELESAIAN : Misalkan titik interpolasi dan asumsikan berjarak sama, yaitu h. Jadi xj+1- xj = h untuk setiap j. xn x0 xj xj+1 1 0 h Kesalahan aproksimasi dengan interpolasi Misalkan titik-titik berlainan di dalam dan Jika P adalah polinomial interpolasi maka terdapat ξ(x) ∈ (a, b) sehingga berlaku: approksimasi kesalahannya

4. ξ(x) Ambil sebarang x didalam [0, 1], kita akan menyelidiki kesalahan mutlak | f(x) - P(x) |. Pastilah ada indeks j sehingga xj ≤ x ≤ xj+1. Berdasarkan teo- rema di atas, terdapatlah di dalam (0, 1) dan berlaku: Karena dan maka diperoleh: Diperhatikan fungsi mencapai ekstrim di tengah interval [xj, xj+1], yaitu di xm = (j+0.5)h. Jadi maksimumnya Akhirnya diperoleh:

5. Bila diinginkan kesalahan aproksimasi tidak melebihi 10-6 maka haruslah yang mengharuskan . Karena banyaknya sub interval n = (1-0)/h harus bulat maka diambil h = 0.001.

6. APROKSIMASI DERIVATIF • Derivatif f di titik x0 adalah: y = f(x) Sederhananya, aproksimasi derivatif f’(x0) adalah f(x0+h) f(x0+h) – f(x0) f(x0) h dengan mengambil h cukup kecil. x0 x0+h Untuk mengetahui kesalahan aproksimasinya, diperhatikan dua titik x0 dan x0+h, dibentuk polinomial interpolasi derajat satu yang melalui kedua titik ini, dipero- leh: dimana R = . Selanjutnya, diambil derivatifnya dan didapat

7. Untuk x = x0 maka diperoleh: . Akhirnya, diambil: dengan kesalahan (error): Untuk h>0, formula ini disebut aproksimasi selisih maju (forward-difference). Untuk h<0, diperoleh aproksimasi selisih mundur (backward-difference). dengan kesalahan (error):

8. CONTOH : Tentukan aproksimasi derivatif fungsi f(x) = ln x di x0=1.8. Gunakan formula selisih maju dengan h = 0.1, 0.01 dan 0.001 dan berikan analisis kesalahannya. • PENYELESAIAN : formula selisih maju diberikan oleh dengan error dimana • Diperoleh tabel: • Bandingkan dengan error sesungguhnya dimana derivatif eksaknya f’(1.8) = 0.55555 . . .

9. FORMULA SELISIH TERPUSAT • dimana terletak diantara dan Jadi aproksimasinya • adalah • dengan error E = • Diperhatikan jika h diperkecil, maka suku h2 lebih cepat menuju nol dari • pada suku h. Error aproksimasi yang memuat suku hp disebut mempunyai • order aproksimasi p, dan ditulis dengan O(hp). • Formula selisih terpusat ini disebut juga formula tiga titik, karena melibat • kan tiga titik x0-h, x0 dan x0+h. Formula tiga titik lainnya melibatkan titik • x0, x0+h, x0+2h, yaitu • dimana ξ0diantara x0 dan x0+2h.

10. FORMULA LIMA TITIK 1. dimana ξ diantara x0-2h dan x0+2h. 2. dimana ξ diantara x0 dan x0+4h.

11. Order kesalahan aproksimasi : • Formula 2 titik (selisih maju, selisih mundur) mempunyai order 1. • Formula 3 titik mempunyai order 2. • Formula 5 titik mempunyai order 4. • Semakin tinggi order aproksimasi semakin akurat aproksimasi yang dihasilkan. CONTOH : Beberapa nilai dari f(x) = x ex diberikan pada tabel berikut. Karena f’(x) = (x+1)ex maka nilai eksak derivatif f di x=0.2 adalah f’(2.0) = 22.167168. Gunakan berbagai macam formula untuk menghitung aproksimasi derivatifnya. Banding errornya dan formula mana yang paling akurat. PENYELESAIAN: Gunakan h = 0.1, terapkan dua formula 2 titik (selisih maju dan selisih mundur), dua formula 3 titik dan dua formula 5 titik.

12. APROKSIMASI DERIVATIF KEDUA • Fungsi f diekspansi dalam deret Taylor disekitar x0, kemudian dievaluasi di titik x0+h dan x0-h diperoleh: dan dimana Kedua bentuk ini dijumlahkan, diperoleh: • Berdasarkan teorema nilai antara, terdapat ξ diantara ξ0 dan ξ-1 sehingga

13. Aproksimasi derivatif kedua (Lanjutan) • Diperoleh: • CONTOH: Kembali perhatikan fungsi f(x) = xex. Fungsi ini mempunyai derivatif kedua f’’(x) = (x+2)ex. Untuk x0=2.0 diperoleh derivatif eksak adalah f’’(2.0) = 29.556224. Hitunglah aproksimasi derivatif kedua dengan menggunakan h=0.1 dan h=0.2. • PENYELESIAN : • h = 0.1  • h = 0.2  • Error masing-masing adalah . ≈ f’’(x0) Error

14. APROKSIMASI INTEGRAL • FORMULA QUADRATURE SEDERHANA • METODA TITIK TENGAH • METODA TRAPESIUM • METODA SIMPSON • FORMULA QUADRATURE BERSUSUN • INTEGRASI GAUSS.

15. FORMULA SEDERHANA • Diperhatikan integral . Formula qudrature berbentuk jumlahan digunakan sebagai aproksimasi untuk integral, yaitu ≈ xi disebut koordinat dan ai disebut bobot. • Seperti pada aproksimasi, fungsi f terlebih dahulu diaproksimasi oleh polinomial interpolasi, kemudian integral dari polinomial ini diambil sebagai aproksimasi integral fungsi f.

16. 1. METODA TITIK TENGAH (MIDPOINT) y = f(x) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial derajat nol (fungsi konstan): f(x) ≈ P(x) = c, kemudian diintegralkan, diperoleh: f(c) f(b) f(a) a c = (a+b)/2 b Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial inter- polasi derajat satu pada titik x0:=a dan x1:= b, 2. METODA TRAPESIUM y = f(x) f(b) f(a) Diintegralkan, diperoleh : a b

17. 3. METODA SIMPSON y = P(x) y = f(x) f(b) f(a) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial interpolasi derajat dua di titik-titik x0= a, x1= c:= (a+b)/2 dan x3 = b, yaitu a c b Diperoleh CONTOH : Terapakan metoda midpoint, trapesium dan Simpson untuk menghitung integral : dimana f adalah beberapa fungsi dasar Metoda manakah yang paling akurat?

18. PENYELESAIAN: untuk f(x) = x2, eksaknya adalah = 2.667. 1. Midpoint M = (2-0)f(1) = 2.000, 2. Trapesium T = (2-0)/2 [f(0)+f(2)] = 4.000, 3. Simpson S = (1/3)[f(0) + 4 f(1) + f(2)] = 2.667. Untuk SOAL lainnya diselesaikan sendiri ! ESTIMASI ERRORNYA ?