1 / 53

Integrasi Numerik (Bag. 1)

Integrasi Numerik (Bag. 1). Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh ; Rinaldi Munir (IF-STEI ITB). Persoalan Integrasi Numerik. Hitunglah nilai Integral- Tentu yang dalam hal ini : - a dan b batas-batas integrasi ,

italia
Download Presentation

Integrasi Numerik (Bag. 1)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. IntegrasiNumerik(Bag. 1) BahanKuliah IF4058 TopikKhususInformatika I Oleh; RinaldiMunir (IF-STEI ITB) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  2. PersoalanIntegrasiNumerik Hitunglahnilai Integral-Tentu yang dalamhalini: - adanbbatas-batasintegrasi, - fadalahfungsi yang dapatdiberikansecaraeksplisitdalambentukpersamaanataupunsecaraempirikdalambentuktabelnilai. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  3. Contoh integral fungsieksplisit: • Contoh integral dalambentuktabel (fungsiimplisit): Hitung: IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  4. TafsirGeometri Integral Tentu • Nilai integral-tentu = luasdaerahdibawahkurva = luasdaerah yang dibatasiolehkurvay = f(x),garis x = adangaris x = b IF4058 TopikKhususInformatika I: MetodeNumerik/TeknikInformatika ITB

  5. Contohpersoalan integral 1. Dalambidangteknikelektro/kelistrikan, telahdiketahuibahwaharga rata-rata suatuaruslistrik yang berosilasisepanjangsatuperiodeboleh nol. Disampingkenyataanbahwahasilnettoadalahnol, arustersebutmampumenimbulkankerjadanmenghasilkanpanas. Karenaitupararekayasawanlistrikseringmencirikanarus yang demikiandenganpersamaan yang dalamhaliniIRMSadalaharusRMS (root-mean-square), Tadalahperiode, dani(t) adalaharuspadarangkaian, misalnya i(t) = 5e-2t sin 2tuntuk 0 tT/2 = 0 untukT/2 tT IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  6. Data yang ditabulasikanpadatabelini memberikanpengukuranflukspanasq setiap jam padapermukaansebuahkolektorsinarmatahari. Andadimintamemperkiraanpanas total yang diserapoleh panel kolektorseluas 150.000 cm2selamawaktu 14 jam. Panel mempunyaikemangkusanpenyerapan (absorption), eab, sebesar 45%. Panas total yang diserapdiberikanolehpersamaan 2. Pengukuranflukspanasmatahari yang diberikanolehtabelberikut: IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  7. KlasifikasiMetodeIntegrasiNumerik • MetodePias Daerah integrasidibagiatassejumlahpias (strip) yang berbentuksegiempat. Luasdaerahintegrasidihampiridenganluasseluruhpias. • Metode Newton-Cotes Fungsiintegrandf(x) dihampiridenganpolinominterpolasipn(x). Selanjutnya, integrasidilakukanterhadappn(x). 3. Kuadratur Gauss. Nilai integral diperolehdenganmengevaluasinilaifungsipadasejumlahtitiktertentudidalamselang [-1, 1], mengalikannyadengansuatukonstanta, kemudianmenjumlahkankeseluruhanperhitungan. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  8. fn y fn-1 y =f(x) f2 f1 f0 h h h x a = x0x1x2xn-1xn=b Gambar 6.2 Metode pias Metode-MetodePias • Selangintegrasi [a, b] menjadinbuahpias (strip) atausegmen. Lebartiappiasadalah • Titikabsispiasdinyatakansebagai xr = a + rh, r = 0, 1, 2, ..., n dannilaifungsipadatitikabsispiasadalah fr = f(xr) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  9. Kaidahintegrasinumerik yang dapatditurunkandenganmetodepiasadalah: • Kaidahsegiempat (rectangle rule) • Kaidahtrapesium (trapezoidal rule) • Kaidahtitiktengah (midpoint rule) • Duakaidahpertamapadahakekatnyasama, hanyacarapenurunanrumusnya yang berbeda • Kaidah yang ketiga, kaidahtitiktengah, merupakanbentukkompromiuntukmemperolehnilaihampiran yang lebihbaik. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  10. KaidahSegiempat (Rectangle Rule) Pandang sebuahpiasberbentukempatpersegipanjangdarix = x0sampaix = x1berikut Luassatupiasadalah (tinggipias = f(x0) ) • atau (bilatinggipias = f(x1) ) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  11. (KaidahSegiempat) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  12. Kaidahsegiempatgabungan (composite rectangle's rule): IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  13. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  14. KaidahTrapesium Pandang sebuahpiasberbentuktrapesiumdarix = x0sampai x = x1berikut Luassatutrapesiumadalah IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  15. Kaidahtrapesiumgabungan (composite trapezoidal's rule): denganfr = f(xr) , r = 0, 1, 2, ..., n. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  16. proceduretrapesium(a, b : real; n: integer; var I : real); { Menghitungintegrasi f(x) didalamselang [a, b] danjumlaspias adalah n denganmenggunakankaidahtrapesium. K.Awal : nilai a, b, dan n sudahterdefinisi K.Akhir: I adalahhampiranintegrasi yang dihitungdengankaidah segi-empat. } var h, x, sigma: real; r : integer; begin h:=(b-a)/n; {lebarpias} x:=a; {awalselangintegrasi} I:=f(a) + f(b); sigma:=0; for r:=1 to n-1 do begin x:=x+h; sigma:=sigma + 2*f(x); end; I:=(I+sigma)*h/2; { nilaiintegrasinumerik} end; IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  17. KaidahTitikTengah • Pandang sebuahpiasberbentukempatpersegipanjangdarix = x0sampaix = x1dantitiktengahabsisx = x0 + h/2 Luassatupiasadalah IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  18. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  19. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  20. proceduretitik_tengah(a, b : real; n: integer; var I : real); { menghitungintegrasi f(x) dalamselang [a, b] denganjumlahpias sebanyak n. K.Awal : harga a, b, dan n sudahterdefinisi K.Akhir: I adalahhampiranintegrasi yang dihitungdengankaidah titik-tengah } var h, x, sigma : real; r : integer; begin h:=(b-a)/n; {lebarpias} x:= a+h/2; {titiktengahpertama} sigma:=f(x); for r:=1 to n-1 do begin x:=x+h; sigma:=sigma + f(x) end; I:=sigma*h; { nilaiintegrasinumerik} end; IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  21. Contoh: Hitung integral dengankaidahtrapesium. Ambilh = 0.2. Gunakan 5 angkabena. Penyelesaian: Fungsiintegrand-nyaadalah f(x) = ex Jumlahpiasadalahn = (b-a)/h = (3.4 - 1.8)/0.2 = 8 Tabel data diskritnyaadalahsebagaiberikut: IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  22. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  23. GalatMetode-MetodePias • Galat: E = I – I ' • yang dalamhaliniI adalahnilaiintegrasisejatidanI ' adalahintegrasisecaranumerik. • Galatkaidahtrapesium: IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  24. Uraikan f(x) danf1 = f(x1) = f(h) kedalamderet Taylor disekitarx0 = 0 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  25. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  26. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  27. Galatkaidahtitik-tengah: Galatintegrasidengankaidah titiktengahsamadengan 1/2 kali galatpadakaidahtrapesium IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  28. Metode-Metode Newton-Cotes • MetodeNewton-Cotesadalahmetode yang umumuntukmenurunkankaidahintegrasinumerik. • Polinominterpolasimenjadidasarmetode Newton-Cotes. • Gagasannyaadalahmenghampirifungsif(x)denganpolinominterpolasipn(x) yang dalamhalini, pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  29. Sembarangpolinominterpolasi yang telahkitabahassebelumnyadapatdigunakansebagaihampiranfungsi • Tetapidalamkuliahinipolinominterpolasi yang kitapakaiadalahpolinom Newton-Gregory maju: • Kaidahintegrasinumerik yang diturunkandarimetode Newton-Cotes, tigadiantaranya yang terkenaladalah: • Kaidahtrapesium (Trapezoidal rule) • Kaidah Simpson 1/3 (Simpson's 1/3 rule) • Kaidah Simpson 3/8 (Simpson's 3/8 rule) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  30. KaidahTrapesium (lagi) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  31. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  32. samaseperti yang diturunkan Denganmetodepias IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  33. Kaidah Simpson 1/3 • Hampirannilaiintegrasi yang lebihbaikdapatditingkatkandenganmengunakanpolinominterpolasiberderajat yang lebihtinggi. • Misalkanfungsif(x)dihampiridenganpolinominterpolasiderajat 2 yang grafiknyaberbentuk parabola. • Luasdaerah yang dihitungsebagaihampirannilaiintegrasiadalahdaerahdibawah parabola. • Untukitu, dibutuhkan 3 buahtitik data, misalkan (0, f(0)), (h, f(h)),dan (2h, f(2h)). IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  34. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  35. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  36. (Kaidah Simpson 1/3) IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  37. Kaidah Simpson 1/3 gabungan: Ingatpolakoefisiendalamrumus Simpson 1/3: 1, 4, 2, 4, 2, ... ,2, 4, 1 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  38. Penggunaankaidah 1/3 Simpson mensyaratkanjumlahupaselang (n) harusgenap. • Iniberbedadengankaidahtrapesium yang tidakmempunyaipersyaratanmengenaijumlahselang. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  39. procedureSimpson_sepertiga(a, b : real; n: integer; var I : real); { menghitungintegrasi f(x) dalamselang [a, b] denganjumlahpias sebanyak n (n harusgenap} K.Awal : harga a, b, dan n sudahterdefinisi (n harusgenap) K.Akhir: I adalahhampiranintegrasi yang dihitungdengankaidah Simpson 1/3 } var h, x, sigma : real; r : integer; begin h:=(b-a)/n; {jarakantartitik } x:=a; {awalselangintegrasi} I:=f(a) + f(b); sigma:=0; for r:=1 to n-1 do begin x:=x+h; if r mod 2 = 1 then{ r = 1, 3, 5, ..., n-1 } sigma:=sigma + 4*f(x) else{ r = 2, 4, 6, ..., n-2 } sigma:=sigma + 2*f(x); end; I:=(I+sigma)*h/3; { nilaiintegrasinumerik} end; IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  40. Contoh: Hitung integral denganmenggunakan • kaidahtrapesium • kaidahtitik-tengah • kaidah Simpson 1/3 Gunakanjarakantartitikh = 0.125. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  41. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  42. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  43. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  44. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  45. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  46. Dibandingkandengankaidahtrapesiumgabungan, hasilintegrasi Dengankaidah Simpson gabunganjauhlebihbaik, karenaorde galatnyalebihtinggi. Tapiadakelemahannya, yaitukaidah Simpson 1/3 tidakdapat diterapkan bilajumlahupaselang (n) ganjil. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  47. Kaidah Simpson 3/8 • Fungsif(x)kitahampiridenganpolinominterpolasiderajat 3. • Luasdaerah yang dihitungsebagaihampirannilaiintegrasiadalahdaerahdibawahkurvapolinomderajat 3 tersebut. • Untukmembentukpolinominterpolasiderajat 3, dibutuhkan 4 buahtitik data, misalkantitik-titktersebut (0, f(0)), (h, f(h)), (2h, f(2h)), dan (3h,f(3h)). IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  48. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  49. Kaidah Simpson 3/8 IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

  50. IF4058 Topik Khusus Informatika I: Metode Numerik/Teknik Informatika ITB

More Related