II . Pengujian rata-rata k populasi

1. II. Pengujian rata-rata k populasi MetodaAnova (Analysis of Varians) • Anovametodauntukmenguraikankeragaman total data menjadikomponen-komponenygmengukurberbagaisumberkeragaman • Dalampercobaanada 2 komponen : - Mengukurvarianygdisebabkanolehkesalahanpercobaan - Mengukurvarianygdisebabkankesalahanpercobaan plus keragamanygdisebabkanolehjeniskelompok (mis : varitas, kelas, pengajar, dll) Dengankata lain : Anovamembagi total variasimenjadi : - Varian between k samples; - Varian within k samples Seringkalikitainginmengujiapakahtigaataulebih pop. Memiliki rata-rata ygsama. Contoh : apakahbahanbakar/km ygdigunakanuntukbeberapamerekmobilsama ?, pendapatanpekerjapadabeberapa lap. Pekerjaan, ataubiayaproduksiygmenggunakanbeberapaprosesygberbeda.

2. Kita dapatmenggunakancarasepertiyglaluuntukmengujikesamaan rata-rata duapopulasi, tetapihaltsb. akanmemakanwaktudanperhitunganyglebih lama. Sbgcontoh : jikaada 5 pop, makaada5C2cara/perhitunganygharusdilakukan. • Untukitukitainginmelakukanujisecarasimultan/keseluruhanpopulasitsb. denganmenggunakandistribusi F danmetodaygdisebut ANOVA (Analysis of Variance) • Anovasatuarah : perbedaanvarianygdisebabkanoleh, misalkan : - perbedaantempatpetaksawah (kesalahanpercobaan) - Perbedaanygdisebabkanpetaksawahdanjenisvaritas • Anovaduaarah : - perbedaantempatpetaksawah - perbedaanygdisebabkanolehpetaksawahdanjenisvaritas - perbedaanygdisebabkanolehpetaksawahdanjenispupuk UntukselanjutnyaakandibahasAnovasatuarah :

3. Misalkanada k populasi masing2berdistribusi normal danberukuran n, salingbebasdanmempunyai rata2 µ1, µ2 … µkdanvarian2 (ragamsama) : makauntukmenguji H0: µ1= µ2 = … = µk H1 : sekurang2nya adaduanilaitengahtidaksama, dapatdisusunnilaipengamatanuntuk masing2 pop.:

4. Pengujianakandidasarkanpadaperbandingannilaidugaanygbebasbagiragampopulasi2 . Nilaidugaantsb. dapatdiperolehdenganmenguraikankeragaman total menjadi 2 komponen, dimana: Varian total : Pembilangdari S2 ( ) merupakanjumlahkuadrat total (JKT/SST), yang mengukurkeragaman total dalam data keragamantsb. Dapatdiuraikanmenjadi: (Pembuktianlihatdibuku Walpole)

5. Sehingga: utk n ygberbeda atau SS1+SS2+ …..+ SSk .’. JKT = JKK + JKG SST = SSB + SSW Nilaidugaanbagi2, ygdidasarkanpada k-1 derajatbebasadalah : Jika H0benar, S12merupakanpendugatak bias bagi2

6. Nilaidugaanbagi2yg lain, yang didasarkanpada k(n-1) derajatbebas : Nilaidugaantersebutbersifat unbiased, baik H0benaratausalah. Varian seluruh data yang mempunyai nk-1 derajatbebas : ygmerupakan unbiased estimate bagibila H0benar. Jika H0benar, maka MSW dan MSB merupakan unbiased estimator dari2 , danrasio : merupakannilaipeubahacak F ygberdistribusi Fisher dengan (k-1) dan k(n-1) derajatbebasdan F tidakberbedanyatadari 1. Maka, jika F mendekati 1, data tidakmemberikanbuktikuatuntukmenolak H0. Sebaliknyajika arat2 pop berbeda, MSB cenderung overestimate 2 sementara MSW tetap unbiased estimator bg2 . Konsekuensijika Ho salah, F stat cenderungmelebihi 1, shgnilai F ygbesarmemberikanbuktikuatuntukmenolak Ho

7. Karena MSB (S12) overestimate 2 bila H0salah, makakitapunyaujisatuarahdenganwilayahkritiknyaterletakseluruhnyadiujungkanansebaran/ distribusi F. Sehingga H0ditolakpadatarafnyata α, jika : • ƒ > ƒα (k-1), k(n-1) Jikaanalisatersebutdisusndalamsebuahtabel, makadikenaldenganTabel ANOVA, sepertiberikut:

8. Penghitunganbagi SST, SSB , dan SSW: atau → atau

9. Teskesamaan rata-rata populasiuntuk k populasi, didasarkan pd asumsi: • Observasixijadalahindependen • Varian masing-masingpopulasiadalahσ2 • Masing2 populasi, xijberdistribusi normal Anovatesdidasarkan pd caraygberbedadlmmengestimasiσ2. DalammelakukanujidgnAnova, ke-3 asumsitsbharusdipenuhijikatidakmakatdkdptdilakukanpengujian. DalampengujiandenganAnova, untuk n ygsamalebihmenguntungkankr: • Nilairasio f tdkpekaterhadappenyimpangandariasumsihomogenitas • Meminimumkanpeluangmelakukangalatjenis II (terima Ho/Ho salah) • Perhitungan JKK(SSB) lebihsederhana

10. Dalamujihipotesa: Ho → hipotesayginginditolak, tetapijikapengujiantsbmerpknsyarat/asumsiyg hrs dipenuhidalampengujianselanjutnya, maka; Ho → hipotesayginginditerima Untukujihipotesa: perbedaandlmsampelmerupakan: • Kebetulan? • Atauindikasiadanyaperbedaansebenarnyadalampopulasi Dalamartianapakahperbedaandlm rata-rata sampelcukupuntukmembuatkesimpulanbahwa rata2 pop berbeda Dalam ANOVA, jikavariasi masing2 sampel (within) kecil, makaxˉimrpknpendugaygbaikbagi µi, danperbedaan rata2 antarsampeldptmrpknindikasiadanyaperbedaan rata2 populasi. Jikavarian within besar → xˉi ≠ μi, danperbedaan rata2 antarsampeltdklangsungmengindikasikanbahwaμiberbeda

11. Contohsoal • Indekspolusiuntuk lima kotadiambildlmdelapanharisecara random. Ujilahkesamaan rata2 populasidari lima kotatsbdgnα = 5%

12. UJI WILAYAH BERGANDA Dari hsl pengujian kesamaan rata2 populasi dgn ANOVA, jika keputusan adlh menolak Ho. Maka kita pada kesimpulan bahwa tidak semua µ sama (paling sedikit ada dua g tdk sama). Namun kita tdk tahu yg mana yg berbeda. Uji untuk memisahkan sekelompok µ yg berbeda nyata mjd kel. yg homogen → UJI WILAYAH BERGANDA DUNCAN DAN UJI TUKEY • UJI DUNCAN Kita asumsikan : tolak Ho, dan ada k pop dimana contoh yg diambil (n) berukuran sama Wil p rata2 contoh harus melampaui nilai ttt, sebelum dpt mengatakan bhw p nilai tengah pop berbeda →wil nyata terkecil bg p Hipotesis: Ho : µi = µj i ≠ j H1 : µi ≠ µj

13. Rp = rp.SE = rp. √S2/n S2 mrpkn dugaan bg σ2, diperoleh dari MSE (kuadrat tengah galat) Rp tergantung dr α dan derajat bebas dr MSE(MSW) (lihat tabel A.11) Cara penghitungan: • Urutkan dari yg kecil ke besar misalkan; • Cari S2 (MSE) , dlm hal ini = 2.880 dan dof = 20, α = 0, 05 • Cari rp di Tabel A.11 • Rp = rp. √S2/n

14. 5. Bandingkan wil nyata t’kecil itu dgn selisih rata2 contoh yg telah diurutkan: Jikaselisih rata2 contoh > dariRp, makatolak Ho, misalkan; - x¯2 - x¯5 = 7,8 – 6,6 = 1,2 dan < R2 = 2,24 maka x¯2 dan x¯5 tdk berbeda nyata → µ2 dan µ5 tdk berbeda nyata - x¯2 - x¯1 = 7,8 – 5,2 = 2,6 dan > R3 = 2,35, maka x¯2 lebih besar secara nyata dari x¯1 → µ2 > µ1 yg berarti µ2 > µ3 dan µ2 > µ4 kita tidak perlu lg menghitung selisih x¯2 dgn x¯3 dan x¯4 • x¯5 - x¯1 = 6,6 – 5,2 = 1,4 dan < R2 = 2,24 , maka x¯5 dan x¯1 tidak berbeda nyata dst... Sehingga kita menarik garis di bwh rata-rata contoh yg tidakberbeda nyata:

15. Dari hsl tsb dapat diambil kesimpulan rata2 nilai tenga pop yg tidak sama: µ2 > µ1 , µ2 > µ3 , µ2 > µ4 µ5 > µ3 , µ5 > µ4 µ1 > µ4 2. UJI TUKEY Ho : µi = µj i ≠ j H1 : µi ≠ µj Stat uji : Tα = qα (k,f) Sx⁻i k = banyaknya perlakuan f = d.o.f Sx⁻i = simp baku nilaitengah (√S2/n) qα (k,f) → lihat tabel “studendized range statistik” Daerah kritis: Tolak Ho jika > Tα

16. Contoh : Diket: Sx¯ = 0,142 x⁻1 = 2,460 x⁻2 = 2,458 x¯3 = 3,645 Ho : µi = µj i ≠ j H1 : µi ≠ µj qα (k,f) = q0,05 (3,12) = 3,77 T0.05 = (3,77) (0,142) = 0,535 x⁻2 = 2,458 x⁻1 = 2,460 x¯3 = 3,645 = ǀ2,460 – 2,458ǀ = 0,002 0,002 < 0,535 → Hotdk ditolak = 1,185 → 1,1185 > 0,535 → Hoditolak