1 / 43

A kockázat kezelése döntési feladatokban

A kockázat kezelése döntési feladatokban. Kockázatos döntések. Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével az ötös valószínűsége = 1:43 949 268 = 0.00000275% a négyes valószínűsége = 1:103 410 = 0.000967%

fauna
Download Presentation

A kockázat kezelése döntési feladatokban

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. A kockázat kezelése döntési feladatokban

  2. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével • az ötös valószínűsége = 1:43 949 268 = 0.00000275% • a négyes valószínűsége = 1:103 410 = 0.000967% • a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081% • a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273% • egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%

  3. Kockázatos döntések Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra különböző terményfajták vetése mellett dönthet. Jelölje a lehetséges 3 terményt a1, a2 és a3. A döntésnél két lényeges szempontot vesz figyelembe: • X1 nettó hozam, • X2 az aratásig eltelt idő

  4. Kockázatos döntések Az X1, X2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb véletlen események befolyásolják. A lehetséges állapotokat jelölje: • s1: gyenge • s2: megfelelő • s3: jó

  5. Kockázatos döntések A lehetséges állapotok valószínűségei: • s1: 0.25 • s2: 0.5 • s3: 0.25

  6. Kockázatos döntések Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes állapotokhoz tartozó kételemű vektorok: (hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma)

  7. Kockázatos döntések a1 → hozam: 0.25 valószínűséggel –400 0.5 valószínűséggel 80 0.25 valószínűséggel 200 hetek: 0.25 valószínűséggel 16 0.5 valószínűséggel 14 0.25 valószínűséggel 12

  8. Kockázatos döntések Kevert cselekvési lehetőségek: Nem kizárólagosan választunk a1, a2 és a3 közül, hanem mindegyikből valamennyit: ( λ1 ·a1 ,λ2 ·a2,λ3 ·a3 ) (λ1, λ2, λ3≥ 0; λ1+ λ2+ λ3= 1)

  9. Hasznossági függvények Szentpétervári paradoxon: egy szabályospénzérmét ( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addig dobálunk, amíg fejnem lesz. Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $, ha az eredmény írás, akkor újra dobunk. Ha a második dobás eredménye fej, akkora nyeremény 2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény (fej esetén)minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor akifizetés 2k−1$.

  10. Hasznossági függvények A játékos nyereménye: 1/2 valószínűséggel 1 $, 1/4 valószínűséggel 2 $, 1/8 valószínűséggel 4 $, és így tovább. Kérdés: Milyen áronlehet ezt a játékot árulni, azaz mekkora összeget fizessen a játékos a belépésért?

  11. Hasznossági függvények Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem játszana olyan játékot, amelynek az ára nem véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).

  12. Hasznossági függvények Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikai várható értékből következő eredményeket? • a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó nyeremény óriási (299$). • a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira csábító-e egy 2103 ≈ 1.01 · 1031$-os nyeremény, mint a 2100 ≈ 1.27 · 1030$-os egy olyanjátékosnak, aki nem is látott még néhány száz vagy ezer $-nál többet?

  13. A bizonyossági egyenértékes Bináris lottó: P valószínűséggel nyerünk W összeget, (1–P) valószínűséggel L összeget. [ P : W ,(1–P): L ] Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóak vagyunk eladni? Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztos S összeget kapjuk meg, vagy beszállunk a játékba: S ~ [ P : W ,(1–P) : L ]

  14. A bizonyossági egyenértékes Példa: Áll az alku A bank időnként felajánlja a játékosnak, hogy adott összegért megvásárolja tőle a táskáját (azaz magát a játékot).

  15. A bizonyossági egyenértékes A gazda meg tudja mondani azokat a βi valószínűségeket, amely mellett: ci~ [ (1–βi) : c1,βi : c9 ]

  16. A várható hasznosság maximalizálása U(a1) = 0.25 U(c1) + 0.5 U(c4) + 0.25 U(c4) = 0.625 U(a2) = 0.350 ; U(a3) = 0.525 ;

  17. A hasznossági függvény előállítása A döntéshozóval történő dialógus: E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50% eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja? D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség. E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye. D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb. E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig nyer 1000 $-t. D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra. 200 ~ [ 0.7 : 0 , 0.3 : 1000 ] → β200 = 0.3

  18. A hasznossági függvény előállítása Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról: 800 ~ [ 0.2 : 0 , 0.8 : 1000 ] → β800 = 0.8 300 ~ [ 0.6 : 0 , 0.4 : 1000 ] → β300 = 0.4 600 ~ [ 0.3 : 0 , 0.7 : 1000 ] → β600 = 0.7

  19. Kockázati magatartások Semleges kockázati magatartás: készpénz egyenértékes = várható érték Pl. 500 ~ [ 0.5 : 1000 $,0.5 : 0 $ ] Kockázatkerülő típus: készpénz egyenértékes < várható érték Pl. 300 ~ [ 0.5 : 1000 $,0.5 : 0 $ ] Kockázatkedvelő típus: készpénz egyenértékes > várható érték Pl. 600 ~ [ 0.5 : 1000 $,0.5 : 0 $ ]

  20. Kockázati magatartások VPvárhatópénzérték CEbizonyosságiegyenértékes

  21. Kockázati magatartások Példa kockázatkedvelő magatartásra Ötöslottó: 225 ~[ 0.9765 : 0 , 0.0273 : 1055, 0.00081 : 13660, … ] Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték: 47.4 Ft (Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)

  22. Kockázati magatartások Példa kockázatkerülő magatartásra Biztosítás: –10000 ~ [ 0.999 : 0 , 0.001 : –5000000 ]

  23. Kockázati magatartások Példa kockázatsemleges magatartásra Áll az alku Ha már csak két kis értékű táska maradt, pl. 100000 Ft és 200000 Ft, akkor a bank 150000 Ft-ot ajánl.

  24. A Neumann-Morgenstern hasznosság-elmélet

  25. Xp a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza xp Xp xp lottó: adottak az ri valószínűségek és a hozzájuk tartozó xi értékek (nyeremény vagy veszteség) (i=1...n)

  26. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer • axióma: a reláció gyenge rendezés a kockázatos lehetőségek Xp halmazán.

  27. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 2. axióma: Ha xp xq, akkor xp [α:xp ; (1–α):xq ] xq minden α (0,1) esetén.

  28. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 3. axióma (folytonosság): Ha xp xq xr, akkorlétezik olyanα,β (0,1), hogy [α:xp, (1–α):xr ] xq[β:xp, (1–β):xr ]

  29. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 4. axióma (sorrendtől való függetlenség): [α:xp, (1–α):xq ]~[ (1–α):xq, α:xp] minden α (0,1) esetén.

  30. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 5. axióma: Ha xs= [α:xp, (1 –α):xq ] , akkor [β:xs, (1–β):xq ]= [αβ:xp, (1 –αβ):xq ]

  31. 5.1. Tétel: Az Xp-n értelmezett • xpxq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq) (5.1) és • U(:xp , (1–):xq) = U(xp)+ (1–)U(xq),  (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkor és csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely xp, xq és xr Xp kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogjateljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha • U'(xp) =  U(xp) + , (5.3) ahol , R és  > 0.

  32. Az 5.1. Tétel egy könnyebben alkalmazható változatát is kimondjuk és azt bizonyítjuk be. A kulcs: A NM axiómák helyettesítése egy másik feltételrendszerrel

  33. F1 feltétel: bizonyossági egyenértékes (certainty equivalent). Bármely biztos lehetőséghez (azaz olyan lottóhoz, amelyben egyetlen kimenetel – jelöljük ezt a-val –valószínűsége 1, a többié 0), található egy olyan lottó, amelyet a legjobb és a legrosszabb kimenetelből keverünk ki. Legyen a legrosszabb kimenetel amin, a legjobb kimenetel pedig amax egy adott tényezőre vonatkozóan. Ekkor tehát van olyan , amelyre a [(1–):amin,:amax ] ac Ilyenkor az a értékét az [(1–):amin,:amax ] lottó bizonyossági egyenértékesének nevezzük.

  34. F2 feltétel: helyettesítés. Ha két olyan kockázatos lehetőségünk van, amelyek csak abban különböznek egymástól, hogy egy adott kimenetelt (ai) kicserélünk az ehhez a kimenetelhez, mint bizonyossági egyenértékeshez tartozó kockázatos lehetőséggel (aic), akkor az eredeti lehetőség és a helyettesítés révén kapott újabb lehetőség között választva indifferensek vagyunk. [1:a1, …, i:ai,…, n:an]  [1:a1, …, i:aic,…, n:an] Általánosítva ezt a gondolatot, az összes kimenetel kicserélhető a saját bizonyossági egyenértékesével: [1:a1,…, i:ai,…,n:an][1:a1c, …, i:aic,…, n:anc]

  35. F3 feltétel: redukálhatóság. Egy tetszőleges kockázatos lehetőség kicserélhető egy vele indifferens összetett kockázatos lehetőséggel és megfordítva (természetesen ez utóbbi esetben van szó redukcióról). Egy összetett lottó tehát – a valószínűségszámítás szabályainak figyelembevételével – mindig kicserélhető egy egyszerű lottóra. Ez a három tulajdonság felhasználható arra, hogy bármely kockázatos lehetőséget egy vele indifferens (azaz vele egyenértékű) kockázatos lehetőségre vezessünk vissza oly módon, hogy ebben a kockázatos lehetőségben kizárólag az adott tényező legjobb és legrosszabb kimenetele szerepeljen, a megfelelően származtatott 0,1 valószínűség segítségével. xp  [(1–) :amin ,  :amax]

  36. Az F1, F2 és F3 feltételből következik, hogy bármely kockázatos lehetőség visszavezethető egy vele indifferens (azaz vele egyenértékű) kockázatos lehetőségre oly módon, hogy ebben a kockázatos lehetőségben kizárólag az adott tényező legjobb és legrosszabb kimenetele szerepel, a megfelelően származtatott 0,1valószínűség segítségével. xp  [(1–) :amin ,  :amax] Ezt a továbbiakban F123 feltételnek fogjuk nevezni.

  37. F4 feltétel: összehasonlíthatóság. Legyen adott két kockázatos lehetőség xp és yp, továbbá xp  [(1–1):amin , 1:amax ] yp [(1– 2):amin , 2 :amax]. Ekkor az xpypakkor és csak akkor teljesül, ha 1 2.

  38. Állítás: Az F1, F2, F3 és F4 feltételekből levezethetők a Neumann-Morgenstern axiómák.

  39. 5.1.’ Tétel: Ha F1, F2, F3, F4 teljesül, akkor létezik az Xp-n értelmezett • xpxq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq) (5.1) és • U(:xp , (1-):xq) = U(xp)+ (1-)U(xq),  (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogjateljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha • U'(xp) =  U(xp) + , (5.3) ahol , R és  > 0.

  40. Az 5.1.’ Tétel bizonyítása: A bizonyítás konstruktív. Mivel minden lehetséges ai kimenetelhez tartozik egybizonyossági egyenértékes (az F1 feltételnek megfelelően)az Xp halmazban, ezért mindig találunk egy olyan i értéket, amelyre ai ((1-i):amin , i:amax ) = aic Az u: X  R függvényt definiáljuk oly módon, hogy u(ai) = i

  41. Ugyanígy, bármely xp Xp-re definiáljuk az U: Xp Rfüggvényt oly módon, hogy • U(xp) = , ahol az  értékét az xp ((1- ): amin;: amax ) alapján határozzuk meg. Ugyanezen a módon kaphatjuk meg az U: AR várható hasznossági függvényt, csak ennek az értelmezési tartománya most nem a kockázatos kimenetelekre, hanem az A halmaz elemeire korlátozódik.

  42. Azt kell megmutatni, hogy ez az U függvény teljesíti az(5.1) és (5.2) összefüggéseket. F4 => (5.1). Az (5.2) igazolásához tekintsük az alábbiakat: • U(:xp , (1-):xq) = = U((1-2 - ( 1 - 2):amin,2 + (1-2):amax) = = 2 + (1 - 2) = 1 + (1- ) 2 = = U(xp)+ (1-)U(xq). Ennek mintájára az is megmutatható, hogy • U(xp) = iU(ai) = iu(ai). (Bernoulli-elv)

  43. Bernoulli-elv: a várható hasznosság maximalizálása (a várható érték maximalizálása helyett) A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári paradoxont (például a logaritmikus hasznossági függvénnyel.)

More Related