1 / 21

Kvantum dekompozíciós módszerek és kapuépítő eljárások

Kvantum dekompozíciós módszerek és kapuépítő eljárások. Minden 2x2-es unitér mátrix felírható a következő alakban, ahol α , β , δ , θ valós számok:. Sőt, minden speciális (azaz ha egy a determinánsa) 2x2-es unitér mátrix felírható így:.

forrester-brodie
Download Presentation

Kvantum dekompozíciós módszerek és kapuépítő eljárások

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kvantum dekompozíciós módszerek és kapuépítő eljárások

  2. Minden 2x2-es unitér mátrix felírható a következő alakban, ahol α,β,δ,θ valós számok: Sőt, minden speciális (azaz ha egy a determinánsa) 2x2-es unitér mátrix felírható így: Ph(α) Rot(θ ) Ph(β)

  3. Fontos alapösszefüggések: Rot, Ph, Scal additívσx * σx = I (σx a Pauli X)σx * Rot(θ ) * σx = Rot(- θ )σx * Ph(θ ) * σx = Ph(- θ ) Tétel 4.3 Bármely speciális W 2x2-es unitér mátrix felbontható a következő módon: W=A* σx *B* σx *C, ahol A*B*C=I és A,B,C is 2x2-es

  4. Tétel 5.1 Egy speciális 2x2-es unitér mátrixú (W) egy bit vezérelt kapu a következő képpen bontható fel: És A,B,C is speciális. Tétel 5.2 Tetszőleges δ –ra az egy bit vezérelt S=Scal(δ) kapu a következőképp bontható fel:

  5. Tétel * Minden unitér mátrix felírható a következő módon: U=S*W, aholS=Scal(δ) és W egy 2x2-es unitér mátrix. Következmény 1. Minden 2x2-es unitér mátrixú egy bit vezérelte kapu felbontható a következő elemekre:3 db 1 bites kapu + 2db CNOT (Tétel 5.1)1 db 1 bites kapu (Tétel 5.2) + Tétel * Összesen tehát 4 db 1 bites kapu + 2 db CNOT

  6. Tétel 5.4 Ha a speciális W a következő alakú: akkor Ez a W nem olyan légbőlkapott, ilyen alakú például az y és a z tengely körüli forgatás:

  7. Tétel 5.5 Ha V a következő alakú: akkor Ilyen alakúak például a Pauli mátrixok

  8. Tétel 6.1 Tetszőleges U 2x2-es unitér mátrixú két bit vezérelte kapura igaz, hogy: Ahol V unitér és V2=U Következmény 2. Minden U 2x2-es unitér mátrixú két bit vezérelte kapura igaz lesz, hogy helyettesíthető 8 db 1 bites alapkapuval és 8 db CNOT-tal(U-t átírjuk 6.1 alapján, majd a V-ket és V+-t 5.1 alapján tovább bontjuk, ami 3*(4 alap+2 CNOT)+2 CNOT. De mivel V-ben és V+-ban is szerepel A és A+ ill. C és C+, amelyeket I-vé lehet összevonni, ezért még le kell vonni 4 alapkaput és így kapjuk a fenti eredményt.)

  9. Az előző tétel általánosítása:Tétel 7.1 Ha n>=3, akkor az n bittel vezérelt 2x2-es U mátrixú kapu szimulálható egy hálózattal, ami2n-1-1 db V2n-1-1 db V+2n-1-2 db CNOTkapuból áll, ahol V2(n-2)=U CNOT dekompozíciók Ez akkor jó, ha a fázis nem számít. A=Rot(π/4)

  10. Tétel 7.5 Minden unitér 2x2-es U mátrixú kapuból épített alábbi hálózat dekomponálható a következő módon, ahol V2=U

  11. Egy hálózat epszilonnyira közelít egy másik hálózatot ha ugyanazokra a bemenetekre a két kimenet valószínűség eloszlása közelítőleg egyforma, tehát bármely eseményre a valószínűségek csak 2 epszilonnal különbözhetnek maximum. Tétel 7.8 Minden 2x2-es U unitér mátrixú n-1 bittel vezérelt kapu epszilonnyira közelíthető O(n*log(1/epszilon)) alapművelettel. Tétel 7.9 Minden speciális W mátrixú n-1 bit vezérelt kapu helyettesíthető: Ahol A, B, C is speciális

  12. Tétel 7.11 Minden U unitér mátrixú n-1 bit vezérelte kapu, ahol az n-1-ik fixen 0, helyettesíthető: Ezekkel a kvantumkapu-építő módszerekkel és a dekompozíciós formulákkal tetszőleges n bites unitér operátort szimuláló hálózat felépíthető O(n34n) 2 bites kapuból (Reck fél dekompozíciót használva)

  13. Dekompozíciós módszerek: Kvantum algoritmusok leírhatók unitér transzformációk sorozataként Kapu gyűjteménye univerzális = minden n qbites kapu megépíthető belőlük 1995. Barenco -> CNOT + 1 qbites kapuk univerzálisak Dekompozíciós módszerek: QR Cosinus-Sinus Legközelebbi szomszéd Ma ismert leghatékonyabb módszer hatékonysága komplexitása O(23/48*4n)

  14. Az 1 qbites kapukat és a CNOT kaput tartalmazó kapukészlet univerzalitásának bizonyítása konstruktív, de nagyon nagy komplexitású O(n34n) 1995-ben már megmutatták, hogy le lehet menni O(n4n)-ig 2004-ben sikerült elérni az O(4n)-es komplexitást, de ez még mindig messze van a ma ismert (4n-3n-1)/4 –es elvi határtól. Mivel az n-bites kvantumkapuk unitér mátrixokkal reprezentálhatóak, ezért célszerű ismert mátrixdekompozíciós elvekkel próbálkozni. Minden speciális 2x2 –es U unitér transzformáció felírható egy forgatásként az U által meghatározott a körül egy θ szöggel. Azonos tengely körüli forgatások additívak.

  15. Elemi forgatás, ha a párhuzamos valamely koordinátatengellyel. Ezek után U felírható úgy: A fehér csomópont 0-as a fekete 1-es vezérlést jelent. Egy ilyen uniform vezérelt kapu (UCG) rövid leírása:

  16. Általános estben a forgatás és az UCG dekompozíció rekurzív lépései:

  17. Ezeket a lépéseket alkalmazva konkrét lépéseket is levezethetünk.Például k=3 Δ4 az RZ forgatások összevonása, Δ4 diagonális, jelen esetben 4x4.

  18. Legközelebbi szomszéd dekompozíció: Az ábra ötlete alapján elvégezhetjük a dekompozíciót, mely elemi lépéseit az alábbi ábra mutatja. Ezeket a lépéseket rekurzívan alkalmazva juthatunk konkrét eredményhez:

  19. Ez a módszer a következő komplexitással bír a CNOT kapuk számát illetően, ahol k a vezérlőbitek száma, s a vezérelt kapu bemenetének távolsága a lánc végétől:

More Related