Persamaan Differensial Biasa (PDB) Ordinary Differential Equation ( ODE )

1. PersamaanDifferensialBiasa(PDB)Ordinary Differential Equation (ODE) MetodeNumerik TeknikSipil

2. DefinisiPersamaanDifferensialBiasa • Sebuahpersamaandifferensialbiasaadalahsebuahpersamaan yang menyatakanhubunganantarasebuahfungsidengansebuahvariabelindependentunggaldanturunan total darifungsiiniterhadapvariabelindependentersebut. • Variabeldependen (y) tergantungkepadamasalahfisik yang dimodelkan. Variabelindependenbiasanyasalahsatudarivariabelwaktu (t) atauruang (x).

3. OrdePersamaanDifferensialBiasa • Orde PDB adalahturunanordetertinggidalampersamaandifferensial. • Bentukumum PDB ordesatuadalah • dimanaf(t,y)disebutfungsiturunan. Untukpenyederhanaannotasi, turunanbiasanyadinyatakandengantandapetiktunggal • sehingga • PDB mempunyaibentukumum • dimana superscript (n), (n-1), dst. menyatakanturunanordeke n, n-1, dst.

4. PersamaanDifferensialBiasa Linear dan Non-linear • PDB linear adalah PDB yang semuaturunannyamunculdalambentuk linear dantidakadakoefisien yang tergantungkepadavariabeldependen. • Koefisienbisamerupakanfungsidarivariabelindependen, yang mana PDB disebut PDB linear dengankoefisienberubah. • (linear, koef. konstan, PDB orde-satu) • (linear, koef. berubah, PDB orde-satu) • (bentukumum PDB linear) • Jikakoefisientergantungkepadavariabeldependen, atauturunanmunculdalambentuk nonlinear, PDB-nyaadalah nonlinear. Contoh: • (bentukumum PDB non-linear)

5. PersamaanDifferensialHomogendan Non-homogen • Persamaandifferensialhomogenadalahpersamaandifferensialdimanatiapsukumelibatkanvariabeldependenatausatudariturunannya. • Persamaandifferensial non-homogenmengandungsukutambahan, ygdisebutsuku non-homogen, suku-sukusumber (source terms), ataufungsipenggerak (forcing function), yang tidakmelibatkanvariabeldependen. Contoh: • (linear, orde-satu, PDB homogen) • (linear, orde-satu, PDB nonhomogen)

6. Sistem PDB • Banyakmasalahpraktismelibatkanbeberapa variable dependen, yang masing-masingadalahsebuahfungsidarivariabelindependen yang samadansatuataulebihvariabeldependen, yang masing-masingdibangunolehpersamaandifferensialbiasa. Sekumpulan PDB inidisebutsistem PDB. Contoh: • adalahsebuahsistemdaridua PDB ordesatu

7. Klasifikasi PDB • Jikakondisitambahanditentukanpadanilai yang samadari variable independendansolusidigerakkanmajudaridarititikawal, persamaandifferensialdisebutsebagai PDB nilaiawal. • Jikakondisitambahanditentukanpadaduanilai yang berbedadarivariabelindependen, titik-titikakhirataubatas-batasdaridaerah yang diperhatikan, persamaandifferensialdisebut PDB nilaibatas.

8. Ilustrasi PDB nilaiawaldan PDB nilaibatas • PDB nilaiawal. • Daerah solusiterbuka. • PDBnilaiawaldiselesaikandenganmarching numerical methods • PDB nilaibatas. • Daerah solusitertutup. • PDBnilaibatasdiselesaikandenganmarching numerical methods atau equilibrium numerical methods

9. Contoh PDB nilaiawal •  = konstanta Stefan-Boltzmann (5,67 x 10-8 J/m2-K4 –s) • = emissivitasbenda • A = luasanbenda • m = massabenda • T = suhu • t = waktu • Ta = suhuambienlingkungan • C = panasspesificdari material • qr = transfer panasdarimassakelingkungan

10. Contoh PDB nilaibatas • E = modulus elastisitas material balok • I(x) = momeninersiapenampanglintangbalok • q(x) = bebanterdistribusi