Estadística 2011 Maestría en Finanzas Universidad del CEMA

1. Estadística2011Maestría en FinanzasUniversidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente: Julián R. Siri

2. 1. Metodología Box-Jenkins 1.1. Metodología B-J: Identificación Clase final 1.2. Metodología B-J: Estimación 1.3. Metodología B-J: Verificación 1.4. Metodología B-J: Predicción

3. 1. Metodología Box-Jenkins Transformación o Diferenciación No ¿Serie Estacionaria? Si • Identificación • ¿Es el proceso AR? ¿MA? ¿ARMA? • ¿Cuál es el valor de p? ¿q? • (2) Estimación de Parámetros • Preliminar • Máxima Verosimilitud (3) Verificación ¿El modelo es razonable desde el punto de vista estadístico? Si (4) Pronóstico No

4. 1.1. Metodología B-J: Identificación Para la identificación se utilizan: La función de autocorrelación muestral (FAC) La función de autocorrelación parcial muestral (FACP) Como bien saben, estas surgen de estimar los coeficientes y a partir de los datos que constituyen la serie a modelar. Pero OJO! Estos son los coeficientes estimados y no los poblacionales. Entonces, necesitamos considerar la distribución muestral, y específicamente, la varianza de los estimadores para juzgar la significatividad de discrepancias posibles entre estimación y parámetro.

5. 1.1. Metodología B-J: Identificación

6. 1.1. Metodología B-J: Identificación Ergodicidad: En las series económicas, es imposible recrear las condiciones bajo las cuales se realiza un experimento, por lo que la estabilidad y fiabilidad de nuestra estimación se halla restringida por la imposibilidad de repetir el experimento en idénticas condiciones. Eso sí, podemos obtener estimaciones estadísticamente consistentes a partir de una única serie de tiempo, gracias a una propiedad que cumplen los procesos estacionarios, la de ergodicidad. Se prueba que un proceso estacionario es ergódico, si se verifica que: Siendo ésta condición suficiente pero no necesaria.

7. 1.2. Metodología B-J: Estimación Trabajaremos con modelos ARMA(p,q). En general, su estimación conduce aesquemas de cálculo que presentan las siguientes dificultades: Las ecuaciones a resolver son no lineales en los parámetros. Las ecuaciones implican p valores desconocidos de la variable y y q valores del shock aleatorio e.

8. 1.3. Metodología B-J: Verificación En lo que respecta a la verificación del modelo, su validación abarca los siguientes aspectos: Suficiencia en cuanto a la cantidad de parámetros del modelo propuesto. Significatividad de los coeficientes estimados. Análisis de las condiciones de estacionariedad e invertibilidad del modelo estimado. Análisis de los residuos de la estimación.

9. 1.3. Metodología B-J: Verificación I. Número de parámetros del modelo La búsqueda de la parsimonia implica que el modelo debe utilizar el mínimo número de parámetros para representar el proceso generador de los datos. El exceso de parámetros genera el “sobreajuste”, creándose problemas adicionales en la estimación. II. Significatividad de los coeficientes estimados Para cada coeficiente en particular es aplicable los test “t” individuales, suponiendo una distribución asintóticamente normal del estadístico. De manera conjunta puede contrastarse el agregado de rezagos de la variable y o en el ruido blanco e, mediante los test basados en la distribución F.

10. 1.3. Metodología B-J: Verificación II. Significatividad de los coeficientes estimados Un criterio alternativo para comparar distintos modelos ARMA son los ya mencionados criterios de información, tales como el AIC, el BIC y el AICC. III. Condiciones de estacionariedad e invertibilidad Es llevada a cabo mediante la factorización de los polinomios autorregresivos y de medias móviles, estudiándose las respectivas raíces. Si alguna está cerca de la unidad, habrá que diferenciar el proceso.

11. 1.3. Metodología B-J: Verificación IV. Análisis de los residuos de la estimación Para un modelo ARMA(p,q): , se verifica que: Constituye un “ruido blanco” (o sea, que su FAC es siempre igual a cero). Pueden evaluarse individualmente los coeficientes de autocorrelación de las perturbaciones, mediante intervalos de confianza y la hipótesis nula de que dichos coeficientes son iguales a cero. A su vez, podemos contruir test de significatividad conjunta (los ya mencionados test Q de Box-Pierce, postergado luego por el estadístico de Ljung-Box, que no sobreestima a la distribución chi-cuadrado).

12. 1.4. Metodología B-J: Predicción Hay que distinguir lo que el período muestral de lo que es el período de predicción. El primero corresponde al período en el que se dispone de información, utilizada en las etapas de identificación y estimación del modelo ( ). El segundo remite al lapso para el que se realiza la predicción ( ). Los pronósticos a realizar pueden ser tanto puntuales como por intervalo.

13. 1.4. Metodología B-J: Predicción ¿Qué buscamos? Pronosticar un valor futuro de Y, k períodos adelante en el tiempo, con base en el proceso estocástico subyacente (dado que el proceso generador de los datos lo desconocemos). ¿Cuán bueno es nuestro pronóstico? La fiabilidad de la predicción se mide en términos del error cuadrático medio.

14. 1.4. Metodología B-J: Predicción Propiedades del predictor: Deseamos que el mismo sea insesgado. Denotando: Entonces, para que se cumpla tal condición, debe verificarse que: Si disponemos de T observaciones de Y, y deseamos pronosticar el valor futuro k períodos adelante, debemos tomar como predictor a: Mientras que su error de predicción será:

15. 1.4. Metodología B-J: Predicción Estructura del error de predicción Como mencionamos en la clase pasada, la varianza del error de predicción depende: De la naturaleza estocástica del modelo (la varianza de las perturbaciones, que no puede incorporarse) y del horizonte de predicción. De la identificación del modelo, que determina las ponderaciones de los coeficientes . Errores de estimación, puesto que los parámetros son estimados en base a una cantidad finita de datos.

16. 1.4. Metodología B-J: Predicción A partir del predictor y el error cuadrático medio, podemos construir un Intervalo de Confianza, suponiendo una distribución normal para las predicciones:

17. 1.4. Metodología B-J: Predicción Evaluación de la capacidad predictiva del modelo Se realiza comparando los valores predichos contra los observados finalmente. Podemos realizarlo tanto dentro de la muestra, como con el período de predicción (una vez que ya se concreta el mismo). Resulta útil un gráfico de realización-predicción, volcando las variaciones porcentuales en los valores predichos (designados con ), con los cambios porcentuales en los valores reales (en este caso serán ). Finalmente, una línea de 45° corresponde a la predicción perfecta. Los valores observados en los cuadrantes II y IV corresponden a errores de rotación.

18. 1.4. Metodología B-J: Predicción Evaluación de la capacidad predictiva del modelo En base a este gráfico podemos construir un índice de desigualdad (conocido como índice de Theil): El coeficiente de desigualdad viene definido por la raíz cuadrada, con signo positivo: Un valor cercano a cero corresponde a la predicción perfecta, el valor unitario indica que el modelo no predice mejor que la repetición del último valor observado, y en cambio si el valor es mayor a la unidad, entonces la capacidad predictiva del modelo se encuentra seriamente comprometida.

19. FIN Me pueden escribir a: jrs06@cema.edu.ar Las presentaciones estarán colgadas en: www.cema.edu.ar/u/jrs06