Optimasi Non-Linier

1. Optimasi Non-Linier Sumber: PengantarOptimasi Non-Linier Ir. DjokoLuknanto, M.Sc., Ph.D.

2. Pendahuluan • Suatupermasalahanoptimasidisebutnonlinierjikafungsitujuandan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya, contohnyaadalahsebagaiberikut: • Metode Optimasi Analitis • Satu Variabel tanpa Kendala • Multi Variabel Tanpa Kendala • Multi Variabel dengan Kendala Persamaan • Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan • MetodeOptimasiNumerikSatuDimensi • TeknikEliminasi • TeknikPendekatan

3. Satu variable tanpakendala (1) • Dimisalkanx adalahvariabelpenentudan f(x) adalahfungsitujuandari suatu masalah. Metode optimasi menyelesaikan masalah: • Untuk menyelesaikan permasalahan seperti tertera di atas digunakankalkulusdiferensial yang dinyatakansepertidibawahini: • Misalkanf adalahfungsi yang menerusdalaminterval tertutup [a,b] dandapatdiderivasikanpada interval terbuka (a,b). • (i) Jikaf’(x) > 0 untukseluruh x dalam(a,b), maka f adalah menanjak pada [a,b]. • (ii) Jikaf’(x) < 0 untukseluruh x dalam(a,b), maka f adalah menurun pada [a,b].

4. Satu variable tanpakendala (2) • Test derivasipertama: Misalkanf adalahfungsi yang menerusdalaminterval tertutup [a,b] dandapatdiderivasikanpada interval terbuka (a,b) kecualimungkindititikc yang beradadidalam (a,b). • (i) Jikaf’(x) > 0 untuk a < x < c dan f’(x) < 0 untuk c < x < b, maka f(c) adalahsebuah maximum lokaldarif. • (ii) Jikaf’(x) < 0 untuk a < x < c dan f’(x) > 0 untuk c < x < b, maka f(c) adalahsebuahminimum lokaldarif. • (iii) Jikaf’(x) < 0 atau f’(x) > 0 untuksetiap x dalam (a,b) kecuali x = c, maka f(c) BUKAN sebuahnilaiekstrim.

5. Satu variable tanpakendala (3) • Test derivasikedua: Misalkanf adalahfungsi yang dapatdiderivasikanpada interval terbuka yang berisititik c dan f’(c) = 0, • (i) Jikaf”(c) < 0, maka f(c) adalahsebuahmaximum lokaldarif. • (ii) Jikaf”(c) > 0, maka f(c) adalahsebuahminimum lokaldarif.

6. Satu variable tanpakendala (4) • Contoh 1: Sebuahperusahaan catering (makananringan yang menyediakankonsumsiuntuksuatupenatarandi JTE FT UMY berusahamengurangipengeluaranuntukkeperluanpembungkus. BungkustersebutterbuatdarikertaskartonsepertitampakpadaGambardisamping. Keempatpojoknyaakandipotongsegiempatsamasisisedemikianrupasehinggavolumenyamenjadimaksimum.

7. IlustrasiGrafis

8. Satu variable tanpakendala (5) • Dari contohdiatastampakbahwadengancaraanalitiskalkulusdiferensialnilaix yang memberikannilai f maximum dapatdicaritanpamengetahuinilaidarif itusendiri. • Untukmelengkapiteoremaoptimasinonliniersatuvariabel yang telahdijelaskandiatasdisajikanteorema yang dapatdigunakanuntukmenentukantitik-titikekstremdarisuatufungsisatuvariabel. • Teorema: • Misalkanf’(c) = f”(c) = … = f(n-1)(c) = 0, tetapif(n)(c) ≠ 0. Maka f(c) adalah: • (i) nilai minimum darif(x), jika f(n)(c) > 0 dan n adalah bilangan genap, • (ii) nilai maximum dari f(x), jika f(n) (c) < 0 dan n adalah bilangan genap, • (iii) bukan minimum dan maximum jika n adalahbilangangasal.

9. Satu variable tanpakendala (6) • Contoh 2. Tentukan maximum dan minimum darifungsidibawahini • Penyelesaian:

10. Multi variable tanpakendala (1) • Cara analitis yang diterapkanpadapermasalahanoptimasisatuvariabeldapat pula diterapkankepadapermasalahan multi variabel. • Secaraumumteknik yang digunakanpadaoptimasisatudimensidapatdigunakan dalam optimasi multi variabel. • Definisidansimbol-simbol yang digunakan:

11. Multi variable tanpakendala (2) • Teorema: • Jikaf(X) mempunyaisebuahtitikekstrem(minimum maupun maximum) pada X = X* dan jika derivasi pertama dari f(X) mempunyai nilai pada titik X*, maka ∇f(X*) = 0 • PERHATIAN: Kebalikannyabelumtentubenaryaitujika ∇f(X*) = 0 maka X*adalahtitikekstrem.

12. Multi variable tanpakendala (3) • Teorema: • TitikX*disebuttitikmaksimumlokaldarif(X) jikadanhanyajika: • (i) ∇f(X*) = 0 • (ii) H(X*) < 0 definitnegatifdengan H = matrikHessian yang didefinisikansebagai:

13. Multi variable tanpakendala (4) • Teorema: • TitikX*disebuttitik minimum lokaldarif(X) jikadanhanyajika: • (i) ∇f(X*) = 0 • (ii) H(X*) > 0 definit positif atau |H|j > 0 untukj = 1,2,…,n

14. Multi variable tanpakendala (5) SyaratMaksimumlokal Syarat Minimum lokal

15. Multi variable tanpakendala (6) • Contoh 3: • Tentukantitik-titikekstrimdarifungsi:

16. Multi variable denganKendalaPersamaan (1) • Pada bagian ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengankendalapersamaan yang mempunyaibentukumumsebagaiberikut: • disinim ≤ n, jikaterjadibahwa m > n, makabiasanyatidakdapatdiselesaikan • Untukmenyelesaikanpermasalahanoptimasidiatas, digunakanmetodepengaliLagrange, yaitu:

17. Multi variable denganKendalaPersamaan (2) • Teorema: • Syaratperlubagisebuahfungsif(X) dengankendalagj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikansebagaiL = L(x1,x2,…,xn, λ1,λ2,…,λn) terhadapsetiapargumennyamempunyainilainol. • Teorema: • Syaratharusbagisebuahfungsif(X) agar mempunyai minimum (atau maximum) relatifpadatitikX* adalahjikafungsikuadrat, Q, yang didefinisikansebagai dievaluasipadaX = X*harusdefinitpositif(ataunegatif) untuksetiapnilaidX yang memenuhisemuakendala.

18. Multi variable denganKendalaPersamaan (3) • Syaratperlu agar menjadidefinitpositif (ataunegatif) untuksetiapvariasinilaidXadalahsetiapakardaripolinomial, zi, yang didapat dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif).

19. Multi variable denganKendalaPersamaan (4) • Contoh: Sebuahperusahaanpelumasinginmembuatkalengpelumasdariseng. Kaleng berbentuk silinder dengan bahan yang terpakai seluas A0 = 24π. Berapa maximum volume kaleng yang dapatdibuatdaribahanyang tersedia?

20. Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (1) • Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengankendalapertidak-samaan yang mempunyaibentukumumsebagaiberikut:

21. Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (2) • Kuncidaripenangananpermasalahandiatasadalahmerubahkendalapertidak-samaanmenjadipersamaandenganmenambahvariabelslack. Jadipermasalahanoptimasidiatasdapatdituliskembalisebagai: • Permasalahaninidapatdiselesaikanmetodepengali Lagrange. Untukitu, dibentukfungsi Lagrange sebagaiberikut:

22. Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (3) • Syaratperluuntuksuatupenyelesaian optimum pers.1.17 diperolehdaripenyelesaiansistempersamaandibawahini.

23. Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (4) • Syaratperlu agar persamaanoptimasi, mencapaititikminimumnyadapat pula dicaridengansyarat Kuhn-Tucker. Syaratiniperlutetapisecaraumumbukanmerupakansyaratcukupuntukmencapai minimum. Tetapiuntukproblemajeniskonvex, syarat Kuhn-Tucker menjadisyaratperludancukupuntuksebuah minimum global.

24. Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (5) • PERHATIAN: • Jikapermasalahannyaadalahmemaksimumkan {bukanmeminimumkanseperticontoh}, makaλj ≤ 0 dalamPers.(1.21d). • Jikakendalanyaadalahgj ≥ 0, makaλj ≤ 0 dalam Pers.(1.21d). • Jikapermasalahannyaadalahmemaksimumkandanjikakendalanyaadalahgj ≥ 0, makaλj ≥ 0 dalam Pers.(1.21d).

25. Multi variable denganKendalaPertidak-samaan (6) • Contoh: Sebuahperusahaanpembuatkomputermendapatkontrakuntukmenyediakan 50 unit komputer pada akhir bulan pertama, 50 unit komputerpadaakhirbulankedua, dan 50 unit komputerpadaakhirbulanketiga. Biayaproduksix buahkomputertiapbulannyaadalah x2. Perusahaan inidapatmemproduksikomputerlebihdari yang dipesandanmenyimpannyadigudanguntukdiserahkanpadabulanberikutnya. Biayagudangadalahsebesar 20 satuanhargauntuktiapkomputer yang disimpandaribulan yang lalukebulanberikutnya. Diandaikanbahwapadapermulaanpesanandigudangtidakterdapatpersediaankomputer. Tentukanjumlahproduksikomputertiapbulannya agar biayapembuatannyaminimum.