Sesión 15.1

1. Sesión 15.1 Rectas y planos en R3

2. Tareas: ingresar al Aula Virtual e imprimir. Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12). Información del curso

3. Habilidades • Deduce la ecuación de una recta en R3. • Describe su ecuación en forma vectorial, paramétrica y simétrica. • Determina la ecuación del plano y lo expresa en su forma vectorial y general.

4. z P(x; y; z) r PO(xo; yo; zo) v= a; b; c r0 y O x Rectas en el espacio Existen varias formas para representar las rectas en el espacio: en forma vectorial o un conjunto de tres ecuaciones paramétricas o en forma simétrica. r= {r0 + tv / tR} La recta es paralela al vector direcciónv = a; b; c

5. Ecuaciones de una recta en el espacio Si es una recta que pasa por el punto P(xo; yo; zo)y en la dirección del vector no nulo v = a; b; c,entonces un punto P(x; y; z) está en sí y sólo si Vectorial: r = x; y; z y r0= x0; y0; z0 Paramétricas: Simétrica: a, b y c son diferentes de cero

6. z B=(3; -1; 1) y A=(2; 4; -3) x Determinación de la ecuación de la recta: 1. Si se conoce dos puntos de la recta. • Determine las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa a través de los puntos A(2; 4; -3) y B(3; -1; 1). • ¿En qué punto interseca esta recta al plano xy?

7. z v=i+4j-2k P0=(5; 1; 3) y x Determinación de la ecuación de la recta: 2. Dado un punto de la recta y un vector director. • Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (5; 1; 3) y es paralela al vector i+4j-2k. • Determine otros dos puntos sobre la recta.

8. z P0=(1; -1; 1) y x Determinación de la ecuación de la recta: 3. Dado un punto y una recta paralela x+2 = y/2 = z-3 Determine las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el punto A(1; -1; 1) y es paralela a la recta x+2=y/2=z-3.

9. Ejercicios • Determine en forma vectorial y paramétrica la ecuación de la recta bajo las condiciones dadas en cada caso: • P0(-3; 8; -1), v = -3; 5; 2 • Pasa por el punto B y el punto medio de AC, dondeA = (-1; 2; 4),B = (0; 6; -3) y C = (2; -4; 1)

10. z z n P0(x0; y0; z0) P0(x0; y0; z0) y y P(x; y; z) v x x Planos en el espacio Para describir un plano en el espacio no basta hacerlo mediante la ubicación de un vector paralelo al plano Sin embargo un vector perpendicular o “normal” n al plano especifica por completo su dirección.

11. z n P0(x0; y0; z0) y P(x; y; z) x Planos en el espacio Entonces se cumple que el producto escalar del vector n y el vector P0P debe ser cero. a; b; c

12. Planos en el espacio Las ecuaciones de un plano son: Vectorial: General:

13. Ejercicios • Determine una ecuación del plano que pasa por el punto P(2; 4; -1) con un vector normaln = 2; 3; 4 • Halle la ecuación del plano determinado por los tres puntos A(2; 1; –1), B(–2; 0; 3) y C(1; 4; 0) .

14. Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro Cálculo de Varias Variablesde Stewart. Ejercicios: 22, 24, 28, 30, 32y 38 de la página 802. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.