Tételek, bizonyítások tanítása

1. Tételek, bizonyításoktanítása Készítette: Harmath Zsolt Kovács Péter Norbert

2. Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban • A 80-as években megváltozott a matematikáról alkotott merev felfogás • A matematikai tartalom kihangsúlyozása a formalizmus helyett • A matematikai nyelv jelentésaspektusa fontosabb a szimbolikus aspektusnál • A gondolkodási folyamatok legalább olyan fontosakká váltak, mint az eredmények • A bizonyítások elfogadása egy szociális folyamat

3. Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatban • Kalmár László (1986):„…az egzaktságnak nincs határa, nincs olyan precíz módon megfogalmazott definíció vagy tétel, amibe még precízebb álláspontról bele ne lehetne kötni.” • Halmos Pál (1976):„A matematika legjellemzőbb tulajdonságai: egyszerűség, összefüggések szervezése, és mindenekelőtt logikai gondolkodási eljárás…”

4. Logikai alapkérdések • Kijelentés: egy tény, jelenség, kapcsolat gondolati visszatükröződése, ami igaz, vagy hamis lehet.Pl.: az ABC háromszög derékszögű • Predikátum (kijelentésforma): Olyan nyelvi képződmény, mely változót tartalmaz és a kijelentéshez hasonló formája van. Igazságértéke a változó behelyettesítésétől függően lehet igaz, vagy hamis.Pl.: 6x + 3 = 12

5. Logikai alapkérdések • Műveletek kijelentések (A) és kijelentésformák között (A(x)): • Negáció • Konjunkció („és”) • Diszjunkció („vagy”) • Implikáció • Ekvivalencia • Kijelentések osztályozása: • Egyedi kijelentés (állítás) • Létezési kijelentés (létezik) • Általános kijelentés (minden)

6. Logikai alapkérdések Következmény: Az A kijelentésformából következik a B kijelentésforma, ha minden olyan változóinterpretáció, amely A-t kielégíti, a B-t is kielégíti. Pl.: Pitagorasz tétele. Azaz a háromszög derékszögű voltából következik, hogy a befogók összege megegyezik az átfogó négyzetével.

7. Argumentációk, indoklások, bizonyítások • Egy szélesebb értelemben vett bizonyítási fogalom • Winter (1978) a következőket sorolja az argumentációk közé: • Megállapodásokhoz való alkalmazkodás • Általános állítások konkrét példákon való kipróbálása • Indoklás, következtetés, bizonyítás • Indoklások érvényességének vizsgálata • Álbizonyítások felfedése • Matematikai megfontolások jelentőségének értékelése

8. Pszichológiai kérdések • A bizonyítási tevékenység feltételezi a következtetési képességet és az absztrakt fogalmakkal való műveletek végzését a tanuló részéről • A formális szintig a gyermek gondolkodása fokozatosan „jut el”: • Műveletek előtti szakasz • Konkrét műveletek szakasza • Formális műveletek szakasza (ált. 12-13 éves korban, azaz 6-7. osztályban áll át a gyerek) • PREMATEMATIKAI bizonyítások (szemléletesség miatt)

9. Prematematikai bizonyítások • Semadeni (1976) szerint egy prematematikai bizonyítás konkrét cselekvésekből áll: • Konkrét fizikai cselekvések • Tárgyakkal végzett cselekvések • Képek rajzolása • Ábra alapján történő okoskodás • Interiorizációs folyamat (a cselekvés belső elvégzése) • Általánosítás

10. Prematematikai bizonyítások • Példák: • Az első n természetes szám összegeS = n(n+1)/2 (négyzetrácsos ábra) • Háromszögszámok1,3,6,10,… • Négyzetszámok1,4,9,16,… • Trapézszámok1,5,12,…T(n) = n^2 + n(n-1)/2n-ik négyzetszám fölé helyezzük az (n-1)-ik háromszögszámot

11. Prematematikai bizonyítások • T(n) (a trapézszámok) ugyanazt a maradékot adják 3-mal való osztásnál, mint n • Szemléletes bizonyítás • Formális bizonyítás • A prematematikai bizonyításokat „példához kötött” bizonyításoknak is nevezik. • Konkrét példán keresztül mutatja meg az állítás helyességét

12. Prematematikai bizonyítások • Párhuzamos szelők tétele + bizonyítása • Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezett megfelelő szakaszok arányával. • Bizonyítás (tetszőleges racionális arányra): • Egyenlő szakaszoknak egyenlő szakaszok felelnek meg • Egyik szakaszon az arány 1:2. A nagyobbik szakasz felezőpontján át az eredeti párhuzamos egyenesekkel párhuzamost húzok, így visszavezethető az előző pontban megfogalmazottakra • 3:4-es arány esetében 3:4 részre osztjuk a szakaszt… • p:q arány esetében p:q részre osztjuk a szakaszt…

13. Matematikai bizonyítási koncepciók • „Korrekt lépések sorozat”-ának meghatározása • Stein (1986): • Matematikai-logikai elmélet szintjeAz elmélet minden részletében rögzített, a matematikai világ a legkisebb részletekig meg van adva • Matematikai elmélet szintjeAz elmélet legfontosabbnak tartott részletei egyértelműen rögzítettek, ez a szint felel meg az egyetemi-főiskolai szintnek • Lokálisan rendezett elmélet szintje • Mindennapi okoskodások szintje

14. Matematikai bizonyítási koncepciókLokálisan rendezett elmélet • Egy bizonyítás vagy néhány bizonyítás láncolata áll előtérben • Nyelve egy alapnak tekintett matematikai elmélet nyelvére támaszkodik • Az állítások anyanyelven vannak megfogalmazva • Axiómák • Explicite nem adunk meg • Implicite nézve minden olyan állítás axióma, melyet egy bizonyítás során felhasználunk, mivel tartalmilag nyilvánvalóak • Definíciók • Csak a feltétlenül szükséges fogalmakat definiáljuk • Esetenként nem dönthető el, hogy egy szövegrész axióma-e, vagy tétel

15. Matematikai bizonyítási koncepciókLokálisan rendezett elmélet • Következtetési szabályok • A logikailag korrekt következtetési szabályok mellett esetenként heurisztikus következtetési lépések is előfordulnak • Néhány konkrét példa alapján egy nagyobb együttesre következtetünk (induktív következtetés) • Bizonyítás • Nincs konkrétan rögzítve • Gyakran használ fel nem bizonyított segédtételeket • Csak a lényeges lépéseket tartalmazza pontos formában

16. Példa egy lokálisan rendezett elméletre

17. Matematikai bizonyítási koncepciókMindennapi okoskodások elmélete • Az elmélet részletei nincsenek egyértelműen rögzítve, ezeket a kontextusból kell levonni (pl.: játékok) • Nyelv: anyanyelv + kapcsolatos releváns fogalmak • Axióma: csak hallgatólagos alapszabályok léteznek • Definíciók lényegében nem fordulnak elő, a felhasznált fogalmak jelentését az alkalmazásból tudjuk kikövetkeztetni • Következtetési szabályok: logikai és heurisztikus egyaránt • Bizonyítás: nyelvi argumentációs láncok, melyek megfelelnek a probléma feltételeinek. Nem megengedettek azok, melyek a probléma feltételeit megszegik, illetve hamis feltételeket használnak fel. (pl.: sakk, dominó)

18. Bizonyítások tanítási fázisai • Tételek megsejtése • Bizonyítási ötletek megtalálása, bizonyítási módszerek, stratégiák alkalmazása • Bizonyítás rögzítése, leírása, reflexió

19. Tételek megsejtését szolgáló eljárások • Tételek megfordítása • Analógia • Általánosítás • Indukció • Számítási feladat megoldása, elemzése • Szerkesztési feladat megoldása, elemzése • Egy geometriai konfiguráció elemzése • Algebrai tételek megsejtése és bizonyítása geometriai szemléltetés alapján

20. Tételek megfordítása • „Ha A, akkor B” megfordítása a „ha B, akkor A” • Pl.: „ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma” • Megfordítva: „Ha egy négyszög paralelogramma, akkor átlói felezik egymást”

21. Tételek megfordításaLogikai négyszög TételA → B Tétel megfordításaB → A Tétel megfordításának kontrapozíciója┐A → ┐B Tétel kontrapozíciója ┐B → ┐A

22. Tételek megfordításaTöbbfeltételes tételek megfordítása • Ha egy természetes szám osztója egy összeg mindkét tagjának, akkor a természetes szám osztója az összegnek is(a|b és a|c) → a|(b+c) • A tétel szerkezete: (F1 ^ F2) → K • Három megfordítás: • K → (F1 ^ F2) • (F1 ^ K) → F2 • (K ^ F2) → F1 • Hamis, Igaz, Igaz • Geometriai példa: egy kör átmérőjéhez tartozó minden kerületi szög derékszög

23. Analógia, analógiás következtetések • Olyan gondolkodási művelet, amely alkalmazásakor két vagy több jelenségnek, dolognak bizonyos tulajdonságokban, viszonyokban, struktúrában való megegyezése alapján más tulajdonságban, viszonyban, struktúrában való megegyezésüket is sejtjük • Példa: Téglalap – téglatest • Téglalap minden oldala párhuzamos pontosan egy másik oldallal és merőleges a többi oldalra • Téglatest minden lapja párhuzamos pontosan egy másik lappal és merőleges a többi lapra • Háromszög – tetraéder

24. Analógia, analógiás következtetések • Elvezethet igaz állításhoz, de esetenként hamis állításhoz is • Háromszög – tetraéder súlyvonal (2:1, 3:1) igaz • Háromszög – tetraéder magasságvonalai egyaránt egy pontban metszik egymást. Hamis • ab = ba → a^b = b^a • ab / cb = a/c → (a + b) / (c + b) = a / c • Didaktikai megjegyzés: térben is használható síkgeometriai eljárások alkalmazása • Egyenlő szárú háromszög alapjának tetszőleges pontjából merőlegeseket bocsátunk a szárakra. Ezen szakaszok összege állandó… Gúlára alkalmazni!

25. Általánosítás • Olyan művelet, mely egy szűkebb osztály elemeire vonatkozó összefüggést analógiás következtetés segítségével átvisz egy ezen osztályt tartalmazó tágabb osztály elemeire • Pl.: • Pitagorasz-tétel → Cosinus tétel • Thalész-tétel → Kerületi és középponti szögek tétele • Rolle tétele → Differenciálszámítás középértéktétele • 9-cel való oszthatóság → a alapú számrendszerben (a-1)-gyel való oszthatóság • Nem mindig igaz! Abból, hogy a másod-, harmad- és negyedfokú egyenleteknek van megoldóképlet még nem következik, hogy tetszőleges n-ed fokú egyenlethez is létezik

26. Indukció • Az adott osztály megvizsgált elemei alapján szerzett ismereteket kiterjesztjük a szóban forgó osztály még meg nem vizsgált elemeinek mindegyikére • Pl.: 1 / 1*2 + 1 / 2*3 +…+1 / n*(n-1) = ? • Sejtés: = n-1 / n

27. Tételek és bizonyítási ötletek megsejtése egy számolási példa alapján • Két fázis: • I.: a konkrét számolási feladat elvégzése • II.: általános összefüggés megsejtése a konkrét számok változókkal való felcserélése révén • Példák: • Cosinus tétel • Thalész tétel • Kerületi és középponti szögek tétele • Másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése

28. Tételek megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása egy szerkesztési feladat megoldása, elemzése révén • I. fázis: a tanulók egy szerkesztési feladatot oldanak meg és indokolják a szerkesztés helyességét • II. fázis: egy kiegészítő szerkesztés segítségével megsejtik a tételt és belátják a tétel érvényességét • Példa: • a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást • Súlyvonaltétel • Befogótétel

29. Tétel megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása egy adott geometriai konfiguráció elemzése alapján • I. fázis: a tanulók segítséggel (tanár, könyv…) megrajzolnak (nem szerkesztenek) egy geometriai ábrát • II: fázis: Az ábra elemzése alapján a tanulók felfedezik a kívánt tételt ls annak bizonyítását • Példa: • Húrnégyszögtétel • Húrtétel

30. Algebrai tételek és bizonyítási ötletek megsejtése geometriai szemléltetés segítségével • A geometriai modell izomorf legyen az eredeti szituációval • Példák megfeleltetésekre: • Pozitív valós számok → adott hosszúságú szakaszok • Pozitív egész számok → megfelelő számú rácsnégyzet • Két valós pozitív szám (a és b) szorzata → a ill. b oldalú téglalap területe • Példák: • Kéttagú összeg négyzete • Két pozitív szám számtani és mértani közepe közötti összefüggés

31. Bizonyítási stratégiák • Szintézis • Célirányos okoskodás • Analízis • Fordított irányú okoskodás • Nem teljes analízis

32. Bizonyítási módszerek • Az iskolai gyakorlatban előforduló módszerek: • Direkt bizonyítások • Teljes indukciós bizonyítások • Indirekt bizonyítások • Teljes indukció • A teljes indukció elvének bevezetése (dominó-elv) • A teljes indukció elvének alkalmazása • Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyítások

33. Bizonyítási módszerek • I.: Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyítások csoportosítása: • Direkt kipróbálás • Létezési állítások igazságának megmutatása • Általános állítás hamisságának megmutatása egy ellenpélda segítségével • Általános állítás igazságának, létezési állítás hamisságának igazolása logikai következtetések segítségével

34. Bizonyítási módszerek • II.: Reductio ad absurdum • Ellentmondás az indirekt feltevésnek • Következtetés egy állításra és annak tagadására • Ellentmondás a tétel feltételének • Ellentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, axiómának • III.: Elimináció módszere

35. Bizonyítási módszerek • Tanulói problémák az indirekt bizonyításokkal kapcsolatban • Javaslatok az indirekt bizonyítások tanításával kapcsolatban • Feladattípusok a bizonyítások tanításával kapcsolatban

36. Köszönjük a figyelmet!