A kockázat kezelése döntési feladatokban

1. A kockázat kezelése döntési feladatokban

2. Kockázatos döntések Feltesszük, hogy az egyes kimenetelek valószínűsége ismert. Pl. ötöslottó: 1 szelvény kitöltésével • az ötös valószínűsége = 1:43 949 268 = 0.00000275% • a négyes valószínűsége = 1:103 410 = 0.000967% • a hármas valószínűsége = 1:1 231 = 0.081% • a kettes valószínűsége = 1:44 = 2.273% • egy vagy nulla találat valószínűsége = 97.65%

3. Kockázatos döntések Példa: egy gazdálkodó, aki a következő szezonra különböző terményfajták vetése mellett dönthet. Jelölje a lehetséges 3 terményt a1, a2 és a3. A döntésnél két lényeges szempontot vesz figyelembe: • X1 nettó hozam, • X2 az aratásig eltelt idő

4. Kockázatos döntések Az X1, X2 értékeit az időjárás, a piac és egyéb véletlen események befolyásolják. A lehetséges állapotokat jelölje: • s1: gyenge • s2: megfelelő • s3: jó

5. Kockázatos döntések A lehetséges állapotok valószínűségei: • s1: 0.25 • s2: 0.5 • s3: 0.25

6. Kockázatos döntések Az elmúlt évek alapján megbecsülhetők az egyes állapotokhoz tartozó kételemű vektorok: (hozam $/hektár ; vetés-aratás közötti hetek száma)

7. Kockázatos döntések a1 → hozam: 0.25 valószínűséggel –400 0.5 valószínűséggel 80 0.25 valószínűséggel 200 hetek: 0.25 valószínűséggel 16 0.5 valószínűséggel 14 0.25 valószínűséggel 12

8. Kockázatos döntések Kevert cselekvési lehetőségek: Nem kizárólagosan választunk a1, a2 és a3 közül, hanem mindegyikből valamennyit: ( λ1 ·a1 ,λ2 ·a2,λ3 ·a3 ) (λ1, λ2, λ3≥ 0; λ1+ λ2+ λ3= 1)

9. Hasznossági függvények Szentpétervári paradoxon: egy szabályospénzérmét ( ½ valószínűséggel fej, ½ valószínűséggel írás) addig dobálunk, amíg fejnem lesz. Ha már az első dobásra fejet kapunk, a nyeremény 1 $, ha az eredmény írás, akkor újra dobunk. Ha a második dobás eredménye fej, akkora nyeremény 2 $, írás esetén újabb dobás következik. A nyeremény (fej esetén)minden dobásnál duplázódik, tehát ha k-adik dobásra lett legelőször fej az eredmény, akkor akifizetés 2k−1$.

10. Hasznossági függvények A játékos nyereménye: 1/2 valószínűséggel 1 $, 1/4 valószínűséggel 2 $, 1/8 valószínűséggel 4 $, és így tovább. Kérdés: Milyen áronlehet ezt a játékot árulni, azaz mekkora összeget fizessen a játékos a belépésért?

11. Hasznossági függvények Könnyen ellenőrizhető, hogy a kifizetés várható értéke, azaz a játék ára végtelen, ami ebben a megfogalmazásban meglepő, hiszen senki sem játszana olyan játékot, amelynek az ára nem véges (pl. 4, 10 vagy 100 $).

12. Hasznossági függvények Miért nem tükrözik a játékosok preferenciái a matematikai várható értékből következő eredményeket? • a nagyon kis valószínűségű eseményt (pl. 100-adik dobásra lesz először fej) az emberi gondolkodás már elhanyagolhatónak tekinti, akkor is, ha a hozzá tartozó nyeremény óriási (299$). • a mindennapi realitástól elrugaszkodott, csillagászati összeg kezelése. Valóban 8-szor olyan annyira csábító-e egy 2103 ≈ 1.01 · 1031$-os nyeremény, mint a 2100 ≈ 1.27 · 1030$-os egy olyanjátékosnak, aki nem is látott még néhány száz vagy ezer $-nál többet?

13. A bizonyossági egyenértékes Bináris lottó: P valószínűséggel nyerünk W összeget, (1–P) valószínűséggel L összeget. [ P : W ,(1–P): L ] Mi az az S összeg, amiért ezt a játékot hajlandóak vagyunk eladni? Más szóval: számunkra közömbös, hogy a biztos S összeget kapjuk meg, vagy beszállunk a játékba: S ~ [ P : W ,(1–P) : L ]

14. A bizonyossági egyenértékes Példa: Áll az alku A bank időnként felajánlja a játékosnak, hogy adott összegért megvásárolja tőle a táskáját (azaz magát a játékot).

15. A bizonyossági egyenértékes A gazda meg tudja mondani azokat a βi valószínűségeket, amely mellett: ci~ [ (1–βi) : c1,βi : c9 ]

16. A várható hasznosság maximalizálása U(a1) = 0.25 U(c1) + 0.5 U(c4) + 0.25 U(c4) = 0.625 U(a2) = 0.350 ; U(a3) = 0.525 ;

17. A hasznossági függvény előállítása A döntéshozóval történő dialógus: E: Ha 200 $ biztos nyereségre tehet szert, vagy egy olyan játékban vehet részt, amelyben 50% eséllyel nem nyer semmit és 50% eséllyel 1000 $ a nyereménye, akkor melyik lehetőséget választja? D: Ekkor számomra a játék a vonzóbb lehetőség. E: Csökkentsük most a játék vonzerejét azzal, hogy a 200 $ biztos nyeremény mellett egy olyan játékban vehet részt, ahol 90% eséllyel nem nyer, 10% eséllyel 1000 $ a nyereménye. D: Ebben az esetben számomra a biztos 200 $ a kedvezőbb. E: Legyen egy újabb változatban a 200 $ biztos nyeremény melletti játékban 70% annak az esélye, hogy nem nyer, 30% eséllyel pedig nyer 1000 $-t. D: Most bármelyik opció megfelel: szívesen játszom, de a 200 $ biztos nyeremény is ugyanazt az értéket képviseli számomra. 200 ~ [ 0.7 : 0 , 0.3 : 1000 ] → β200 = 0.3

18. A hasznossági függvény előállítása Kérdezzük meg a döntéshozót az alábbiakról: 800 ~ [ 0.2 : 0 , 0.8 : 1000 ] → β800 = 0.8 300 ~ [ 0.6 : 0 , 0.4 : 1000 ] → β300 = 0.4 600 ~ [ 0.3 : 0 , 0.7 : 1000 ] → β600 = 0.7

19. Kockázati magatartások Semleges kockázati magatartás: készpénz egyenértékes = várható érték Pl. 500 ~ [ 0.5 : 1000 $,0.5 : 0 $ ] Kockázatkerülő típus: készpénz egyenértékes < várható érték Pl. 300 ~ [ 0.5 : 1000 $,0.5 : 0 $ ] Kockázatkedvelő típus: készpénz egyenértékes > várható érték Pl. 600 ~ [ 0.5 : 1000 $,0.5 : 0 $ ]

20. Kockázati magatartások VPvárhatópénzérték CEbizonyosságiegyenértékes

21. Kockázati magatartások Példa kockázatkedvelő magatartásra Ötöslottó: 225 ~[ 0.9765 : 0 , 0.0273 : 1055, 0.00081 : 13660, … ] Pl. a múlt hétre kiszámolt várható pénzérték: 47.4 Ft (Nem volt ötös, így halmozódik a főnyeremény.)

22. Kockázati magatartások Példa kockázatkerülő magatartásra Biztosítás: –10000 ~ [ 0.999 : 0 , 0.001 : –5000000 ]

23. Kockázati magatartások Példa kockázatsemleges magatartásra Áll az alku Ha már csak két kis értékű táska maradt, pl. 100000 Ft és 200000 Ft, akkor a bank 150000 Ft-ot ajánl.

24. A Neumann-Morgenstern hasznosság-elmélet

25. Xp a kockázatos lehetőségek (lottók) halmaza xp Xp xp lottó: adottak az ri valószínűségek és a hozzájuk tartozó xi értékek (nyeremény vagy veszteség) (i=1...n)

26. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer • axióma: a reláció gyenge rendezés a kockázatos lehetőségek Xp halmazán.

27. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 2. axióma: Ha xp xq, akkor xp [α:xp ; (1–α):xq ] xq minden α (0,1) esetén.

28. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 3. axióma (folytonosság): Ha xp xq xr, akkorlétezik olyanα,β (0,1), hogy [α:xp, (1–α):xr ] xq[β:xp, (1–β):xr ]

29. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 4. axióma (sorrendtől való függetlenség): [α:xp, (1–α):xq ]~[ (1–α):xq, α:xp] minden α (0,1) esetén.

30. A Neumann-Morgenstern axiómarendszer 5. axióma: Ha xs= [α:xp, (1 –α):xq ] , akkor [β:xs, (1–β):xq ]= [αβ:xp, (1 –αβ):xq ]

31. 5.1. Tétel: Az Xp-n értelmezett • xpxq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq) (5.1) és • U(:xp , (1–):xq) = U(xp)+ (1–)U(xq),  (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény akkor és csak akkor létezik, ha a NM 1-5. axiómák bármely xp, xq és xr Xp kockázatos lehetőség együttesre teljesülnek. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogjateljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha • U'(xp) =  U(xp) + , (5.3) ahol , R és  > 0.

32. Az 5.1. Tétel egy könnyebben alkalmazható változatát is kimondjuk és azt bizonyítjuk be. A kulcs: A NM axiómák helyettesítése egy másik feltételrendszerrel

33. F1 feltétel: bizonyossági egyenértékes (certainty equivalent). Bármely biztos lehetőséghez (azaz olyan lottóhoz, amelyben egyetlen kimenetel – jelöljük ezt a-val –valószínűsége 1, a többié 0), található egy olyan lottó, amelyet a legjobb és a legrosszabb kimenetelből keverünk ki. Legyen a legrosszabb kimenetel amin, a legjobb kimenetel pedig amax egy adott tényezőre vonatkozóan. Ekkor tehát van olyan , amelyre a [(1–):amin,:amax ] ac Ilyenkor az a értékét az [(1–):amin,:amax ] lottó bizonyossági egyenértékesének nevezzük.

34. F2 feltétel: helyettesítés. Ha két olyan kockázatos lehetőségünk van, amelyek csak abban különböznek egymástól, hogy egy adott kimenetelt (ai) kicserélünk az ehhez a kimenetelhez, mint bizonyossági egyenértékeshez tartozó kockázatos lehetőséggel (aic), akkor az eredeti lehetőség és a helyettesítés révén kapott újabb lehetőség között választva indifferensek vagyunk. [1:a1, …, i:ai,…, n:an]  [1:a1, …, i:aic,…, n:an] Általánosítva ezt a gondolatot, az összes kimenetel kicserélhető a saját bizonyossági egyenértékesével: [1:a1,…, i:ai,…,n:an][1:a1c, …, i:aic,…, n:anc]

35. F3 feltétel: redukálhatóság. Egy tetszőleges kockázatos lehetőség kicserélhető egy vele indifferens összetett kockázatos lehetőséggel és megfordítva (természetesen ez utóbbi esetben van szó redukcióról). Egy összetett lottó tehát – a valószínűségszámítás szabályainak figyelembevételével – mindig kicserélhető egy egyszerű lottóra. Ez a három tulajdonság felhasználható arra, hogy bármely kockázatos lehetőséget egy vele indifferens (azaz vele egyenértékű) kockázatos lehetőségre vezessünk vissza oly módon, hogy ebben a kockázatos lehetőségben kizárólag az adott tényező legjobb és legrosszabb kimenetele szerepeljen, a megfelelően származtatott 0,1 valószínűség segítségével. xp  [(1–) :amin ,  :amax]

36. Az F1, F2 és F3 feltételből következik, hogy bármely kockázatos lehetőség visszavezethető egy vele indifferens (azaz vele egyenértékű) kockázatos lehetőségre oly módon, hogy ebben a kockázatos lehetőségben kizárólag az adott tényező legjobb és legrosszabb kimenetele szerepel, a megfelelően származtatott 0,1valószínűség segítségével. xp  [(1–) :amin ,  :amax] Ezt a továbbiakban F123 feltételnek fogjuk nevezni.

37. F4 feltétel: összehasonlíthatóság. Legyen adott két kockázatos lehetőség xp és yp, továbbá xp  [(1–1):amin , 1:amax ] yp [(1– 2):amin , 2 :amax]. Ekkor az xpypakkor és csak akkor teljesül, ha 1 2.

38. Állítás: Az F1, F2, F3 és F4 feltételekből levezethetők a Neumann-Morgenstern axiómák.

39. 5.1.’ Tétel: Ha F1, F2, F3, F4 teljesül, akkor létezik az Xp-n értelmezett • xpxq akkor és csak akkor, ha U(xp)  U(xq) (5.1) és • U(:xp , (1-):xq) = U(xp)+ (1-)U(xq),  (0,1) (5.2) tulajdonságokkal rendelkező valós értékű U függvény. Továbbá az U pozitív lineáris transzformáció erejéig egyértelműen meghatározott, azaz egy U' valós függvény akkor és csak akkor fogjateljesíteni az (5.1) és (5.2) feltételeket, ha • U'(xp) =  U(xp) + , (5.3) ahol , R és  > 0.

40. Az 5.1.’ Tétel bizonyítása: A bizonyítás konstruktív. Mivel minden lehetséges ai kimenetelhez tartozik egybizonyossági egyenértékes (az F1 feltételnek megfelelően)az Xp halmazban, ezért mindig találunk egy olyan i értéket, amelyre ai ((1-i):amin , i:amax ) = aic Az u: X  R függvényt definiáljuk oly módon, hogy u(ai) = i

41. Ugyanígy, bármely xp Xp-re definiáljuk az U: Xp Rfüggvényt oly módon, hogy • U(xp) = , ahol az  értékét az xp ((1- ): amin;: amax ) alapján határozzuk meg. Ugyanezen a módon kaphatjuk meg az U: AR várható hasznossági függvényt, csak ennek az értelmezési tartománya most nem a kockázatos kimenetelekre, hanem az A halmaz elemeire korlátozódik.

42. Azt kell megmutatni, hogy ez az U függvény teljesíti az(5.1) és (5.2) összefüggéseket. F4 => (5.1). Az (5.2) igazolásához tekintsük az alábbiakat: • U(:xp , (1-):xq) = = U((1-2 - ( 1 - 2):amin,2 + (1-2):amax) = = 2 + (1 - 2) = 1 + (1- ) 2 = = U(xp)+ (1-)U(xq). Ennek mintájára az is megmutatható, hogy • U(xp) = iU(ai) = iu(ai). (Bernoulli-elv)

43. Bernoulli-elv: a várható hasznosság maximalizálása (a várható érték maximalizálása helyett) A Bernoulli-elv feloldja a szentpétervári paradoxont (például a logaritmikus hasznossági függvénnyel.)