Matematické modely ve finanční sféře

1. Matematické modely ve finanční sféře 2.-3. cvičení, 14. a 21.10.2008 Lukáš Teklý lukas.tekly@centrum.cz

2. Short selling • Příklady • Termíny, které souvisejí se short selling

3. Short selling - termíny • Short Selling (prodávání short) • Prodej cenného papíru, který prodávající sám nevlastní, nebo jakýkoliv prodej, který je dokončen doručením cenného papíru půjčeného prodávajícím. • Prodávající short spekulují na to, že budou moci nakoupit akcii za nižší cenu než za kterou ji prodají short. Jsou protikladem dlouhodobého investování. Vydělávají totiž na poklesu ceny, ne na růstu. • Shortování je pokročilou investiční strategií s mnoha unikátními riziky a úskalími. Jeho provádění doporučujeme pouze zkušeným investorům. převzato z: www.

4. Short selling - termíny • Shortování (nebo short pozice) • Prodej půjčených cenných papíru, komodit nebo měn s očekáváním v pokles jejich hodnot. • Je protikladem long (long pozice) - dlouhodobého investování. • Příklad: • Investor, který si půjčí akcie od brokera a prodá je na veřejném trhu je označován jako short. Časem musí ovšem akcii vrátit - pořídit opět na veřejném trhu. Pokud akcie poklesne na ceně, investor ji koupí za méně než ji prodal a má tedy zisk. • Short Sale Rule (pravidlo prodávání akcií short) • Zákon SEC vyžaduje prodávání short pouze za vyšší nebo stejnou nabídku než momentální cena. Je označováno také jako „plus tick pravidlo" nebo „tick-test pravidlo". • Znamená tedy, že short prodeje se mohou uskutečňovat pouze na růstových trzích. Zákon zabraňuje prodávání short za účelem stlačení ceny akcie dolů.

5. Short selling - termíny • Naked Shorting ("nahé" shortování) • Ilegální praktika prodávání short akcií, které nebyly pevně předem alokovány u brokera. Trader si běžně musí akcii půjčit, nebo zajistit, že může být půjčena, předtím než ji prodá short. Nicméně někteří profesionální investoři a investiční fondy využívají právní mezery v pravidlech a prodávají akcie bez jejího půjčení. • V roce 2003 SEC zavedli nové pravidlo pro zákaz naked shortování, aby ochránili málo obchodované akcie, které jsou více zranitelné agresivním prodáváním short. Taková praktika totiž může způsobit jejich hluboký propad.

6. Short selling - termíny • Short And Distort (shortuj a zkresli) • Ilegální praktika prováděná nemorálními internetovými investory, kteří prodávají akcie short a poté rozšiřují neopodstatněné drby a další druhy neověřených špatných zpráv ve snaze stlačit cenu akcie a realizovat zisk. • V poslední době mají tito podvodnící díky firemním skandálům a investorské nejistotě lehčí práci s šířením zhoubných nádorů prohlášeními o prohrách v nákladných soudních procesech a podobně. Pokud nechcete být ošizeni, je vždy nutné udělat si svůj vlastní průzkum firmy a být kritický k informacím z neověřených zdrojů. • Short Interest (zainteresovanost shortů) • Celkový počet akcií, které byly prodány short zákazníky a obchodníky s cennými papíry. • Je obvykle vyjádřeno procentuálním podílem. Například 3% short interest znamená, že 3% všech akcií v oběhu jsou drženy short.

7. Short selling - termíny • Short Squeeze ("zmáčknutí") či vytlačení investorů prodávajících short • Situace, kdy nedostatek nabídky a přemíra poptávky obchodované akcie tlačí cenu vzhůru. Tento stav se vyskytuje nejčastěji u small-cap společností s nízkými počtem obchodovaných akcií. Akcie začne rapidně stoupat a tento trend může pokračovat tím silněji, čím více shortů se bude chtít „cover" - nakoupit půjčené akcie, aby je mohli vrátit. Například řekněme, že akcie stoupne o 15% v jednom dni. Ti co shortovali, mohou být nuceni se „cover" a zlikvidovat své pozice nákupem akcií za momentální cenu. Pokud bude takto nucena nakupovat dostatečná část shortů - akcie půjde ještě výše. • Poop And Scoop (polož na lopatky) • Velmi ilegální praktika objevující se hlavně na internetu. Spočívá v tom, že se malá skupina dobře informovaných lidí snaží stlačit cenu akcie rozšiřováním nepravdivých informací a drbů. Pokud jsou úspěšní, mohou pořídít cenu akcie za velmi výhodné ceny. Poop and scoop je protiklad níže popsanému Pump and dump.

8. Pákový efekt (leverage) • Tzv. pákový efekt u termínových obchodů, u nichž je při jejich uzavření potřeba složit pouze určitý zlomek z hodnoty obchodu (initial margin) • Vzniká z toho důvodu, že relativně malá procentní změna kurzu bazické hodnoty vyvolá mnohonásobně vyšší procentní změnu rentability kapitálu vloženého do termínového obchodu při jeho uzavření. • Investor pak s relativně nízkou počáteční investicí může dosáhnout výrazného zisku nebo také ztráty, jejichž výše je dána typem termínového kontraktu

9. Pákový efekt - Akcie Investor drží 10 akcií ČEZ, jednu za 1000Kč. Cena na trhu (market price) klesne o 200Kč. hodnota portfolia 10.000,- hodnota portfolia 8.000,- ztráta 2.000 (20%) Investor drží 1 akcii ČEZ za 1000Kč. Půjčí si 9 akcií ČEZ v hodnotě 1000Kč. Zapůjčení za 10% ceny, tzn. 900 Kč. Cena na trhu (market price) klesne o 200Kč. hodnota portfolia 10.000,- hodnota portfolia 8.000,- ztráta portfolia 2.000 (20%) náklady zapůjčení 900,- (10% z 9.000,-) celková ztráta 2.900 (153% z investovaných 1.900,-)

10. Pákový efekt - Komodity • Na trhu nakoupím 100 uncí zlata při market price 418,7 USD/unce, tzn. v celkové hodnotě 41.870,- USD • Zaplatím burze pouze zálohu (margin) ve výši 5%, tzn. 2.094,- USD • Market price se změní o 10 USD na 428,7 USD/unce • Prodám 100 uncí zlata v celkové hodnotě 42.870,- USD • Zaplacený margin mi burza vrátí VLOŽENÝ KAPITÁL = 2.094,- ZISK = 1.000 USD tzn. 147% VLOŽENÉHO KAPITÁLU

11. Měnové kurzy • Poměr jedné měny ke druhé • Přímá vs. nepřímá kotace • Křížový kurz - příklady • Forwardový kurz (termínovaný) – příklady

12. Forwardový kurz - příklady • Určete tříměsíční (90 dní) forwardový kurz CZK/EUR, pokud • spotový kurz je 25,000 CZK/EUR • IR v ČR je 2% • IR v Eurozoněje 1,75% • Jaký bude spotový kurz za tři měsíce (90 dní)? • Určete, jaká je úroková míra v USD, pokud dnešní spotový kurz je 18,623 CZK/USD, forwardový roční kurz je 17,800 a IR v ČR je 2%.

13. Základní statistické ukazatele a modely • Průměr • Aritmetický • Geometrický • Klouzavý • Rozptyl, směrodatná odchylka • Regrese, korelace • Modus • Medián • Rozdělení pravděpodobnosti

14. Aritmetický průměr • Aritmetický průměr • V portfoliu držím tři různé akcie, tržní hodnoty 20Kč, 30Kč a 40Kč. Jaká je průměrná cena jedné mojí akcie? • Vážený artm. průměr • V portfoliu držím 10 akcií. 2 za 20Kč, 3 za 30Kč a 5 za 40Kč. Jaká je průměrná cena jedné mojí akcie?

15. Geometrický průměr • Geometrický průměr je statistická veličina, která udává v jistém smyslu typický koeficient v souboru koeficientů • Geometrický průměr • Akcie měla následující vývoj ceny: • Po +10%, Út +5%, St -15%, Čt -5%, Pá -5%. • Jaký byl průměrný růst? • Zde použijeme geometrický průměr! • Udává nám průměrný růst – „o kolik by se změnila cena, kdyby byl růst konstantní“

16. Geometrický průměr - příklad • Akcie měla následující vývoj ceny: • Po +10%, Út +5%, St -15%, Čt -5%, Pá -5%. • Jaký byl průměrný růst? • X = (1,1 * 1,05 * 0,85 * 0,95 * 0,95) 1/5 • X = 0,976 • Průměrný růst (resp. pokles) činil -2,4% • Udává nám průměrný růst – „o kolik by se změnila cena, kdyby byl růst konstantní“ • Zkuste spočítat aritmetický průměr

17. Geometrický průměr - příklad • Investiční fond rostl generoval v posledních třech letech následující výnosy • 2004 – 3,4% • 2005 – 4,5% • 2006 – 5,2% • 2007 – 5,8% • Jaký byl průměrný růst?

18. Směrodatná odchylka • Směrodatná odchylka je nejužívanější míra variability • Jedná se o kvadratický průměr odchylek hodnot znaku od jejich aritmetického průměru. • Vypovídá o tom, jak moc se od sebe navzájem liší typické případy v souboru zkoumaných čísel. • když malá, jsou si prvky souboru většinou navzájem podobné • když velká, jsou prvky souboru většinou velmi rozdílné

19. Pravidlo 1σ a 2σ a Variační koeficient • Pomocí pravidel 1σ a 2σ lze přibližně určit, jak daleko jsou čísla v souboru vzdálená od průměru, resp. hodnoty náhodné veličiny vzdálené od střední hodnoty.. • Jde-li o soubor hodnot, pak • většina hodnot se neodlišuje od průměru o více než jednu směrodatnou odchylku • skoro všechny hodnoty jsou v pásmu do dvou směrodatných odchylek od průměru • Variační koeficient • Chceme-li posoudit, je-li variabilita malá nebo velká, porovnáme směrodatnou odchylku s průměrem

20. Směrodatná odchylka - příklad • Porovnejte volatilitu dvou finančních instrumentů na základě údajů o změnách cen: • A. – 4, 5, 6 • B. – 1, 5, 10 • Vypočítejte variační koeficient.

21. Regrese a Korelace • Regrese • popisuje vztah dvou a více kvantitativních veličin formou funkční závislosti • rozlišuje nezávislou a závislou proměnou • Korelace • měří těsnost vztahu mezi dvěma proměnnými • obě proměnné jsou stejnocenné (není závislá a nezávislá) • (Pearsonův) Korelační koeficient Pokud jsou kladné odchylky od průměru u X spojeny s kladnými odchylkami u Y, a záporné se zápornými, součin je kladný.

22. Korelace

23. Korelace

24. Korelace - příklad • Na trhu lze vysledovat určité závislosti. Odhadněte korelační koeficient. • V případě, že cena elektřiny v Německu roste, cena na PXE roste také. • Když klesá cena plynu,roste cena akcií RWE. • Když roste cena ropy, roste i cena plynu.

25. Modus, Medián • Medián (Me nebo ) je hodnota, jež dělí řadu podle velikosti seřazených výsledků na dvě stejně početné poloviny • Platí, že nejméně 50 % hodnot je menších nebo rovných a nejméně 50 % hodnot je větších nebo rovných mediánu • Výhoda: není ovlivňován extrémy • Nevýhoda: nemá vypovídací hodnotu u souborů se dvěma vrcholy • Modus náhodné veličiny X (Mod(X) nebo ) je hodnota, která se v daném statistickém souboru vyskytuje nejčastěji (je to hodnota znaku s největší relativní četností) • Představuje typickou hodnotu sledovaného souboru • Určen rozdělením pravděpodobnosti • Výhoda: jednoduchá interpretace • Nevýhoda: nemá vypovídací hodnotu u souborů se dvěma vrcholy

26. Děkuji za pozornost.