Clase N° 8 - TP N° 7 - Solicitacion axil

1. Clase N° 8 – TPN° 7Solicitación Axil Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio Gd Gi Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a Veamos algunos Conceptos Preliminares

3. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Veamos algunos Conceptos Preliminares

4. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de las parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Una sección está sometida a Esfuerzo Axil cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicha sección es normal a ella y pasa por el centro de gravedad. (esto es: M = Q = 0)

5. Las fuerzas interiores se encuentran distribuidas sobre la sección de acuerdo con ciertas leyes o hipótesis. La intensidad de estas fuerzas en cada punto de la sección estará medida por la fuerza específica en el mismo punto, o sea, por la fuerza unitaria o tensión. Si las fuerzas están dirigidas hacia las secciones la solicitación es por compresión simple (a) y si ambas se alejan es por tracción (b). Para una sección cualquiera s-s (c), la resultante de las fuerzas de un lado de la sección es siempre P y por coincidir su recta de acción con el eje de la pieza resultará normal a aquella y pasará por su baricentro, En consecuencia, para todas las secciones resulta N = P. Si se admite que el esfuerzo P está uniformemente distribuido en la sección F, la tensión se obtendrá por la ecuación: • : tensión normal del material; • P: fuerza; • F: área de la sección dónde: Tensiones y Solicitaciones simples

6. Como la tensión es constante en todos los puntos de una misma sección, las deformaciones serán iguales, por lo cual las secciones se desplazan normales al eje, manteniéndose paralelas entre sí. Debido a la acción de la fuerza P (de tracción), se verifica que: • Que la barra se deformará según el eje de la misma, aumentandosu longitud en una cantidad λ, denominándose alargamiento unitario (e )a la relación: • Que la barra se contrae transversalmente, disminuyendosu diámetro en una cantidad , denominándose contracción unitaria(ec)a la relación: • En el caso en que la fuerza P fuese de compresión se verificarían las deformaciones inversas. Ecuaciones de las Deformaciones

7. Para ciertos materiales (hierro, acero, maderas, aluminio, cobre) el alargamiento unitario es proporcional a las tensiones. Esta relación se conoce con el nombre de Ley de Hooke y está expresada por la relación: • e: deformación específica; • : tensión normal del material; • E: módulo de elasticidad longitudinal dónde: El valor de E (módulo de elasticidad) de cada uno de estos materiales permanece constante, siempre que los valores de la tensión  no sobre pase cierto límite llamado límite de proporcionalidad. Combinando las expresiones anteriores se tiene: • l: deformación longitudinal; • P: fuerza normal; • l: longitud de la pieza; • E: módulo de elasticidad longitudinal • F: área de la sección dónde: Ley de Hooke

8. Tomemos un prisma de sección Fy longitud l0, sujeto en sus extremos. Al elevar o descender la temperatura, el sólido se dilata o se contrae, pero, debido a que sus extremos no pueden desplazarse se desarrollarán esfuerzos de compresión o tracción equivalentes a la fuerza capaz de producir los mismos alargamientos o acortamientos. El alargamiento o acortamiento debido a una temperatura t, será: B A l0 • l: deformación longitudinal; • l0: longitud inicial; • t: temperatura; • a: coeficiente de dilatación específico del material dónde: Si las tensiones no exceden el límite de proporcionalidad, podrá aplicarse la Ley de Hooke, entonces: …y la fuerza que es capaz de desarrollar la barra debido a una diferencia de temperatura, estará expresada por: Influencia de la Temperatura

9. Problema 1 La barra representada en la figura es de sección constante y está sujeta rígidamente entre dos muros. Si se aplica una carga Pa la distancia L1del extremo izquierdo, determinar las reacciones de los muros sobre la barra. Resolución: Dibujamos primero el diagrama de cuerpo libre de la barra, mostrando la fuerza aplicada P juntamente con las reacciones de los muros que representaremos porRAyRB, como se muestra en la figura. Hay una sola ecuación de equilibrio estático para el sistema, que es: Veamos algunos ejemplos Como el sistema contiene dos incógnitas (RA y RB) el problema es estáticamente indeterminado, por lo que hay que suplementar la ecuación con otra basada en las deformaciones de la barra.

10. Problema 1 El acortamiento de la parte comprimida de la barra debe ser igual al alargamiento de la parte traccionada, lo que proporciona la base para obtener la ecuación referente a las deformaciones. La fuerza axial que actúa en la parte comprimida de la barra es RA y la que actúa en la parte traccionada es RB. Así, podemos escribir: …y el sistema queda: Veamos algunos ejemplos

11. Problema 2 La barra rígida AB de peso despreciable estás articulada en O y fija a las varillas de acero y aluminio. Hay una separación  = 4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulación en D. Calcular el esfuerzo de la varilla de acero cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articula en el apoyo D. Datos: EAC = 200 GPa; EAL = 70 GPa Resolución: Realizamos el diagrama de Cuerpo Libre, y dado que el sistema se halla en equilibrio podemos plantear que: Veamos algunos ejemplos

12. Problema 2 Realizamos ahora el esquema de la deformación cuando se articula la varilla de aluminio a la articulación D, donde se verifica (en los triángulos semejantes) que: siendo  el descenso del punto B debido a la deformación de la varilla de acero. Por lo tanto, será: Veamos algunos ejemplos

13. Problema 2 Siendo: Y reemplazando en la ecuación de  y operando será: Calculamos ahora el esfuerzo en la varilla de acero (AC): Veamos algunos ejemplos

14. P Problema 3 Considerar un tubo de acero que rodea a un cilindro macizo de aluminio, comprimido todo el conjunto entre placas infinitamente rígidas, por fuerzas aplicadas centralmente como se muestra en la figura. El cilindro de aluminio tiene 7,5 cm de diámetro y el diámetro exterior del tubo de acero es de 9 cm. Si P = 24000 kg hallar las tensiones en el acero y en el aluminio. Para el acero EAc = 2,1 x 106 kg/cm2y para el aluminio EAl = 2,8 x 105 kg/cm2. 7,5 cm 9 cm sAl sAc sAc P n n Resolución: Tracemos un plano de corte a través del conjunto y tomemos la parte inferior. Para restablecer el equilibrio deberemos aplicar a la parte inferior el efecto que ejercía la parte que hemos quitado, efecto que consiste en esfuerzos verticales normales distribuidos en los dos materiales. Así será: Veamos algunos ejemplos

15. P Problema 3 Hay una sola ecuación de equilibrio estático para el sistema, que es: 7,5 cm Como el sistema contiene dos incógnitas (PAc y PAl) el problema es estáticamente indeterminado, por lo que hay que suplementar la ecuación con otra basada en las deformaciones de la estructura. 9 cm sAl sAc sAc P n n Esta ecuación la obtenemos considerando que ambas placas rígidas obligan a los dos metales a sufrir la misma deformación axial. Considerando que: y Veamos algunos ejemplos

16. Problema 3 Resulta ser: …y el sistema queda: Veamos algunos ejemplos

17. PCu PAc PAc Problema 4 La barra AB es absolutamente rígida y está soportada por tres varillas como se ve en la figura. Las dos varillas extremas son de acero y tienen una sección de 3 cm2. La central es de cobre y de sección 9 cm2. Para el acero EAc =2,1 x 106 kg/cm2y para el cobre ECu = 1,2 x 106 kg/cm2. Todas las varillas tienen 2,10 m y están igualmente separadas entre sí, estando aplicadas las cargas de 6000 kg en el punto medio entre ellas. Despreciando el peso de la barra AB, determinar la fuerza en cada una de las barras verticales. La barra AB permanece horizontal después de aplicar las cargas. A B 6000 kg 6000 kg 6000 kg 6000 kg Resolución: Dibujamos primero el diagrama de cuerpo libre de la barra AB, mostrando todas las fuerzas que actúan en ella incluyendo las dos cargas aplicadas y las reacciones de las varillas verticales Veamos algunos ejemplos

18. PCu PAc PAc Problema 4 A B Aquí podemos hacer uso de la condición de simetría (geométrica y de cargas) para asegurar que las reacciones en las varillas de acero son iguales por lo que habrá una sola ecuación de equilibrio estático para el sistema, que es: 6000 kg 6000 kg 6000 kg 6000 kg Como el sistema contiene dos incógnitas (PAc y PCu) el problema es estáticamente indeterminado, por lo que hay que suplementar la ecuación con otra basada en las deformaciones de la estructura. Veamos algunos ejemplos

19. PCu PAc PAc Problema 4 Esta ecuación la obtenemos considerando que la placa rígida obliga a todas las varillas a deformarse axilmente de la misma manera. Considerando que: A B 6000 kg 6000 kg 6000 kg 6000 kg Resulta ser: …y el sistema queda: Veamos algunos ejemplos

20. Problema 5 Una barra de cobre tiene sección uniforme y está unida rígidamente a los muros como se ve en la figura. La longitud es de 150 cm y la sección de 15 cm2. A la temperatura de 25 °C la varilla no tiene tensiones. Determinar las tensiones que existen en ella cuando la temperatura desciende 10 °C, suponiendo que los apoyos no ceden. Para el cobre ECu = 1,1 x 106 kg/cm2y  = 16 x 10-6 1/°C. B A 150 cm Resolución: El modo de resolver este problema es suponer que se corta la barra y se separa del muro en el extremo derecho. En este caso, es libre de contraerse cuando la temperatura desciende, reduciéndose la longitud Veamos algunos ejemplos

21. Problema 5 Ahora, es necesario hallar la fuerza axial P que hay que aplicar a la barra alargar a la barra 0,036 cm, esto es, para volver a llevar el extremo derecho a su posición verdadera, porque sabemos que en realidad el extremo no se desplaza en absoluto al bajar la temperatura. Para determinar esta fuerza P, utilizamos la ecuación: P B A 150 cm La tensión axil que produce esta fuerza es: Veamos algunos ejemplos

22. n PH P n Problema 6 Considerar un pilar cuadrado de hormigón armado de 30 x 30 cm de sección y 2,40 m de altura. El hormigón está armado con ocho barras verticales de acero cuadradas de 2 cm de lado, colocadas simétricamente respecto al eje vertical del pilar. Se ha aplicado una fuerza de compresión axial de 45000 kg a través de una placa absolutamente rígida en la parte superior del hormigón. Considerar para el acero EAc = 2,1 x 106 kg/cm2y para el hormigón EH = 1,75 x 105 kg/cm2. Determinar las tensiones en el hormigón y en el acero. P = 45000 kg/cm Resolución: Cortemos el pilar por un plano horizontal y quitemos la parte superior. La parte suprimida deberá sustituirse por una solicitación que ejerza sobre la superficie inferior el mismo efecto. Veamos algunos ejemplos

23. n PH P n Problema 6 En el diagrama de cuerpo libre, las PAc y PH representan las fuerzas resultantes que se ejercen sobre el acero y el hormigón respectivamente. Hay una sola ecuación de equilibrio estático para el sistema, que es: P = 45000 kg/cm Esta ecuación contiene dos incógnitas por lo que el problema es estáticamente indeterminado y es necesario tratarlo juntamente con otras ecuaciones basadas en la deformación de la estructura. Esta ecuación se obtiene fácilmente pues el acortamiento del hormigón y del acero son iguales a causa de la placa rígida. La deformación bajo la carga es: Veamos algunos ejemplos

24. n PH P n Problema 6 …y el sistema queda: Las tensiones axiales que producen estas fuerzas son: P = 45000 kg/cm Veamos algunos ejemplos

25. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

26. Muchas Gracias