1 / 26

Suku Banyak

Suku Banyak. STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. KOMPETENSI DASAR Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.

deron
Download Presentation

Suku Banyak

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SukuBanyak

  2. STANDAR KOMPETENSIMenggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR • Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian. • Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah serta mencari akar-akar persamaan.

  3. Pengertian Sukubanyak/Polinomdalam x berderajad n ditulis : f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + .... + a2x2 + a1x + ao dengan n ∈ Cacah • Dimana : anxn adalah suku utama • an, an-1, ... Adalah konstanta • Kita dapat menentukan nilai suku banyak dengan cara substitusi. • Soal : • Diketahuisukubanyak f(x) = 2x4 – 4x2 – x – 4. Tentukan : • f(-1) + f(0) = …. • f(x – 1) + f(1 – x) = …. • Nilaisukubanyaktersebutuntuk x = - 2 • Padasukubanyak f(x) = x3 – x2 – 2x. Tentukannilai k > 0 yang memenuhi f(k) = 0 !

  4. Menentukannilaisukubanyakdengancaraskema Misalpadasukubanyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Tentukannilaisukubanyaktersebutuntuk x = k atau f(k). a b c d ak ak2 + bkak3 + bk2 + ck k + a ak + b ak2 + bk + c ak3 + bk2 + ck + d f (k) • SOAL • Gunakanskemauntukmenentukannilaidari f(2) padasukubanyak : • f(x) = 2x3 – x2 + 2x – 2 • f(x) = - 2x4 + 3x3 – x2 + 2

  5. Operasi Suku Banyak Suku Banyak f(x) berderajad m dan Suku Banyak g(x) berderajad n, maka : f(x) ± g(x) adalah Suku Banyak berderajad maksimum m atau n f(x) . g(x) adalah Suku Banyak berderajad m + n Soal • Jika f(x) = 2x3 + 4x2 – 2x -4 dan g(x) = x4 – 2x2 – 4 , tentukansukubanyak h(x) jika : • h(x) = f(x) + g(x) • h(x) = f(x) . g(x – 2) • h(x) = 2f(2x – 1) – g(x2)

  6. PEMBAGIAN SUKU BANYAK Bentukumumpembagiansukubanyak f(x) dengan p(x) menghasilkan h(x) danbersisa S(x) dapatditulis : f(x) = p(x).h(x) + S(x) Note : Jumlahderajadtertinggi p(x) dan h(x) harussamadenganderajad f(x) Derajad S(x) satukurangnyadariderajadpembagi Teknik Pembagian Suku Banyak : Pembagian Bersusun (Cara pembagian berekor) Identitas (Koefisien) Sintetik (Horner)

  7. Ingat: Remainder

  8. Contoh 1 (pembagian bersusun) : Cek

  9. Contoh 2: Check

  10. Contoh 3

  11. Contoh 4

  12. Contoh 5 ( Identitas ) : x4+x2+1 = (x+1) (ax3+bx2+cx+d) + e Persamaan koefisien ruas kiri dan kanan : x4 : 1 = a x3 : 0 = b + a ; didapat b = -1 x2 : 1 = c + b ; didapat c = 2 x1 : 0 = d + c ; didapat d = -2 x0 : 1 = d + e ; didapat e = 3 Jadi x4+x2+1 = (x+1) (x3-x2+2x-2) + 3

  13. Contoh 6 ( Horner ) : x4+x2+1 : (x+1) = x3-x2+2x-2 + (3) 1 0 1 0 1 -1 1 -2 2 -1 (hasil bagi) 1 -1 2 -2 3 (sisa)

  14. teoremasisa 1. SukuBanyak f(x) jikadibagioleh (x – k) menghasilkan h(x) dansisa S dapatditulisf(x) = (x – k) . h(x) + S S = f(k) Bukti : Dengan Teknik Horner f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + .... + a2x2 + a1x + a0 an an-1 an-2 an-3 ...... a0 k an k an-1k+ank2 ........... + an an-2 +an-1k+ank2 ....... a0+ a1k+a2k2+...+ an-1kn-1+ ankn an-1+ank an-3 +an-2 k+.an-1k2+ank3 SISA Terbukti bahwa Sisa = f(k)

  15. value of x Remainder Theorem Ex : Using the remainder theorem, evaluate P(x) = x 4 – 4x – 1 when x = 3. 3 1 0 0 –4 –1 3 9 27 69 1 3 9 23 68 The remainder is 68 at x = 3, so P(3) = 68. Note: P(3) = (3)4 – 4(3)– 1 = 68. You can check this using substitution:

  16. 2. Suku Banyak f(x) jika dibagi oleh (ax – p) menghasilkan h(x) dan sisa S dapat ditulis Hasil Bagi Horner SOAL : Tentukanhasilbagidansisajika : 2x4 + 4x3 – 3x – 4 dibagioleh 2x – 6 6x6 – 151x4– 132x dibagioleh 0,2x – 1 - 2x5 – x3+x – 1 dibagioleh 1 – 2x

  17. 3. Suku Banyak f(x) jika dibagi oleh (x – a)(x – b) menghasilkan h(x) dan sisa S(x) dapat ditulis f(x) = (x – a)(x – b).h(x) + S(x) Jika dianggap P1 = (x – a) dan P2 = (x – b) maka : f(x) = (x – a) h1(x) + S1 ---> Sisa S1 berderajad satu h1(x) = (x – b) h2(x) + S2 ---> Sisa S2 berderajad satu f(x) = (x – a){ (x – b) h2(x) + S2 } + S1 f(x) = (x – a)(x – b) h2(x) + (x – a) S2 + S1 S(x) = P1S2 + S1 SISA Pada suku banyak f(x) = (x – a)(x – b).h(x) + mx + n Substitusi x = a ⇨ f(a) = am + n ------ (1) Substitusi x = b ⇨ f(b) = bm + n ------ (2) Dari (1) dan (2) didapatkan nilai : Alternatif :

  18. 3. Suku Banyak f(x) jika dibagi oleh (x – a)(x – b)(x – c) menghasilkan h(x) dan sisa S(x) dapat ditulis f(x) = (x – a)(x – b)(x – c).h(x) + S(x) Jika dianggap P1 = (x – a), P2 = (x – b) dan P3 = (x – c) maka : f(x) = (x – a)h1(x) + S1 h1(x) = (x – b)h2(x) + S2 h2(x) = (x – c)h3(x) + S3 h1(x) = (x – b) { (x – c)h3(x) + S3 } + S2 = (x – b)(x – c)h3(x) + (x – b)S3 + S2 f(x) = (x – a) { (x – b)(x – c)h3(x) + (x – b)S3 + S2 } + S1 = (x – a)(x – b)(x – c)h3(x) + (x – a)(x – b)S3 +(x – a)S2 + S1 S1 , S2 dan S3 berderajad dua SISA S(x) = P1P2S3 + P1S2 + S1

  19. teorema FAKTOR Jikasukubanyak f(x) dibagioleh p(x) memberikansisaadalahnolmaka p(x) disebutfaktordari f(x). TEOREMA: (x – a) merupakanfaktordari f(x) ⇔ f(a) = 0 Soal : Tentukan nilai k agar (x – 1) merupakan faktor dari x3 + 4x2 – kx + 7 Tentukan nilai k jika x – y merupakan faktor dari suku banyak f(x,y) = x3 – 5x2y + kx2y – x + y

  20. Factor Theorem Ex : Show that (x + 2) and (x – 1) are factors of P(x) = 2x 3 + x2– 5x + 2. 1 2 – 3 1 – 2 2 1 –5 2 2 – 1 – 4 6 – 2 2 – 1 0 2 – 3 1 0 The remainders of 0 indicate that (x + 2) and (x – 1) are factors. The complete factorization of P is (x + 2)(x – 1)(2x – 1).

  21. SOAL : • Tentukan hasil bagi h(x) dan sisa S(x) dengan metode horner dan metode koefisien tak tentu jika : • 2x3 + 4x2 – 2x – 4 dibagi oleh (x – 4)(x – 2) • 6x4 – 2x2 – 4x dibagi oleh (x2 – x – 6) • 6x4 – 2x2 – 4x dibagi oleh (2x – 1)(x + 2) • 2x4 + 4x3 – 3x – 4 dibagi oleh (2x – 1)(2x – 4) • x4 + x3 – 2x – 4 dibagi oleh 2x2 – x • Tentukan hasil bagi h(x) dan sisa S(x) jika : • 2x3 – 2x2 – 4x + 2 dibagi oleh x2 – x – 1 • 4x4 + x3 – 2x – 4 dibagi oleh 2x2 – x + 2 • -2x4 + x3 + 2x dibagi oleh x3 – x2 + 2 • x4 + x3 – 2x + 2 dibagi oleh 2x2 – x + 2

  22. Akar-Akar Persamaan Suku banyak/Polinom dalam x berderajad n di tulis : f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + .... + a2x2 + a1x + ao dengan n bilangan cacah. Jika n = 1 maka suku banyak disebut “monic polynomial” Nilai x yang menyebabkan f(x) = 0 disebut akar-akar suku banyak. Menentukan akar-akar suku banyak berarti menentukan faktor-faktor dari suku banyak tersebut. Jika (x – k) merupakan salah satu faktor dari f(x) maka nilai suku banyak tersebut adalah f(k) yang tentunya habis di bagi k. f(x) = ankn + an-1kn-1 + an-3kn-3 + .... + a2k2 + a1k + ao Berarti k|ao  k membagi ao

  23. Contoh 1 : Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 Jawab: Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu pembagi bulat dari 6 ada 8 buah yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh: P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 = 2 – 1 – 7 + 6 = 0 Oleh karena P(1) = 0, maka (x–1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6 Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan pembagian horner

  24. Koefisien sukubanyak P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 adalah 2 -1 -7 6 k = 1 Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6 + -6 2 1 0 2 1 -6 Koefisien hasil bagi

  25. Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6) 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2) Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2) Sehingga akar-akar rasional dari suku banyak 2x3 – x2 – 7x + 6 = 0 adalah 1, 3/2 dan – 2.

  26. - 3 - 9 -2 8 10 2 2 4 5 1 0 Contoh 2 : Tentukan akar-akar rasional dari 4x3 – 3x2 – 9x – 2 = 0 Jawab: Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 2, yaitu ± 1 dan ± 2. Substitusi x = 2 menghasilkan 4(8) – 3(4) – 9(2) – 2 = 0 maka x = 2 merupakan salah satu akar persamaan tersebut atau (x – 2) merupakan salah satu faktor. Dengan menggunakan metode sintetik (Horner) didapatkan : Hasil baginya : 4x2 + 5x + 1 = 0 yang merupakan faktor. 4x2 + 5x + 1 = (4x + 1)(x + 1)

More Related