Téma 3 Metody řešení stěn, metoda sítí.

1. Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010, 2011 Téma 3Metody řešení stěn, metoda sítí. • Metody řešení nosných stěn • Metoda sítí • Diferenční vztahy • Vyjádření Airyho funkce a napětí dif. vztahy • Okrajové podmínky • Sestavení rovnic, výpočet Airyho funkce a napětí Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2. Řešení stěn metodou sítí, metoda sítí (diferenční metoda) Řešení stěnové rovnice touto metodou spočívá v nahrazení parciálních derivací diferencemi a v převedení řešení diferenciální rovnice na řešení lineárních rovnic při splnění okrajových podmínek. Výsledkem řešení lineárních rovnic jsou hodnoty Airyho funkce Fv konečném počtu bodů sítě. Následně lze vypočíst složky napětí případně hlavní napětí, jejich směry atd. Zvolená síť může být pravoúhlá (čtvercová nebo obdélníková), trojúhelníková, nebo i radiální. Při řešení stěn zpravidla využíváme síť pravoúhlou.

3. Řešení desek metodou sítí, vytvoření sítě

4. Řešení stěn metodou sítí, diferenční vztahy

5. Řešení stěn metodou sítí, stěnová rovnice po dosazení diferenčních vztahů

6. Řešení stěn metodou sítí, diferenční schéma (součinitele stěnové rovnice po nahrazení derivací Airyho funkce diferenčními vztahy)

7. Řešení stěn metodou sítí, diferenční schéma(součinitele stěnové rovnice po nahrazení derivací Airyho funkce diferenčními vztahy)

8. Výpočet napětí Známe-li hodnoty Airyho funkce v bodech sítě i,j, pak lze z diferenčních vztahů vypočíst také napětí:

9. Okrajové podmínky V libovolném bodě na okraji stěny musí být splněny dvě okrajové podmínky Integrál označený Qy představuje součet y-ových složek povrchového zatížení v úseku SoS okraje stěny, obdobně je tomu u Qx

10. Okrajové podmínky, L´Hermiteova analogie S využitím odvozeného lze formulovat L´Hermiteovu analogii (dva body): 1. Derivace funkce napětí ve směru vnější normály k hranici stěny je rovna normálové síle na fiktivním rámu, jehož střednice má stejný tvar a přenáší stejné zatížení jako hranice. Kladná normálová síla je tahem.

11. Okrajové podmínky, L´Hermiteova analogie, pokračování 2. Funkce napětí v hraničním bodě stěny je rovna ohybovému momentu v průřezu fiktivního rámu. Kladný ohybový moment způsobuje tah ve vnitřních vláknech rámu. Ohybový moment v bodě se souřadnicemi [x,y] je:

12. Okrajové podmínky, L´Hermiteova analogie, pokračování Podle L´Hermiteovy analogie se statické okrajové podmínky redukují na určení funkce napětí a její derivace ve směru vnější normály k hranici stěny. Výpočet normálových sil a ohybových momentů na fiktivním rámu je úlohou staticky neurčitou. Vytvoříme-li z rámu konstrukci staticky určitou se zavedenými staticky neurčitými silami Mo,No a Qo, pak jejich přírůstek k funkci napětí bude lineární funkcí proměnných x,y: Složky napětí jsou dány druhými parciálními derivacemiFo podlex a y. Ty budou nulové a jejich příspěvek k napjatosti stěny bude nulový. Fiktivní rám můžeme považovat za konstrukci staticky určitou.

13. Aplikace L´Hermiteovy analogie Zatížení stěny odpovídá fiktivnímu rámu na obr. Ve sloupech fiktivního rámu jsou normálové síly. Derivace funkce napětí ve směru vnější normály k hranici stěny je rovna normálové síle na fiktivním rámu. V našem případě platí: Pozor na směr normály k fiktivnímu rámu !

14. Aplikace L´Hermiteovy analogie, pokračování Zatížení stěny odpovídá fiktivnímu rámu na obr. V příčlích fiktivního rámu nejsou normálové síly. Derivace funkce napětí ve směru vnější normály k hranici stěny je rovna normálové síle na fiktivním rámu. V tomto případě platí:

15. Aplikace L´Hermiteovy analogie, pokračování Zatížení stěny odpovídá fiktivnímu rámu na obr. Zatížení vyvolává ohybový moment v příčlí rámu Funkce napětí v hraničním bodě stěny je rovna ohybovému momentu v průřezu fiktivního rámu. V tomto případě platí: V těch hraničních bodech, kde je M=0, je také F=0

16. Postup výpočty stěny metodou sítí 1. Nakreslí se výpočetní model stěny. 2. Určí se dle l´Hermiteovy analogie funkce napětí na obryse stěny, M=F. 3 Určí se normálová síly ve fiktivním rámu stěny, který je derivací funkce napětí F ve směru vnější normály k hranici stěny a hodnotu funkce napětí vně obrysu stěny. 4. Sestaví se matice pro výpočet hodnot napětí v jednotlivých bodech sítě. 5. Řeší se soustavu lineárních rovnic. Jejich počet odpovídá počtu uzlů sítě. Výsledkem jsou hodnoty funkce napětí F v uzlech sítě.

17. Postup výpočty stěny metodou sítí 6. Hodnoty napětí Fv jednotlivých bodech sítě jsou podkladem pro výpočet složek napětí. Pokud se při výpočtu M a N počítalo s jednotkovou tloušťkou stěny a ta je jiná, zahrne se toto do výpočtu napětí. 7. Provede se kontrola vypočtených složek napětí, zejména na okrajích stěny. 8. Vypočtou se hodnoty hlavních napětí. 9. Vypočtou se směry hlavních napětí. 10. Vypočtou se maximální smyková napětí.

18. Program č.1, zadání Nosná obdélníková stěna o délce l=6 m, výšce b=(6-0,15n)m a šířce t=0,4 m je zatížená spojitým zatížením f=2kN/m působícím svisle na horním okraji stěny. Stěna je podepřena posuvným a neposuvným pevným kloubem, které jsou umístěny na koncích spodního okraje stěny. Vypočtěte metodou sítí složky napětí v nosné stěně včetně hlavních napětí a jejich směry. V ose nosné stěny vykreslete průběh hlavních napětí s1 a s2.

19. Schéma rozdělení stěny

20. Použitá literatura [1]Šejnoha, J., Bittnarová, J., Pružnost a pevnost 20, České vysoké učení technické v Praze, Vydavatelství ČVUT, 1998