8. Massimi, minimi, flessi

1. 8. Massimi, minimi, flessi (I) Ricerca massimi e minimi

2. 8.1 Definizione massimo (minimo) relativo D. Diremo che c è un punto di massimo (minimo)relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno di c, contenuto nel dominio di f(x), per tutti i punti x del quale si abbia f(x) ≤ f(c) (f(x) ≥ f(c)) cioè se f(c) è il massimo (minimo) valore che la funzione assume nell’intorno di c; allora, f(c) è il massimo (minimo) relativo di f(x).

3. 8.1 Massimi (minimi) relativi e assoluti • La funzione f(x) può avere uno o più massimi e minimi relativi. • Punto di massimo o di minimo relativo (c,f(c)), punto estremante. • Massimo (e minimo) assoluto: tra i massimi (minimi) relativi, quello che ha valore di y maggiore.

4. 8.4 Teoremi massimi e minimi relativi Condizione necessaria per esistenza massimo (minimo) relativo • Sia y = f(x) una funzione definita in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I. Se nel punto c, interno a I, la funzione ha un massimo (minimo) relativo, allora risulta f’(c) = 0 cioè, c è un punto stazionario • Nei punti di massimo (minimo) relativi la tangente è parallela all’asse x. • Non è condizione sufficiente: vi sono punti stazionari (f’(c)=0) in cui non vi è né massimo, né minimo, ma un flesso a tangente orizzontale

5. 8.5 Teoremi massimi e minimi relativi Criterio sufficiente per determinazione punti di massimo e minimo • Sia f(x) continua e derivabile in tutti i punti di un intorno di c Se risulta f’(x)>0 a sinistra di c e f’(x)<0 a destra di c, c punto di massimo relativo Se risulta f’(x)<0 a sinistra di c e f’(x)>0 a destra di c, c punto di minimo relativo • La derivata prima cambia segno “attraversando” c.

6. Osservazioni • Se la derivata non cambia segno attraversando c, allora c è un punto di flesso a tangente orizzontale • Una funzione può avere massimi o minimi relativi anche in punti in cui non esiste la derivata (ma f(x) è continua).

7. 8.8 Ricerca max e min relativi • Procedimento per la ricerca di massimi e minimi: • si calcola f’(x) e se ne determina il dominio • si risolve l’equazione f’(x)=0 (punti stazionari) • si risolve f’(x)>0 (segno di f’(x)) (massimi, minimi, flessi tang. orizz.) Prendere in esame anche i punti in cui f(x) è continua, ma non derivabile e i valori di f(x) negli estremi finiti del dominio • Massimi (e minimi) assoluti: (in un intervallo chiuso e limitato, se f(x) continua, per il teorema di Weierstrass esistono sempre) • Scegliere, tra i punti di massimo (minimo) relativo e i valori di f(x) negli estremi finiti, quello in cui f(x) assume valore maggiore (minore) • Esempi 1-8 pagg. 338-341