ROOTS OF Non Linier Equations

1. ROOTS OF Non Linier Equations Metode Bagi dua (Bisection Method) Metode Regula Falsi (False Position Method) Metode Grafik Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration) Metode Newton-Raphson Metode Secant

2. Solusi Persamaan Kuadrat Tingkat 2 Persamaan di atas memberi akar-akar penyelesaian untuk fungsi aljabarf(x) Yaitu nilai-nilai x yang memberikan f(x) = 0 Kalau persaamaannya f(x) = e-x - x?

3. Overview of Methods • Bracketing methods • Graphing method • Bisection method • False position • Open methods • One point iteration • Newton-Raphson • Secant method

4. Specific Study Objectives • Memahami konsep konvergensi dan divergensi. • Memahami bahwa metode tertutup selalu konvergen, sedangkan metode terbuka kadang-kadang divergen. • Konvergensi pada metode terbuka biasanya didapat jika initial guess –nya dekat dengan akar sebenarnya.

5. Metode Tertutup • Graphical • Bisection method • False position method

6. Cara Grafik • Plotkan fungsinya dan tentukan dimana memotong sumbu x. • Lacks precision • Trial and error f(x)=e-x-x

7. f(x) f(x) x x f(x) f(x) x x Cara Grafik (limited practical value) Pembatas atas dan Bawah memiliki tanda sama. Akar tidak ada atau banyak akar Tanda berbeda, jumlah akar-akar ganjil

8. f(x) f(x) f(x) x x x Bisection Method • Memanfaatkan beda tanda dua nilai batas • f(xl)f(xu) < 0 dimana l=lower (batas bawah) dan u=upper (batas atas) • Minimal ada satu akar

9. Algorithm • Pilih xu dan xl. Cek beda tanda nilai fungsi keduanya • f(xl)f(xu) < 0 • Perkirakan akar • xr = (xl + xu) / 2 • Tentukan interval berikut ada di subinterval atas atau subinterval bawah • f(xl)f(xr) < 0 then xu = xr RETURN • f(xl)f(xr) >0 then xl = xr RETURN • f(xl)f(xr) =0 then root equals xr - COMPLETE

10. Metode Bagi Dua Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval do n = 0,1,… then if else or if exit end do

11. Bisection Method

12. Error

13. CONTOH Gunakan bisection method untuk mencari akar-akar persamaan • f(x) = e-x - x • xl = -1 xu = 1

14. SOLUTION

15. SOLUTION

16. False Position Method • “Brute Force” dari metode bagi dua kurang efisien • Menghubungkan dua nilai batas dengan garis lurus • Mengganti kurva menjadi garis lurus memberikan “false position” • Mempercepat perkiraan

17. Based on similar triangles next estimate, xr f(xu) xl xu f(xl)

18. Regula Falsi Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval do n = 0,1,… then if else or exit if end do

19. Regula Falsi

20. CONTOH Tentukan akar persamaan dari persamaan berikut menggunakan false position method, mulai dengan initial estimate xl=4.55 and xu=4.65 f(x) = x3 - 98

21. Open Methods • Simple one point iteration • Newton-Raphson method • Secant method • Pada metode tertutup, akar terdapat di antara kedua interval yang dibatasi batas atas dan bawah

22. Open Methods • Metode terbuka diharapkan konvergen • solution moves closer to the root as the computation progresses • Metode terbuka; • single starting value, atau • two starting values that do not necessarily bracket the root • Ada kemungkinan metode ini divergen • solution moves farther from the root as the computation progresses

23. f(x) The tangent gives next estimate. f(xi+1 ) xi x xi+1 f(xi)

24. Solution can “overshoot” the root and potentially diverge f(x) x1 x2 x0 x

25. Simple one point iteration / Metode Titik Tetap • Merubah formula untuk memperkirakan akar • Re-arrange fungsi f(x) sehingga ada satu nilai x pada sebelah kiri dari persamaan • Contoh, untuk f(x) = x2 - 2x + 3 = 0 • Ubah menjadi • x = (x2 + 3) / 2

26. Simple one point iteration • Contoh lain, untuk • f(x) = sin x = 0, • menjadi • x = sin x + x • Hitung nilai x = g(x) • Perkiraan nilai berikut berdasar pada • x i+1 = g(xi)

27. Iterasi Titik Tetap

28. CONTOH • Untuk f(x) = e-x -3x • Ubah menjadi g(x) = e-x / 3 • Initial guess x = 0

30. tangent f(xi) xi xi+1 Metode Newton Raphson

31. Metode Newton-Raphson

32. Newton RaphsonPitfalls

33. CONTOH Gunakan metode Newton Raphson untuk mencari akar-akar dari f(x) = x2 - 11 memakai initial guess xi = 3

34. Newton Rhapson  Secant • Include an upper limit on the number of iterations • Establish a tolerance, es • Check to see if ea is increasing Bagaimana jika turunan fungsinya sulit dipecahkan? SECANT METHOD

35. Secant method Memperkirakan turunan menggunakan finite divided difference APAKAH finite divided difference? HINT: dy / dx = Dy / Dx Masukkan FDD pada rumus untuk Newton Raphson

36. Secant method Masukkan perkiraan dengan finite difference pada rumus untuk Newton Raphson

37. Metode Secant

38. Secant method • Membutuhkan dua nilai perkiraan awal • f(x) tidak harus berbeda tanda, membedakan dengan metode tertutup, false position method.

39. f(x) 2 2 1 x 1 new est. FALSE POSITION SECANT METHOD f(x) Perkiraan baru dipilih dari potongan garis dengan sumbu x x new est. Perkiraan baru bisa diluar batas kurva

40. Systems of Non-Linear Equations • Kita telah mengenal sistem persamaan linier • f(x) = a1x1 + a2x2+...... anxn - C = 0 • dimana a1 , a2 .... an dan C adalah konstanta • Maka, perhatikan sistem persamaan non-linier • y = -x2 + x + 0.5 • y + 5xy = x3 • Selesaikan x dan y

41. Systems of Non-Linear Equations • Buat persamaan sama dengan nol • u = x2 + xy – 10 • v = y + 3xy2 – 57 • u(x,y) = x2 + xy – 10 = 0 • v(x,y) = y + 3xy2 – 57 = 0 • Solusi adalah nilai-nilai x dan y yang akan memberikan nilai fungsi u dan v sama dengan nol.

42. Metode Titik Tetap • Mulai dengan nilai awal x0 = 1.5 dan y0 = 3.5

43. Metode Newton Rhapson u(x,y) dan v(x,y) Versi dua persamaan untuk Newton-Raphson

44. Determinan Jacobian (tambahan saja) THE DENOMINATOR OF EACH OF THESE EQUATIONS IS FORMALLY REFERRED TO AS THE DETERMINANT OF THE JACOBIAN

45. Jacobian (tambahan juga) • The general definition of the Jacobian for n functions of n variables is the following set of partial derivatives:

46. Jacobian (ini juga tambahan) • The Jacobian can be used to calculate derivatives from a function in one coordinate sytem from the derivatives of that same function in another coordinate system. • Equations u=f(x,y), v=g(x,y), then x and y can be determined as functions of u and v (possessing first partial derivatives) as follows: • With similar functions for xv and yv. • The determinants in the denominators are examples of the use of Jacobians.

47. Contoh u = 2x3 + 2xy – 2 v = 2y + 4xy2 – 3 Mulai dengan nilai awal x0 = 0.5 dan y0 = 1.5