Download
1 / 27
270 likes | 638 Views
RACHUNEK ZDAŃ. Zdania, język KRZ. Przedmiotem rachunku zdań są tzw. „zdania kategoryczne”, można powiedzieć, że są to „zdania” w języku naturalnym, którym można (obiektywnie) przypisać wartość prawdy lub fałszu. UWAGA: Zdaniami (w sensie rachunku zdań) nie będą zatem
E N D
Zdania, język KRZ Przedmiotem rachunku zdań są tzw. „zdania kategoryczne”, można powiedzieć, że są to „zdania” w języku naturalnym, którym można (obiektywnie) przypisać wartość prawdy lub fałszu. UWAGA: Zdaniami (w sensie rachunku zdań) nie będą zatem wyrażane w języku naturalnym sądy, przypuszczenia lub przekonania. Przykłady zdań: Dzisiaj jest środa; Tydzień ma siedem dni; Pada deszcz; Każda wielokrotność liczby trzy dzieli się przez cztery To nie są zdania: Która godzina ?Sądzę, że ten wykład jest interesujący Albo Pan wyjdzie albo ja !
Język KRZ - syntaktyka J=(S,,,, F, T) S- zbiór formuł, V – zbiór zmiennych zdaniowych (zdań) VS Syntaktyka S - najmniejszy w sensie inkluzji zbiór spełniający następujące warunki: i) pV pS ii) S S iii) , S , , S UWAGA: {,,} to są tzw. funktory zdaniotwórcze {sądzę, myślę, uważam,..} to też funktory zdaniotwórcze, ale….
Język KRZ - semantyka Semantyka Semantyką KRZ jest dwuwartościowa algebra Boole`a BA={ {0,1},, , , 0, 1} v ( v:V{0,1} hv:S{0,1}) jeśli pV to hv(p)=v(p) hv(F)=0 hv(T)=1 Jeśli p jest zmienną zdaniową (formułą atomową), to v(p) jest interpretacją formuły p (wartością logiczną formuły p w interpretacji v). Ogólnie hv() jest wartością logiczną formuły w interpretacji v.
Język KRZ – semantyka cd. Dla formuł wartość logiczną można wyznaczyć na podstawie poniższych własności: hv()=hv()hv() hv()=hv()hv() hv()=hv() UWAGA: Funktory zdaniotwórcze „wtórne” {, } pq p qpq (pq)(qp)
Negacja Alternatywa Koniunkcja 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 p p 0 1 1 0 Implikacja Równoważność Tablice logiczne funktorów
Ekstensjonalność funktorów Funktory ,, mają tę własność, że wartość logiczna formuł utworzonych za ich pomocą zależy jedynie od wartości logicznej zdań, z których formuły te są zbudowane (wartość logiczna nie zależy od sensu zdań) Przykłady Warszawa jest stolicą Polski lub 2+2=4; Jeśli Ola jest kobietą to Marek jest łysy p(pq) Przykłady Policzmy wartość formuły () jeśli wiemy już, że hv()=1, hv()=0 hv(())=hv()hv()=hv()(hv()hv()) = =1(10)=0(10)=00=1 Własności hv Z tablic funktorów
Tautologia Definicja Formułę nazywamy tautologią (twierdzeniem) wttw vhv()=1 (dla każdego wartościowania wartość logiczna formuły równa jest 1) Definicje Formuła jest spełniona przy interpretacji v wttw hv()=1 (v spełnia ; v jest modelem dla ) X |= ( wynika logicznie ze zbioru formuł X) wttw v ( hv(X){1} hv()=1 )
Implikacja i równoważność semantyczna • Jaka jest różnica pomiędzy wyrażeniami • () a a Wyrażenie jest formułą KRZ, która może być ale nie musi być tautologią Wyrażenie jest stwierdzeniem o formułach , mówiącym, że są one logicznie równoważne, tzn, że formuła jest tautologią Wyrażenie oznacza, że implikuje logicznie , tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautologią. UWAGA: oznacza, że nie może zaistnieć sytuacja hv()=1 i hv()=0
Definicja Niech X, będzie zbiorem formuł, zbiór T(X)={: X|= } nazywamy teorią zbioru formuł X, a formuły należące do zbioru X nazywamy aksjomatami Aksjomaty i teoria
Przykład: Czy prawo de Morgana jest tautologią (pq) (pq) p q p q (p q) pqpq formuła 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 Metoda zero-jedynkowa Metoda zero-jedynkowa polega na rozważeniu wszystkich możliwych przypadków wartości zdań składowych formuły i policzeniu w każdym przypadku wartości formuły. UWAGA: Metoda kosztowna obliczeniowo ze względu na liczbę formuł składowych (w szczególności zdań)
Postacie normalne formuł Atomem (formułą atomową) nazywać będziemy zmienną zdaniową (zdanie) Atom nazywamy również literałem pozytywnym Negację atomu nazywamy literałem negatywnym Literały i nazywamy komplementarnymi Definicja Formuła jest w koniunkcyjnej postaci normalnej – CNF wtw jest ona postaci: =12..n gdzie każde i jest alternatywą literałów Koniunkcją alternatyw (składniami każdej alternatywy muszą być literały) Definicja Formuła jest w alternatywnej postaci normalnej – DNF wtw jest ona postaci: ==12..ngdzie każde i jest koniunkcją literałów Alternatywą koniunkcji (składniami każdej koniunkcji muszą być literały)
Postacie normalne cd. Przykłady CNF (pprq)(pwr)(pq) DNF (pprq) (pwr) (pq) Formuły równoważne • W celu sprowadzenia dowolnej formuły do postaci CNF lub DNF należy: • Wyeliminować spójniki , • ()() • • 2. Wprowadzić znak negacji bezpośrednio przed symbole atomowe: • () • () • () • 3. Wprowadzić znak koniunkcji (CNF) lub alternatywy (DNF) na zewnątrz • nawiasów (na najwyższy poziom formuły złożonej) • prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy • prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
ADT – dla KRZ Twierdzenie Dla dowolnej formuły istnieją formuły ` i ” równoważne , będące (odpowiednio) w postaciach CNF i DNF UWAGA: Powyższe twierdzenie dostarcza procedury rozstrzygania dla KRZ Jeśli formuła jest w postaci CNF, to jest tautologią wttw każda z alternatyw zawiera parę literałów komplementarnych Jeśli formuła jest w postaci DNF, to jest kontrtautologią wttw każda z koniunkcji zawiera parę literałów komplementarnych
Spełnialność, prawdziwość, niespełnialność, nieprawdziwość
Przykłady tautologii (praw) KRZ • Przykłady tautologii • prawa przemienności (, ) • prawa łączności • prawa rozdzielności • iv) (pq) (pq) (pq) (pq) prawa De Morgana • v) dla iloczynu analogicznie • vi) pq (qp) prawo kontrapozycji • vii) pq [(p q) c] reductio ad absurdum (c zdanie sprzeczne) • viii) pp p pp p prawa idempotentności • ix) [(pq)r ][p(qr)] prawo eksportacji • x) (p p) prawo wyłączonego środka
System formalny Definicja Dwójkę <R, X> w której R jest zbiorem formuł wnioskowania, X zbiorem formuł (aksjomatów) nazywamy systemem formalnym. Wnioskowanie: Proces polegający na uznaniu pewnych zdań zwanych wnioskami na podstawie innych zdań zwanych przesłankami. UWAGA: JeślirR jest regułą wnioskowania to r2SS. UWAGA: Zamiast system formalny można powiedzieć też system dowodzenia
Reguła wnioskowania – zapis Znaczenie – jeśli przesłanki są prawdziwe, to konkluzja też jest prawdziwa a1, a2, ... , an b Reguły wnioskowania Reguła jest poprawną regułą wnioskowania, jeśli X={1, 2,..,n} v ( hv(X){1} hv()=1 )
, Modus ponens () () , (b g ) (b g) (g )( g ) Sylogizm warunkowy (p1, .. , pn) (p1/1, .., pn/n) Reguły wnioskowania Jeżeli formuła zbudowana ze zmiennych zdaniowych p1,..., pn jest tautologią, to wstawiając na miejsce zmiennych dowolne zdania otrzymamy zdanie prawdziwe. Reguła podstawiania Jeśli na miejsce zmiennych wstawimy dowolne formuły (schematy), to otrzymana formuła dalej będzie tautologią. UWAGA: KRZ podaje się dwa systemy dowodzenia Hilbertowski i Gentzenowski. Systemy te mają różną liczbę aksjomatów i różne reguły wnioskowania
Przykłady systemów formalnychsystem hilbertowski H System składa się z trzech aksjomatów i jednej reguły dowodzenia (modus ponens) W celu ułatwienia wnioskowania wprowadza się wiele reguł pochodnych (które oczywiście najpierw się udowadnia) jedną z nich jest reguła dedukcji
System hilbertowski H cd. Dla wyrażenia U |- A elementy zbioru U nazywamy założeniami w dowodzie formuły A (dotyczy to wszystkich formuł systemu H) Inne reguły to reguła kontrapozycji, przechodniości, podwójnego zaprzeczenia itd. (ćwiczenia) Dzięki nowym regułom wnioskowania dowody stają się prostsze
Dowody formalne Definicja (dotyczy KRZ) Wnioskowaniem (dowodem) formuły ze zbioru formuł X nazywamy skończony ciąg formuł 1,2,..,n= taki, że formuły 1,2,..,n-1 są aksjomatami lub elementami zbioru X lub są wnioskami wyprowadzonymi z „wcześniejszych” formuł za pomocą dopuszczalnych reguł wnioskowania Definicja (Konsekwencja logiczna) Cn(R, X) – zbiór wszystkich formuł posiadających dowód na gruncie systemu <R, X> X |- Cn({ro,r*}, AksX) |- Cn({ro}, Aks) tautologia (system Hilbertowski) UWAGA: Dowody przeprowadzane zgodnie z przedstawionymi zasadami nazywa się dowodami dedukcyjnymi (a samo wnioskowanie – wnioskowaniem dedukcyjnym)
Twierdzenia Zbiór formuł X jest niesprzeczny, gdy nie istnieje taka formuła , że X |- i X |- Twierdzenie KRZ jest rozstrzygalny tzn. można obliczyć wartość logiczną każdej formuły Twierdzenie (Posta) Niech X S jest dowolnym zbiorem formuł oraz S, wówczas X |= X |- tzn. Cn(ro, AksX) => tw. o pełności <= tw. o poprawności wnioskowania Twierdzenie (Twierdzenia) SystemyGi H są systemami poprawnymi i pełnymi
Metody badania poprawności formuł • Metoda jest • pełna (jeśli dla każdej badanej formuły, która jest tautologią metoda • daje odpowiedź TAK) • implementowalna (jeśli dla każdej badanej formuły, która jest • tautologią, metoda da odpowiedź TAK, a dla • formuły nie będącej tautologią metoda da • odpowiedź NIE lub algorytm się zapętli)
Dowody przeprowadzane według następującej reguły wnioskowania nazywane są dowodami apagogicznymi (d. przez sprowadzenie do niedorzeczności) () Metody dowodzenia Dowody matematyczne opierają się na podstawach logicznych Najbardziej naturalna metoda dowodzenia – metoda wprost (z założeń wyprowadzamy wniosek) Użyteczne (nawet bardzo) okazują się jednak także metody dowodzenia nie wprost. • UWAGA: Za dowody apagogiczne uznawane są m.in. dowody • przeprowadzane wg następujących reguł wnioskowania • reductio ad absurdum • reguła Claviusa ( a a) a
Przykład dowodu apagogicznego Chcemy udowodnić, że formuła [()][()] jest prawem rachunku zdań (hip.) Przypuśćmy, że tak nie jest. Co to znaczy ? To znaczy, że istnieje takie hv, że hv([()][()])=0 0 [()][()] - 1 - 1 - 0 ale przy takich wartościach , , 1 0 [()][()] tymczasem założenie mówi, że 1 () 0 () 1 0 () Sprzeczność 1 0
Dowody nie wprost Inny rodzaj dowodu nie wprost to dowód przez kontrapozycję. Udowodnienie twierdzenia (1 2 … n) jest równoważne udowodnieniu twierdzenia (1 2 … n) UWAGA: Dowody nie wprost są tzw. dowodami niekonstruktywnymi, które stwierdzają istnienie pewnych obiektów ale ich nie wskazują, ani nie podają procedury ich znalezienia.
