Podstawowe narzędzia matematyczne- funkcje podłogi i sufitu

Podstawowe narzędzia matematyczne- funkcje podłogi i sufitu Służą do wyznaczenia liczby operacji dominujących

Podstawowe narzędzia matematyczne- funkcje podłogi i sufitu

Podstawowe narzędzia matematyczne- szacowanie sum za pomocą całek

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna Określając pesymistyczną lub średnią złożoność chcemy podawać tylko najważniejszą część informacji pochodzących z teoretycznych wyliczeń, czyli rząd wielkości. Jest on określany dla danych o dużym rozmiarze, więc mówimy np. o asymptotycznym czasie (złożoności czasowej). Funkcja taka musi więc przyjmować wartości dodatnie przynajmniej dla dostatecznie dużych argumentów. Jest to tzw. funkcja asymptotycznie dodatnia. Argumenty = liczby naturalne lub zero

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna – notacja „o-małe” Funkcja f(n) jest pomijalna względem g, gdy n dąży do nieskończoności.

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna – notacja „o-małe”

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna – notacja „o-małe” Gdy zwiększymy zakres argumentów „pomijalność” funkcji logarytmicznej względem pierwiastkowej dla dużych argumentów jest jeszcze bardziej widoczna.

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna – notacja „O-duże”

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna – notacja „O-duże” Definicja 15 ma szersze zastosowanie niż twierdzenie 16 (choć tw. jest wygodniejsze). Przykład: Istotnie, połóżmy Wówczas dla dowolnego zachodzi nierówność: Twierdzenia 16 nie można jednak zastosować, bo nie istnieje granica

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna – notacja „O-duże”

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna – notacja „O-duże” Uwaga! Własności 3 i 5 dotyczących dodawania i mnożenia rzędów wielkości nie można przenieść na operacje odejmowania i dzielenia. Przykład:

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna - inne

Podstawowe narzędzia matematyczne- notacja asymptotyczna - przykład Przykład: Rozważmy ponownie zbiór danych ZDWn jako n-wyrazowych ciągów uporządkowanych liczb naturalnych. Rozważmy dalej typowy algorytm w rodzaju „dziel i zwyciężaj” sprawdzenia, czy liczba naturalna x jest elementem ciągu zdwZDWn. Przypomnijmy: Tmax(n)=2*(log2n) =2*(log2n)-1 Tśr(n)=1/2+log2n • Łatwo zauważyć, licząc odpowiednie granice, że (n) jest rzędu log2n/√3, jest więc mniejsza niż Tśr(n)=1/2+log2n , ale obie są rzędu logarytmicznego. Rachunek na tablicy

Poprawność algorytmów Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania – skutki wystąpienia wyróżnionych części programu, jak definicje typów, deklaracje stałych i zmiennych, zmian wartościowania zmiennych będących instrukcjami programu. Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo

Poprawność algorytmów Algorytm jako napis może być poprawny składniowo, ale niepoprawny semantycznie, co jest równoznaczne z niemożnością poprawnego deklarowania i wartościowania zmiennych. Powody: • w wyrażeniu występuje argument nie należący do typu związanego z tym wyrażeniem (np. w wyniku działania funkcji otrzymujemy liczbę rzeczywistą, a funkcja miała zwracać wartości całkowite); • wystąpienie w algorytmie pętli o wyrażeniu logicznym stale wartościowanym jako prawdziwe (pętla będzie wykonywana bez końca); • końcowe wartościowanie zmiennych nie odpowiada oczekiwaniom (program poprawnie kończy obliczenia, ale wyniki nie rozwiązują postawionego zadania).

Semantyczna poprawność algorytmów Niech A –oznacza algorytm-program,  -warunek (warunki), jakie powinny spełniać dane wejściowe (początkowe wartościowania zmiennych) algorytmu A,  -warunek, jaki powinny spełniać końcowe wartościowania zmiennych (własności danych wyjściowych i ich związek z danymi wejściowymi)

Semantyczna poprawność algorytmów Semantyczna poprawność nazywana jest też inaczej pełną poprawnością. Dowodzenie jest trudne. Niekiedy zadowalamy się sprawdzeniem elementów tej definicji.

Semantyczna poprawność algorytmów Definicje elementów:

Semantyczna poprawność algorytmów Indukcja Definicja 1 Dowodzenie Metoda niezmienników Częściowa poprawność Własność stopu

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji W dowodzeniu indukcyjnym semantycznej poprawności algorytmu przeprowadza się zwykle indukcję względem liczby powtórzeń instrukcji iteracyjnej lub poziomu zagnieżdżenia realizacji procedury rekurencyjnej. Przykład. Rozważmy algorytm przeszukiwania drzewa binarnego DB zadanego przez wskaźnik na korzeń DB określonego przez zmienną typu el_drzewa zdefiniowanego następująco: struct element { intwartosc; element *pien; element *konar_lewy; element *konar_prawy; } typedef element, *el_drzewa;

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji struct element { intwartosc; element *pien; element *konar_lewy; element *konar_prawy; } typedef element, *el_drzewa; intpreorder (el_drzewakorzen, int x) { //{ : korzen !=NULL} int pom=0; if((*korzen).wartosc==x) return 1; if ((*korzen).konar_lewy!=NULL) //2 pom=preorder((*korzen).konar_lewy,x); if(pom) return 1; //3 else if ((*korzen).konar_prawy!=NULL) //4 pom=preorder((*korzen).konar_prawy,x); if(pom) return 1; //5 elsereturn 0; //{ : funkcja zwraca 1, gdy "x jest elementem drzewa"}, // zwraca 0, gdy "x nie jest elementem drzewa".} } Rozważmy następujący algorytm przeszukiwania drzewa binarnego:

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Dowód przeprowadzimy indukcyjnie względem parametru określającego wysokość drzewa. Oznaczmy wysokość drzewa przez wd. Dla dowodu poprawności semantycznej algorytmu preordersformułujmy własność: Własność. Dla dowolnego drzewa binarnego o wysokości wd będącej liczbą naturalną wd>0, algorytm preorder dla danych spełniających  w skończonej liczbie kroków dochodzi do wartościowania końcowego i to wartościowanie spełnia .

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Dowód: Przeprowadzimy go metodą indukcji matematycznej. Krok 1 – sprawdzenie poprawności algorytmu dla początkowej wartości. Należy pokazać, że preorder(korzen) poprawnie określa wynik końcowy dla dowolnego drzewa binarnego o określonym adresie korzenia i wysokości wd=1. Istotnie, jeśli (*korzen).wartosc==x, to nastąpi koniec wartościowania funkcji i wartością funkcji będzie 1, co będzie oznaczać zajście . Jeśli (*korzen).wartosc!=x, to wobec  i założenia, że wd=1 mamy (*korzen).konar_lewy==NULLoraz (*korzen).konar_prawy==NULL. Zatem wobec początkowego wartościowania zmiennej pom=0, nie wykona się żadna z pięciu instrukcji warunkowych i funkcja zwróci 0, co będzie oznaczało zajście . Ponieważ jedynym miejscem – elementem w drzewie, gdzie może znajdować się pole wartościujące równe x jest pole korzenia, zatem dla wd=1 program jest semantycznie poprawny.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Zał. ind. Krok2 – założenie i teza indukcyjna z dowodem. Załóżmy, że algorytm preorder jest poprawnie określony dla drzew binarnych o wysokości wd<=n. Udowodnimy, że jest wtedy poprawnie określony dla drzew binarnych o wysokości wd=n+1. Teza. ind.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji • Istotnie. • Rozważmy drzewo binarne o wysokości wd=n+1. • Jeśli(*korzen).wartosc==x, to nastąpi koniec wartościowania funkcji i wartością będzie 1, co oznacza zajście . • Jeśli (*korzen).wartosc!=x, to nastąpi ewentualne wykonanie kolejnych instrukcji programu (2,3,4,5). • Wobec założenia indukcyjnego, ponieważ lewe i prawe poddrzewo drzewa o wysokości n+1, będą drzewami o wysokościach mniejszych lub równych n, więc instrukcje 2,3,4 zostaną wykonane poprawnie i spowodują wartościowanie funkcji spełniające . • Instrukcja 5 dokona wartościowania funkcji jako 0, jeśli x nie będzie elementem lewego i prawego poddrzewa, czyli nie będzie elementem drzewa. • Zatem wartością funkcji będzie 1, gdy x jest elementem drzewa, 0 – gdy nie jest elementem drzewa, co oznacza zajście .

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej ma miejsce teza własności dla drzew binarnych o dowolnej wysokości wd, co jest równoważne całkowitej poprawności semantycznej algorytmu preorder wobec definicji 1.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Przykład. Algorytm obliczający wartość wyrażenia 2n+1 intFibonaci(intn) { //: n>=0 if((n==0)||(n==1)) return n+2; return 3*Fibonaci(n-1)-2*Fibonaci(n-2); } //: wartością funkcji jest 2n+1. Przykład algorytmu rekuren-cyjnego (poprzedni też taki był)

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Dowód przeprowadzimy indukcyjnie względem parametru n określającego wykładnik potęgi 2. Dla dowodu poprawności semantycznej algorytmu Fibonacisformułujmy własność: Własność. Dla dowolnego wykładnika potęgi o podstawie 2 będącego liczbą naturalną n>=0, algorytm Fibonaci dla danych spełniających  w skończonej liczbie kroków dochodzi do wartościowania końcowego i to wartościowanie spełnia .

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Dowód: Przeprowadzimy go metodą indukcji matematycznej. Krok 1 – sprawdzenie poprawności algorytmu dla początkowej wartości. Należy pokazać, że Fibonaci(n) poprawnie określa wynik końcowy dla potęgi o podstawie 2 i wykładniku n=0 lub n=1. Istotnie, jeśli n=0, to zachodzi warunek if((n==0)||(n==1)) i nastąpi koniec wartościowania funkcji i wartością funkcji będzie n+2, czyli 2, co będzie oznaczać zajście . Jeśli natomiast n=1, to również zachodzi warunek if((n==0)||(n==1)) i nastąpi koniec wartościowania funkcji i wartością funkcji będzie również n+2, czyli 3, co także będzie oznaczać zajście . Zatem dla n=0 lub n=1 program jest semantycznie poprawny.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Zał. ind. Krok2 – założenie i teza indukcyjna z dowodem. Załóżmy, że algorytm Fibonaci jest poprawnie określony dla potęgi o podstawie 2 i wykładniku k<=n, n=1,2,3…. Udowodnimy, że jest wtedy poprawnie określony dla potęgi o wykładniku n+1. Teza. ind.

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji • Istotnie. • Rozważmy potęgę o podstawie 2 i wykładniku n+1. • Ponieważ n+1>1, to Fibonaci(n+1) zwróci wartościowanie funkcji spełniające 3*Fibonaci((n+1)-1)-2*Fibonaci((n+1)-2). • Policzmy: • 3*Fibonaci((n+1)-1)-2*Fibonaci((n+1)-2)=3*Fibonaci(n)-2*Fibonaci(n-1). • Wobec założenia indukcyjnego, ponieważ Fibonaci(n) i Fibonaci(n-1) będą funkcjami obliczającymi wartość potęgi dla wykładników mniejszych lub równych n, więc zostaną wykonane poprawnie i spowodują wartościowanie funkcji spełniające . • Zatem Fibonaci(n) zwróci 2n+1, a Fibonaci(n-1) zwróci 2n-1+1. • Możemy więc napisać: • 3*Fibonaci((n+1)-1)-2*Fibonaci((n+1)-2)=3*Fibonaci(n)-2*Fibonaci(n-1) = • =3*(2n+1)-2*(2n-1+1) =3*2n+3-2n-2=2*2n+1=2n+1+1, • co oznacza zajście .

Semantyczna poprawność algorytmów – dowodzenie za pomocą indukcji Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej ma miejsce teza własności dla algorytmu Fibonaci dla dowolnego wykładnika potęgi n, co jest równoważne całkowitej poprawności semantycznej algorytmu Fibonaciwobec definicji 1.

Podstawowe narzędzia matematyczne- funkcje podłogi i sufitu