Laboratorio di El&Tel

1. Laboratorio di El&Tel Elaborazione numerica dei segnali: analisi delle caratteristiche dei segnali ed operazioni su di essi Mauro Biagi

2. Outline • Dall’analogico al digitale • Quantizzazione dell’informazione • Trasformate di Fourier • Filtraggio digitale • Conclusione Elaborazione numerica dei segnali

3. Dall’analogico al digitale • Un segnale x(t) rappresenta la variazione temporale di una grandezza fisica (tensione, corrente, temperatura) • Formalmente x(t) è una funzione Elaborazione numerica dei segnali

4. Analog signal (example) • Digital signal (example) x(t) 5 t 0 10 -5 x(t) 1 t 10 -10 Dall’analogico al digitale Elaborazione numerica dei segnali

5. t Dall’analogico al digitale • Segnali analogici: • Audio (voce, musica) • Video (TV analogica) • Segnali numerici (sequenze di digit): • Audio e video digitalizzati • Immagini Digitali • Sequenze di immagini (videoclip, TV digitale, …) • Dati (documenti word/excel, files, …) Reti analogiche: Broadcast radio/TV, cellulare TACS, cordless analogico Tutte le altre reti sono numeriche (audio e video vengono digitalizzati) Elaborazione numerica dei segnali

6. Segnale analogico Sequenza dei suoi campioni: t . . . . t intervallo di campionamento (sec) frequenza di campionamento (Hz) Campionatore: Trasmissione a distanza, o immagazzinamento Dall’analogico al digitale Elaborazione numerica dei segnali

7. Dall’analogico al digitale Se è limitato in banda, con banda intorno allorigine, e se (criterio di Nyquist), allora il segnale ricostruito risulta uguale all’originale, ossia: Elaborazione numerica dei segnali

8. Dall’analogico al digitale Spiegazione intuitiva:se varia lentamente, e se la si osserva abbastanza frequentemente, allora il suo andamento completo è perfettamente ricostruibile tramite interpolazione delle osservazioni Elaborazione numerica dei segnali

9. Dall’analogico al digitale La proprietà fondamentale che sta alla base del teorema del campionamento è la seguente:

10. Nel dominio della frequenza: X(f) 2W f f f Dall’analogico al digitale

11. Sotto-campionamento: 2W f f 1) Manca una parte dello spettro 2) La parte mancante si “ripiega” e si somma al resto f c’è dell’altro (“alias”) nello spettro ricostruito Dall’analogico al digitale

12. Ricostruzione, con treno di impulsi matematici: Filtro LP: Segnale ricostruito t Dall’analogico al digitale

13. Ricostruzione ideale, con treno di impulsi matematici: f t Dall’analogico al digitale

14. Dall’analogico al digitale

15. x(n) Q Sampling Quantizer ADC: Analog-to-Digital Converter q(n): errore di quantizzazione, che svanisce all’aumentare di b, ovvero del numero di bit impiegati nella conversione A/D Quantizzazione dell’informazione b bit, che rappresentano:

16. Passo di quantizzazione xmax= xq(L-1) Livello di restituzione rappresentato con b bits xq(i) Numero dei livelli di quantizzazione L xmax -xmax x(n) xq(2) xq(1) -xmax=xq(0) Quantizzazione dell’informazione

17. Generatore di livelli di restituzione Generatore di forma d’onda b bits DAC: Digital-to-Analog Converter Quantizzazione dell’informazione

18. flusso binario (bits/sec) b bits Campionatore + quantizzatore P/S Trasmissione Convertitore parallelo/serie b bits flusso binario, bit/sec S/P Convertitore analogico- digitale Filtro LP Con banda [-W,W] Convertitore serie/parallelo Quantizzazione dell’informazione

19. Quantizzazione dell’informazione Lintervalli di quantizzazione, L valori (“livelli”) di quantizz.

20. campione quantizzato campione originale errore di quantizzazione • L’errore di quantizzazione può assumere tutti i valori da a • Modello probabilistico: q è una variabile aleatoria con “distribuzione” (densità di probabilità) uniforme tra e , e a media nulla • Il valore massimo del modulo dell’errore q è: , e va a zero al crescere di b • Sul segnale ricostruito l’errore di quantizzazione viene percepito come un disturbo (rumore) sommato al segnale originale Quantizzazione dell’informazione

21. Quantizzazione dell’informazione • Supponiamo che x possa assumere solo valori in [-xmax, xmax] • Supponiamo che l’intervallo [-xmax, xmax] sia suddiviso in L=2b intervalli di quantizzazione di estensione • Si può dimostrare che il valore medio E{q2} del quadrato dell’errore di quantizzazione q vale • Quindi E{q2} va a zero in maniera esponenziale al crescere di 2b

22. Trasformate di Fourier • può essere quantizzata oppure no • può essere la sequenza dei campioni di un segnale analogico , oppure può nascere proprio come sequenza (esempi: indicatori economici, distribuzione di temperatura) • Sequenza numerica di durata finita (N elementi):

23. Trasformate di Fourier Def: Un segnale x(t) è impulsivo se FT : FT-1 : X(f) è una rappresentazione di x(t) nel dominio della frequenza (dominio “spettrale”) anziché del tempo

24. M(f) R(f) f f (f) I(f) f f Trasformate di Fourier X(f) = R(f) + j I(f) = M(f)e j

25. Trasformate di Fourier segnale reale: Simmetria coniugata:

26. k Trasformate di Fourier • DFT: Discrete Fourier Transform

27. Trasformate di Fourier • La DFT {Xk,k=0,…,N-1} costituisce una rappresentazione di nel dominio k delle frequenze discrete. Infatti vale la seguente formula di ricostruzione

28. Filtraggio digitale La convoluzione discreta è data dalla seguente relazione si può procedere al calcolo o passare per il dominio della frequenza (discreta) Teorema della convoluzione. Yk=HkXk

29. Filtraggio digitale • Def: un filtro numerico è detto FIR se la sua risposta impulsiva {hn,n=0,…,L-1} ha lunghezza finita L Linea di ritardo digitale Ritardo di 1 passo (delay) Ritardo di 1 passo (delay) Ritardo di 1 passo (delay) ….. • L’uscita all’”istante” n è pari alla combinazione lineare di L valori di ingresso immagazzinati nella linea di ritardo digitale

30. Filtraggio digitale • Un filtro è detto IIR (Infinite Impulse Response) se la sua risposta impulsiva {hn} è non nulla in un numero infinito di istanti.

31. Conclusione Che cosa fare in laboratorio? • Matlab…..->…Matlab….->Matlab • Filtraggio passa basso e passa alto di un segnale • Filtraggio notch e ‘isolatore’ • Effetto dell’echo (multipath!) Elaborazione numerica dei segnali