STATISTICA DEI MERCATI FINANZIARI corso progredito

1. a.a.2009_2010 1 STATISTICA DEI MERCATI FINANZIARI (corso progredito) a.a. 2009/2010

2. a.a.2009_2010 2 1. TIPOLOGIA DI SERIE STORICHE � I PREZZI - I RENDIMENTI

3. a.a.2009_2010 3 LE SERIE STORICHE FINANZIARIE Attivit� finanziarie Azioni (es. FIAT, Mediaset, ...) Titoli di stato (BOT, BTP, �) Tassi di cambio (Euro/Dollaro, Euro/Sterlina, � Indici di Borsa (MIB30, CAC40, �) Tassi di interesse (tasso ufficiale di sconto, tassi interbancari, �) Merci o commodities (oro, petrolio, �) Prodotti finanziari derivati (opzioni, contratti forward, contratti futures)

4. a.a.2009_2010 4 Alleanza mag 1999 - gen 2003

5. a.a.2009_2010 5 Cambio Euro-Dollaro 1999- gen 2003

6. a.a.2009_2010 6 Prezzo del petrolio 1993 � gen 2003

7. a.a.2009_2010 7 Prezzo del petrolio 2/1/1986 � 18/2/ 2009

8. a.a.2009_2010 8 NASDAQ 1994 � gen 2003

9. a.a.2009_2010 9 LE SERIE STORICHE FINANZIARIE Tipi di analisi Singole attivit� Prezzi, spread, rendimenti, volatilit� Portafoglio di attivit� Rendimenti di un portafoglio, rischio associato ad un portafoglio, scelta del portafoglio ottimo.

10. a.a.2009_2010 10 I prezzi Il termine prezzo va inteso in senso generale. Es. tasso di cambio, indice di borsa, quotazione di un titolo. Prezzo di apertura (open): nel MTA e nel Nuovo mercato � il prezzo al quale si concludono i contratti nella fase di apertura dell�asta di apertura. Validazione del prezzo teorico di apertura. Prezzo di chiusura (close): nel MTA e nel Nuovo mercato � il prezzo al quale si conclude l�ultimo contratto prima della chiusura del mercato. Prezzo denaro (bid price): il prezzo massimo di acquisto che un operatore di mercato � disposto a pagare per uno strumento finanziario negoziato. Prezzo lettera (asked price): il prezzo minimo di vendita a cui un operatore di mercato � disposto ad offrire uno strumento finanziario negoziato.

11. a.a.2009_2010 11 I prezzi (2) prezzo ufficiale: prezzo medio dell�intera quantit� di titoli trattata nella giornata borsistica; prezzo di riferimento: prezzo medio dell�ultimo 10% di titoli trattati nella giornata borsistica; prezzo �last�: prezzo dell�ultimo contratto concluso alla scadenza di un intervallo di tempo prestabilito (�fixing�), che attualmente � pari a 30 secondi. Spread Misura dell�attrito esistente fra i diversi partecipanti al mercato ? misura dell�inefficienza del mercato.

12. a.a.2009_2010 12 I RENDIMENTI : ALCUNE DEFINIZIONI  La maggior parte degli studi finanziari riguarda i rendimenti anzich� i prezzi. Ci� principalmente per due motivi: per l�investitore medio, i rendimenti rappresentano un sommario completo e adimensionale dell�opportunit� di investimento in quanto misurano la redditivit� dell�attivit� finanziaria ; le serie dei rendimenti sono pi� facili da trattare da un punto di vista statistico e manifestano propriet� statistiche pi� attraenti. Esistono tuttavia diverse definizioni di rendimento, che � utile richiamare. Sia Pt il prezzo relativo ad una attivit� finanziaria al tempo t. Si supponga, per il momento, che l�attivit� finanziaria non dia dividendi.

13. a.a.2009_2010 13 I RENDIMENTI : ALCUNE DEFINIZIONI Rendimento assoluto uni-periodale Rendimento semplice uni-periodale Rendimento semplice multi-periodale Rendimento composto a tempo continuo (rendimento logaritmico)

14. a.a.2009_2010 14 Rendimento assoluto uni-periodale 

15. a.a.2009_2010 15 Rendimento semplice uni-periodale  � Il rendimento semplice dal tempo t-1 a t: dove Pt � il prezzo del titolo al tempo t. � Il rendimento semplice lordo (o �prezzo relativo�):

16. a.a.2009_2010 16 Rendimento semplice multi-periodale Rendimento semplice lordo a k-periodi: 

17. a.a.2009_2010 17 Rendimento semplice multi-periodale Rendimento semplice netto a k-periodi:

18. a.a.2009_2010 18 Rendimento In pratica l�intervallo di tempo � importante per valutare e confrontare i rendimenti (si parla di rendimenti giornalieri, mensili, annuali, ecc.). Se l�intervallo di tempo non � dato, si assume implicitamente che esso sia un anno. Se si considerano rendimenti (annuali) pluriennali � utile far riferimento al Rendimento medio annualizzato

19. a.a.2009_2010 19 Rendimento medio annualizzato

20. a.a.2009_2010 20 L�alternativa: Rendimento composto a tempo continuo (rendimento logaritmico)  � Il rendimento composto nel continuo rt (o �log-rendimento�) di un�attivit� finanziaria � il logaritmo naturale del suo rendimento lordo (o �prezzo relativo�): Dove log(Pt) =pt Ovviamente � Perch� � chiamato rendimento composto nel continuo?

21. a.a.2009_2010 21 I rendimenti composti nel continuo � Si consideri � il tasso R su base annua � n periodi di capitalizzazione in un anno � Il tasso di rendimento per periodo � R / n . � Il rendimento annualizzato �

22. a.a.2009_2010 22 I rendimenti composti nel continuo � Con una capitalizzazione sempre pi� frequente, il rendimento annualizzato diventa: � Il rendimento lordo composto nel continuo � pertanto eR

23. a.a.2009_2010 23 Vantaggi nel considerare r come misura del rendimento:  1. Il rendimento logaritmico multiperiodale � semplicemente la somma dei rendimenti logaritmici uniperiodali. Infatti

24. a.a.2009_2010 24 Vantaggi nel considerare r come misura del rendimento

25. a.a.2009_2010 25 Lognormalit� � Sia il rendimento semplice lordo monoperiodale distribuito secondo una distribuzione Log-normale. In tal caso i rendimenti composti nel continuo (ovvero i log-rendimenti) sono distribuiti normalmente

26. a.a.2009_2010 26 Lognormalit�

27. a.a.2009_2010 27 Lognormalit�

28. a.a.2009_2010 28 Perch� usare  Il rendimento multiperiodale composto nel continuo � la somma di rendimenti monoperiodali composti nel continuo Ci� facilita la modellizzazione del comportamento delle serie storiche temporali � E` pi� facile modellare il comportamento di sommatorie piuttosto che quello di produttorie

29. a.a.2009_2010 29 Dividendi  Se un titolo paga dei dividendi periodicamente, allora le definizioni di rendimenti sono cos� modificate:

30. a.a.2009_2010 30 Esempio  Si supponga che i prezzi di chiusura giornalieri di un�azione siano 1. Calcolare il rendimento semplice dal giorno 1 al giorno 2. 2. Calcolare il rendimento semplice dal giorno 1 al giorno 5. 3. Verificare che 4. Calcolare il rendimento logaritmico dal giorno 1 al giorno 2. 5. Calcolare il rendimento logaritmico dal giorno 1 al giorno 5. 6. Verificare che r5 (4) = r2+�.+r5

31. a.a.2009_2010 31 Problemi da risolvere Problema 1 Il prezzo mensile P di un titolo negli ultimi 6 mesi � risultato il seguente: Mese 1: P1 = 654 Mese 2: P2= 456 Mese 3: P3 = 679 Mese 4: P4 = 524 Mese 5: P5= 996 Mese 6: P6 = 1000 Calcolare i 5 rendimenti logaritmici mensili, da r1 a r5. 

32. a.a.2009_2010 32 Problemi da risolvere Problema 2 Il prezzo mensile P di un titolo negli ultimi 6 mesi � risultato il seguente: Mese 1: P1 = 654 Mese 2: P2= 456 Mese 3: P3 = 679 Mese 4: P4 = 524 Mese 5: P5= 996 Mese 6: P6 = 1000 Calcolare la media e la varianza dei 5 rendimenti logaritmici mensili ( r1� r5). 

33. a.a.2009_2010 33 Quiz sui rendimenti Sette mesi fa, avete comprato 300 azioni di XYZ, SpA. ad un prezzo di �23.80 per azione. Avete ricevuto dividendi che ammontano a �0.60 per azione. Oggi, avete venduto le vostre azioni ad un prezzo di �22.20 per azione. A quanto ammonta il rendimento percentuale totale di questo investimento? a. -6.7 % b. -4.2 % c. 7.2 % d. 9.9 %

34. a.a.2009_2010 34 Caratteristiche empiriche delle serie storiche finanziarie

35. a.a.2009_2010 35 La forma di distribuzione dei rendimenti (2)

36. a.a.2009_2010 36 La forma di distribuzione dei rendimenti (3)

37. a.a.2009_2010 37 The probability mass under both distribution functions must be 1. A normal distribution has its typical bell-shaped, symmetric form. A positively skewed distribution ceteris paribus has the same mean but is skewed to the right. A negatively skewed distribution is skewed to the left. The probability mass under both distribution functions must be 1. A normal distribution has its typical bell-shaped, symmetric form. A positively skewed distribution ceteris paribus has the same mean but is skewed to the right. A negatively skewed distribution is skewed to the left.

38. a.a.2009_2010 38 Again, the distributions must have the same probability mass of one. Excess kurtosis (in excess of the measure of 3 for the normal distribution) means a higher peak, a steeper fall in probability, and more mass in the tails, but does not rule out symmetry.Again, the distributions must have the same probability mass of one. Excess kurtosis (in excess of the measure of 3 for the normal distribution) means a higher peak, a steeper fall in probability, and more mass in the tails, but does not rule out symmetry.

39. a.a.2009_2010 39 Regolarit� empiriche dei rendimenti delle attivit� finanziarie a) Fat o Heavy Tails. Sono le cosiddette �code spesse�: i rendimenti azionari tendono ad avere una distribuzione statistica �non normale�, ossia sono leptocurtici.La documentazione di tale evidenza empirica � presentata in Mandelbrot(1965). b) Volatility Clustering. A periodi di bassa volatilit� si alternano periodi con volatilit� superiore: � il cosiddetto volatility clustering (volatilit� a grappoli ). c) Leverage Effects. La volatilit� dei rendimenti tende a crescere dopo rendimenti negativi e a diminuire dopo rendimenti positivi.

40. a.a.2009_2010 40 Regolarit� empiriche dei rendimenti delle attivit� finanziarie d) Periodi di non-trading. L�informazione che si accumula quando i mercati finanziari sono chiusi si riflette nei prezzi quando i mercati riaprono. Se, ad esempio, l�informazione si accumula ad un tasso costante nel tempo, la varianza dei rendimenti, tra la chiusura di venerd� e la chiusura di luned�, dovrebbe essere tre volte la varianza tra la chiusura di luned� e quella di marted�. e) Eventi prevedibili. Patell e Wolfson (1979, 1981) mostrano che la volatilit� dei rendimenti azionari di un�impresa � alta in corrispondenza di annunci sui dividendi.

41. a.a.2009_2010 41 Il concetto di volatility clustering

42. a.a.2009_2010 42 Volatilit�  E� una misura delle fluttuazioni dei rendimenti (e quindi dei prezzi). Pertanto essa rappresenta una misura di rischio dell�attivo finanziario. In generale la volatilit� non � osservabile. Una regolarit� empirica osservata nei rendimenti � la volatility clustering, ovvero l�addensamento di rendimenti elevati (o bassi) in valore assoluto in certi periodi.

43. a.a.2009_2010 43 Caratteristiche delle serie finanziarie La varianza di una serie finanziaria � un parametro fondamentale nella determinazione del portafoglio ottimo dell'investitore: nella definizione di quest'ultimo occorre infatti trovare il giusto compromesso tra il rendimento medio atteso e la rischiosit�, misurata dalla varianza. Accettare l'ipotesi di omoschedasticit� significa introdurre nell'analisi della serie un elemento fortemente distorcente nella stima dei parametri dei modelli statistici e dei relativi test. Le analisi empiriche mostrano, infatti, che grandissima parte delle serie finanziarie � caratterizzata da eteroschedasticit�.

44. a.a.2009_2010 44 Eteroschedasticit� Una serie storica � omoschedastica se presenta varianza costante nel tempo.

45. a.a.2009_2010 45 Realizzazione di due serie storiche. La prima mostra homoskedasticity. La seconda mostra heteroskedasticity.

46. a.a.2009_2010 46 La dipendenza temporale dei rendimenti. La funzione di autocorrelazione

47. a.a.2009_2010 47 La funzione di autocorrelazione (2)

48. a.a.2009_2010 48 Esempi di correlogrammi dei rendimenti

49. a.a.2009_2010 49 LE TRASFORMAZIONI DEI RENDIMENTI

50. a.a.2009_2010 50 LA DIPENDENZA NELLE SERIE TRASFORMATE DEI RENDIMENTI

51. a.a.2009_2010 51 Caratteristiche delle serie finanziarie E� stata verificata empiricamente l�influenza di lungo periodo degli shock sulle quotazioni dei titoli. A ci� si aggiunge il comportamento asimmetrico, evidenziato dalle quotazioni, in base al quale shock negativi sembrano incrementare la volatilit� pi� di quanto non facciano shock positivi (leverage effect). I rendimenti hanno caratteristiche contrapposte, per cui a bassa volatilit� corrisponde alta correlazione e viceversa: intuitivamente, piccole escursioni dei titoli, tipiche di fasi di stagnazione del mercato, sono legate da una forte correlazione lineare.

52. a.a.2009_2010 52 Riepilogo - Conclusioni L�analisi delle serie storiche finanziarie ha evidenziato alcuni fatti stilizzati: eccesso di kurtosi asimmetria dei rendimenti variabilit� nel tempo: dei momenti di primo e secondo ordine non normalit� dei rendimenti Questi dati indicano che nelle serie storiche finanziarie sono presenti: legami di dipendenza nel tempo variabilit� delle distribuzioni dei rendimenti I rendimenti non sono quindi variabili i.i.d. (identically and indipendently distributed)

53. a.a.2009_2010 53 IL problema della presenza di valori anomali (outliers) Nelle serie storiche finanziarie possono essere presenti dei valori anomali. Come vedremo in seguito ci� pu� creare problemi nella identificazione dei modelli statistici da utilizzare

54. a.a.2009_2010 54 Presenza di valori anomali (outliers)

55. a.a.2009_2010 55 Presenza di valori anomali (outliers)

56. a.a.2009_2010 56 Presenza di valori anomali (outliers)- Mibtel 03/01/2000 � 29/01/2009

57. a.a.2009_2010 57 Presenza di valori anomali (outliers)- Mibtel 03/01/2000 � 29/01/2009

58. a.a.2009_2010 58 Serie: FT100

59. a.a.2009_2010 59

60. a.a.2009_2010 60 Rendimento logaritmico: r(t)

61. a.a.2009_2010 61 Correlogramma: r(t)

62. a.a.2009_2010 62 Correlogramma r2(t)

63. a.a.2009_2010 63 Correlogramma abs(r(t))

64. a.a.2009_2010 64 Homework 1 Il file MIBTEL.xls contiene I dati di giornalieri del mercato telematico della borsa dal 03/01/2000 al 29/01/2009 per un totale di 2334 valori: i. Costruire il grafico della serie ii. Generare la serie dei rendimenti semplici (R) e logaritmici (r). Costruire il grafico di entrambe le serie iii. Confrontare I dati dei rendimenti e calcolare le statistiche descrittive e la distribuzione di frequenza di entrambi I rendimenti See Bekaert et al. (1998) for more details.See Bekaert et al. (1998) for more details.