290 likes | 440 Views
Kvanttimekaniikka : Luento 11. Martikainen Jani -Petri. Viimeksi. Kaksitilamalli. Tänään. Periodinen hila Energiavyöt , vyönleveys , energia-aukko Mitä tästä eteenpäin ? Mitä tärkeitä asioita jäi pois …. Periodinen hila. Kiinteässä aineessa atomit usein järjestyvät jaksolliseen
E N D
Kvanttimekaniikka: Luento 11 MartikainenJani-Petri
Viimeksi • Kaksitilamalli Tänään • Periodinen hila • Energiavyöt, vyönleveys, energia-aukko • Mitätästäeteenpäin? Mitätärkeitäasioitajäipois…
Periodinen hila • Kiinteässäaineessaatomituseinjärjestyvätjaksolliseen rakenteeseen. • Mikätämärakenne (voi olla monta) on riippuuatomienvälisistävuorovaikutuksista • Ytimetelektronejapainavampia… eivätliikuniinherkästi • Elektronitvoivatsiisnähdäpotentiaalin, jonkaperiodisuusheijasteleeatomienjärjestymistä
Blochinteoreemajatilat • OletetaanHamiltoninoperaattoriperiodisessapotentiaalissa • Ominaistilat? • Siirto-operaattorille • Jasenominaistilatovatmuotoa (helppolasku) • Missä • Ominaisarvotovattaas
Blochinteoreemajatilat • So what? • D ja H kommutoivat: • Janäinollenmyösenergiaoperaattorin H ominaistilatovatmuotoa • Onkomuutenainaperiodinen? • Vastaus: Ei ole.
Blochinteoreemajatilat • FunktioitakutsutaanBlochinaaltofunktioiksi • jasitä, että ne ovatmuotoa • kutsutaanBlochinteoreemaksi. • Suurettakutsutaanmuutenkvasi-liikemääräksi • Se on sukuatasoaallonvastaavallesuureelle, mutta u(x) muuttaatulkintaajonkinverran • Minkäyhtälön u(x) toteuttaa? (sijoitusSchrödingerinyhtälöön …taululla)
Blochinteoreemajatilat • Koskayhtälössäesiintyy k olisiitseasiassaparempimerkitä k-riippuvuusmyösfunktioihin u…ts. • Saammeuudenratkaisunkullakink:narvolla. • Ratkaisujavoi olla montasamaantapaankuinSchödingerinyhtälöllä…sehän on raja k0.
Blochinteoreema • Esim. Kronig-Penney laskareissa(jakirjassa) • Paloittainvakiopotentiaali…samanlaistakuinaikaisemmin • Muttamitenreunaehdotmuuttuvat? • Lisäksijasenderivaattajatkuvia x=a:ssa
Kahdenhilapisteen hila • Yksinkertainenminimimalli, jollavoimmehahmottaajoitainperusideoita • AikaisemmatBlochintilatovat se “oikea” tapa, jokatoimiiaina. Perustilajaensimmäinenviritystila?
Kahdenhilapisteen hila • Oletetaannytjokuperiodinenpotentiaali, jossamontutovatsopivansyviä…esim. • Tässähilapisteidenvälinenetäisyys on d • Approksimoidaanmonttujaharmonisillaoskillaattoreilla siisoskillaattoreille
Kahdenhilapisteen hila • Kummassakinmontussaalintila on lähelläharmonisenoskillaattoringaussistaperustilaa…hyvinlokalisoitunutmonttuun! • Jos mitäänmuutaeiolisi, perustilaolisi se missäenergia per hilapisteolisi • Valitaanavaruutemmekannaksiaaltofunktiot, jotkaovatmonttujenominaistiloja. Yleinenaaltofunktiosuperpositiovasemmastajaoikeastaaaltofunktiosta • Kantafunkiotsiisesim. harmonisenoskillaattorinperustilojaerihilapisteissä
Kahdenhilapisteen hila • Tällätilallaenergia Miksitässä on tiettyjärki? Tuoviimeinenintegraalivoi olla sotkuinen
Kahdenhilapisteen hila • Näyttäneetutultaviimeluennolta • Jos naapurien “overlap” häviäätäysin Omega=0 jameillä on kaksitoisistaanriippumatontaharmonistaoskillaattoria. • Ominaisarvotjatilat:
Kahdenhilapisteen hila • Meillä on siiskaksitoisiaanlähelläolevaatilaa • Näissätiloissanaapuriaaltofunkioissa on vaihe-eroja
Kahdenhilapisteen hila • Tämäjoukkotilojajoidenhilapisteissäolevat “orbitaalit” näyttävätmahdollisiavaihetekijöitälukuunottamattasamaltamuodostavatenergiavyön. • Samanvyöntilojenvälilläenergiaerojajoidenskaalakertoovyönleveydestä (bandwidth) • Tässäesimerkissä bandwidth oli
Kahdenhilapisteen hila • Tunnemmenytkaksialinta…Entäpäseuraavatominaistilat? • Laitetaanmolempiinmonttuihinkantafunktioksiharmonisenoskillaattorinensimmäinenviritystila. • Viritystilanenergiakummassakinmontussa • Kun kytkentämonttujenvälillänolla, meillä on siis • Energiaeroalimpiintiloihin. Tämäkertooongelmammeenergia-aukosta (bandgap) • Tarkkabandgaptokikorjaantuutoiseenarvoon, kun laskuatarkennetaan.
Kahdenhilapisteen hila • Samallatavallavoimmeesittäätilansuperpositionavasemmastaoikeastaviritystilasta • Toisaaltakytkentänaapureidenkeskenmuuttuu, koskakanta muuttui Kummallaalhaisempienergia?
Kahdenhilapisteen hila • Tämänpohjaltatajuaajollaintasollakäsitteet: • Energyband=energiavyö • Bandgap=energia=aukko • Bandwidth=energiavyönleveys • Ehkäymmärtääjotainmikämuuttuu, kun Blochinyhtälönratkaisuissasiirtytäänyhdeltävyöltätoiselle • Vaatimusu:nperiodisuudestasamallaperiodillakuinpotentiaali: muutenkahtaerilaistaorbitaaliaolisivoinutsotkea • Tämänlaskun idea on samakuin ns. Tight binding malleissa • Niissäoletetaanhyvinlokalisoituneetorbitaalitjaesim. lähinaapuritunnelointihilapisteidenvälille.
Kaistarakenne: tight binding esimerkki Optinen hila a’laHampurinryhmä
Kaistarakenne: so what? • Vaikuttaamateriaalinominaisuuksiin • Johde, eriste, puolijohde
Kaistarakenne:so what • Dispersioidenrakennevaikuttaa Fermi-pinnanmuotoon • Samoineksitaatioidenrakenne Fermi-pinnanlähelläriippuukaistarakenteesta…ja se vaikuttaaominaisuuksiin • Vaikeaaymmärtääaineenominaisuuksiailmanymmärrystäkaistarakenteesta • Vaikuttaamyösesim. suprajohtavuudenmahdollisuuteen • For fun… http://www.youtube.com/watch?v=VyOtIsnG71U
Kaistarakenneerimateriaaleilla • PitäälaskeaBlochintilat…yleensänumeerinentehtävä Yök!
Grafeeni • Yksikerrosgrafiittia: eli2D rakenne • Puolijohdevaimetalli? http://demonstrations.wolfram.com/GrapheneBrillouinZoneAndElectronicEnergyDispersion/
Grafeenivalmistus • Yksi tapa (lahjoitettuTukholman Nobel museoon)
Grafeeni • Terästävahvempaa • Johtaasähköäkupariaparemmin • Joustavampaakuinkumi • Kvasihiukkaset: massattomiaDiracinfermioneja
Quo vadiskvanttimekaanikko? • Dimensioitaenemmänkuin 1 • Kulmaliikemääräja spin • Vedynominaistilat • Vuorovaikutuksethiukkastenvälille • Kvanttistatistiikka, kun hiukkasiaenemmänkuinyksi: bosonitjafermionit • Toinenkvantisointielikenttienkvanttiteoria
Kysymyksiä? • Tänäänkeskusteltiinkvanttimekaniikastaperiodisessapotentiaalissa • Viimeinenluento: kertausta, kysymyksiä…