Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach

1. Jan IwanikMetody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki i Informatyki PWr, 2006

2. Plan prezentacji • Prawdopodobieństwo niepowodzenia • definicja, • wzory ogólne, • przypadki szczególne, • efektywność obliczeniowa. • Systematyczne ryzyko śmiertelności • definicja, • wzory na prawdopodobieństwo dożycia, • analiza statystyczna danych historycznych, • wycena opcji na śmiertelność.

3. Część IPrawdopodobieństwo niepowodzenia

4. Proces ryzyka towarzystwa ubezpieczeńR(t) – definicja • u – kapitał początkowy, • c – prędkość napływania składki, • S(t) – łączna wartość szkód do momentu t.

5. Przykładowa trajektoria procesu ryzyka

6. Prawdopodobieństwo ruiny Definicja 1. Niech R(t) będzie procesem ryzyka. Prawdopodobieństwem ruiny w czasie skończonym nazywamy

7. Prawdopodobieństwo niepowodzenia Definicja 2. Prawdopodobieństwem niepowodzenia nazywamy

8. Prawdopodobieństwo niepowodzenia, przypadek u = 0 Twierdzenie 1. Niech Gt będzie dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Jeśli kapitał początkowy u = 0, to

9. Prawdopodobieństwo niepowodzenia dla dowolnego u Twierdzenie 2. Niech Gt będzie różniczkowalną dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Niech wówczas

10. Związek z teorią kolejek Definicja 3. Procesem czasu obsługi dualnym do R(t) nazywamy proces V(t) Twierdzenie 3. Niech V(t) będzie procesem czasu obsługi dualnym do procesu ryzyka R(t). Jeśli V(0) = w, to niepowodzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy V(T) > u.

11. Szkody o wartościach stałych (1) Twierdzenie 4. Niech wszystkie szkody mają wartość h, niech w/h oraz u/h będą liczbami naturalnymi. Wówczas prawdopodobieństwo niepowodzenia można szacować poprzez

12. Szkody o wartościach stałych (2) Twierdzenie 4 (kontynuacja). ...gdzie jest zadane jawnym wzorem, np. dla T < w/c mamy

13. Szkody o rozkładzie dyskretnym Twierdzenie 5. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Niech szkody mają rozkład skupiony na liczbach naturalnych, niech K’n będzie zmienną zdefiniowaną w pracy Ignatova i Kaisheva (2000), wówczas gdzie Cin’ jest pewnym zbiorem ciągów.

14. Złożoność obliczeniowa dla metody Ignatova-Kaisheva (2000) Twierdzenie 6. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Liczba obliczeń wyznacznika potrzebnych do wyznaczenia wynosi 2n’ – 1.

15. Prawdopodobieństwo niepowodzenia: podsumowanie • Zdefiniowano prawdopodobieństwo niepowodzenia i uzasadniono jego użyteczność. • Wyznaczono ogólne wzory dla prawdopodobieństwa niepowodzenia. • Wyznaczono wzory analityczne w szczególnych przypadkach. • Wykazano, że prawdopodobieństwo to można wyliczać efektywniej niż prawdopodobieństwo ruiny.

16. Część IISystematyczne ryzyko śmiertelności

17. Zmiany w tablicach trwania życia Zmieniające się parametry śmiertelności w USA (z pracy Lee i Cartera, 1992) Tablice Edmonda Halley’a, jedne z pierwszych tablic trwania życia, stworzone na podstawie wrocławskich danych demograficznych (1693)

18. Intensywność umieralności, przypadek deterministyczny Prawdopodobieństwo, że losowa osoba dożyje od wieku t do wieku T

19. Stochastyczne modele intensywności umieralności Zaproponowano następujące modele intensywności umieralności gdzie a > 0 oraz σ > 0. Ponadto przyjęto, że parametr β = 0, 1/2 lub 1.

20. Prawdopodobieństwo dożycia W przypadku stochastycznym

21. Postać prawdopodobieństwa dożycia Twierdzenia 7-9. Niech intensywność umieralności będzie zdefiniowana przez (*). Wówczas, przykładowo, jeśli β = 0, to gdzie

22. Analiza statystyczna danych historycznych Przebadano historyczne tablice trwania życia z 20 krajów rozwiniętych z lat 1920-2003. I dopasowywano modele opisane przez (*): • jednowymiarowe, dla osób urodzonych w zadanym roku, • wielowymiarowe, dla grup osób urodzonych w różnych latach.

23. Dopasowane modele wielowymiarowe

24. Opcje na śmiertelność Definicja 4. Opcją (kupna) na śmiertelność nazywamy kontrakt wypłacający w momencie T sumę Uwaga. Jeśli K = T-t pt, to opcja na śmiertelność jest idealnym zabezpieczeniem przed systematycznym ryzykiem śmiertelności.

25. Aproksymacje wyceny opcji Zaproponowano modyfikacje metod znanych z wyceny stóp procentowych: • aproksymacyjnej metody Vorsta (1990), • aproksymacyjnej metody E. Levy’ego (1992).

26. Wycena zmodyfikowaną metodą Levy’ego Cena opcji na śmiertelność dla intensywności umieralności opisanej zmodyfikowanym geometrycznym ruchem Browna, β = 1. Dokładna cena opcji na śmiertelność uzyskana metodą symulacji Cena opcji na śmiertelność uzyskana zmodyfikowaną metodą Levy’ego

27. Systematyczne ryzyko śmiertelności: podsumowanie • Zdefiniowano nowe modele stochastyczne dla intensywności umieralności. • Obliczono analityczną postać prawdopodobieństwa dożycia. • Przeprowadzono analizę statystyczną danych historycznych i oceniono przydatność modeli. • Zaproponowano aproksymacje do wyceny opcji na śmiertelność. • Wyceniono opcję na śmiertelność dla zaproponowanych modeli.

28. Bardzo dziękuję za uwagę