Optymalizacja liniowa

1. Optymalizacja liniowa Andrzej Torój, Ekonometria

2. co to znaczy „decyzja”? kiedy decyzja jest możliwa do podjęcia? co to znaczy „najlepsza”? funkcja celu max min kryterium optymalizacji Problem decyzyjny Która decyzja (z tych możliwych do podjęcia) jest najlepsza? zmienne decyzyjneX1, X2, ..., Xn decyzja: x*=(x1*, x2*, ..., xn*) warunki ograniczające zbiór decyzji dopuszczalnych Andrzej Torój, Ekonometria

3. Przykład Kubuś Puchatek lubi miód i chce go jeść jak najwięcej. Niestety, musi sobie na tę przyjemność zapracować. Są dwie możliwości: hodowanie pszczółek w ulu w ogródku lub zakup miodu w sklepie za pieniądze otrzymane za brawurową rolę w kreskówce. Za każdą godzinę opieki dziennie pszczoły odwdzięczają mu się 0,2 l miodu. Praca pozwala Kubusiowi zarobić 5 zł za godzinę, a miód w sklepie kosztuje 10 zł za litr.Kubuś jest leniwym misiem i nie może pracować (czy to zarobkowo, czy przy ulu) dłużej niż 8 godzin dziennie. Kubuś nie spędzi jednak na planie dłużej niż 5 godzin dziennie, bo będzie tęsknił za Prosiaczkiem i zechce wrócić do domu. Pszczoły po 7 godzinach z Kubusiem mają go dość i zaczynają go atakować.Jak zachowa się Kubuś, by mieć jak najwięcej miodu do dyspozycji? Andrzej Torój, Ekonometria

4. Zmienne decyzyjne • x1 – czas pracy w serialu • x2 – czas pracy przy ulu Decyzja x*=(x1*,x2*) Andrzej Torój, Ekonometria

5. Funkcja celu • cel: maksymalizacja konsumpcji miodu • f(x)=f(x1,x2) → max • Jak czas pracy przekłada się na ilość miodu do dyspozycji? • 1 h z pszczołami to 0,2 l miodu • 1 h na planie serialu to 5 zł, a 1 l miodu kosztuje 10 zł • stąd ilość miodu do dyspozycji Kubusia (w litrach) zależy od jego decyzji w następujący sposób: 5/10 *x1 + 0,2*x2 • funkcja celu: f(x1,x2)=0,5x1+0,2x2 Andrzej Torój, Ekonometria

6. Warunki ograniczające • x1 + x2 ≤ 8 • x1 ≤ 5 • x2 ≤ 7 • x1 ≥ 0 • x2 ≥ 0 warunki nieujemności Andrzej Torój, Ekonometria

7. x2 x1 Ilustracja graficzna • x1 + x2 ≤ 8 • x1 ≤ 5 • x2 ≤ 7 • x1 ≥ 0 • x2 ≥ 0 8 7 5 8 zbiór decyzji dopuszczalnych (D) Andrzej Torój, Ekonometria

8. Gdzie jest decyzja optymalna? f(x1,x2) = 0,5 x1 +0,2 x2 f(x1,x2) = 2 decyzja optymalna! x2 Warstwica funkcji celu:f(x1,x2) = 1 f(x1,x2) = 2 itd. 10 7 f(x1,x2) = 1 Gradient funkcji celu:kierunek najszybszego wzrostu jej wartości; pochodna funkcji celu względem zmiennych decyzyjnych 5 2 4 5 10 x1 Andrzej Torój, Ekonometria

9. warunki napięte (spełnione dla rozwiązania optymalnego jako równość) Warunki luźne i napięte • x1 + x2 ≤ 8 • x1 ≤ 5 • x2 ≤ 7 • x1 ≥ 0 • x2 ≥ 0 x2 8 7 warunki luźne (spełnione dla rozwiązania optymalnego jako nierówność ostra) 5 8 x1 Andrzej Torój, Ekonometria

10. Decyzja optymalna Decyzja x* jest optymalna, jeżeli: • jest decyzją dopuszczalną, tzn. • f(x*) ≥f(x) dla dowolnej decyzjiprzy maksymalizacji funkcji celuALBOf(x*) ≤ f(x) dla dowolnej decyzjiprzy minimalizacji funkcji celu Andrzej Torój, Ekonometria

11. Zadanie programowania liniowego (PL) szczególny przypadek zadania programowania matematycznego • wszystkie zmienne decyzyjne ciągłe • wszystkie warunki ograniczające w postaci równań lub słabych nierówności liniowych • funkcja celu liniową funkcją zmiennych decyzyjnych Andrzej Torój, Ekonometria

12. Możliwe wyniki – rozwiązanie optymalne istnieje x2 x2 x1 x1 jedno rozwiązanie optymalne alternatywne rozwiązania optymalne Andrzej Torój, Ekonometria

13. x2 zadanie sprzeczne Możliwe wyniki – rozwiązanie optymalne nie istnieje x2 x1 x1 funkcja celu nieograniczona z góry (z dołu) Andrzej Torój, Ekonometria

14. Własności zadań PL (1) • Jeżeli zbiór D jest niepusty i ograniczony, to istnieje rozwiązanie optymalne. • W zadaniu PL o nieujemnych zmiennych decyzyjnych i niepustym zbiorze rozwiązań optymalnych przynajmniej jeden wierzchołek zbioru D jest rozwiązaniem optymalnym. • Zbiór rozwiązań dopuszczalnych i rozwiązań optymalnych zadania PL są zbiorami wypukłymi. • Wynik procesu rozwiązywania zadania PL nie ulega zmianie przy zastąpieniu funkcji celu f(x) funkcją af(x) (gdy a jest dowolną liczbą dodatnią) lub f(x)+b (gdy b jest ustaloną liczbą rzeczywistą). Andrzej Torój, Ekonometria

15. Własności zadań PL (2) • Wynik procesu rozwiązywania zadania PL nie ulega zmianie przy zastąpieniu funkcji celu f(x) funkcją -f(x) i jednoczesnej zmianie kryterium optymalizacji na przeciwne. • Wierzchołek x* niepustego zbioru rozwiązań dopuszczalnych D jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL z maksymalizacją funkcji celu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego rozwiązania dopuszczalnego x na prostej warunku napiętego w x* zachodzi f(x*) ≥ f(x). • Wierzchołek x* niepustego i ograniczonego zbioru rozwiązań dopuszczalnych D jest rozwiązaniem optymalnym zadania PL z maksymalizacją funkcji celu f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego sąsiedniego wierzchołka zachodzi f(x*) ≥ f(x). Andrzej Torój, Ekonometria

16. Solver Narzędzia/Dodatki... Andrzej Torój, Ekonometria

17. wybieramy kryterium optymalizacji funkcji celu: maksimum, minimum lub osiągnięcie konkretnej wartości tutaj wpisujemy adres komórki zawierającej formułę funkcji celu; formuła powinna zawierać zmienne decyzyjne zdefiniowane w innych, zmienianych przez program komórkach tutaj wpisujemy adres zakresu zmiennych decyzyjnych naciskając „Dodaj”, przechodzimy do okna definiowania warunku ograniczającego po lewej stronie wpisujemy adres komórki zawierającej funkcję zmiennych decyzyjnych; w środku – charakter ograniczenia; po prawej – wyraz wolny warunku ograniczającego Andrzej Torój, Ekonometria

18. Opcje… ustawiamy parametry dla algorytmu poszukującego rozwiązania (kiedy ma uznać, że je już znalazł) jeżeli model jest liniowy, zaznaczenie tego pola upraszcza proces obliczeniowy (UWAGA! model liniowy, ale zapisany w sposób nieliniowy, np. ograniczenie x1/x2 = 1, zostanie odrzucone, należy zapisać x1=x2) zaznaczenie w tym miejscu zwalnia nas z konieczności dodawania wszystkich warunków nieujemności do zbioru warunków ograniczających ustalamy, jaki dokładnie algorytm ma szukać rozwiązania Andrzej Torój, Ekonometria

19. Zadanie programowania liniowego – pytania... czy zmiana wyrazu wolnego sprawi, że zestaw warunków napiętych zmieni się? czy po zmianie współczynnika funkcji celu obecne rozwiązanie optymalne nadal będzie optymalne? jak zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego wpłynie na optymalną wartość funkcji celu (cena dualna)? jak wpłynie na rozwiązanie optymalne usunięcie/dodanie jednego warunku ograniczającego? Andrzej Torój, Ekonometria

20. 8 7 5 8 Problem Kubusia Puchatka - przypomnienie • x1 + x2 ≤ 8 • x1 ≤ 5 • x2 ≤ 7 • x1 ≥ 0 • x2 ≥ 0 x2 f(x1,x2)=0,5x1+0,2x2 x1 Andrzej Torój, Ekonometria

21. Zmiana współczynnika funkcji celu (1) • w naszym przypadku: • zmiana wydajności pszczół (0,2 l miodu na godzinę pracy Kubusia) • zmiana płacy realnej w serialu (0,5 l miodu za godzinę) 8 7 5 8 Andrzej Torój, Ekonometria

22. Zmiana współczynnika funkcji celu (2) dla rozwiązania optymalnego (x1,x2)=(5,3): dla sąsiednich wierzchołków: (x1,x2)=(5,0):(x1,x2)=(1,7): Decyzja (x1,x2)=(5,3) pozostanie optymalna tak długo, jak spełnione będą warunki: – przedział stabilności c2 Andrzej Torój, Ekonometria

23. Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (1) • w naszym przypadku: • zmiana poziomu pracowitości Kubusia (mało prawdopodobna  ) • zmiana odporności Prosiaczka na tęsknotę za Kubusiem (jeszcze mniej prawdopodobna  ) • zmiana odporności pszczół na obecność Kubusia 8 7 5 8 Andrzej Torój, Ekonometria

24. Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (2) • jeżeli prostą 0*x1+1*x2=7 przesuniemy dowolnie wysoko (0*x1+1*x2=7+Db1, Db1>0), rozwiązanie optymalne nie zmieni się • jeżeli przesuniemy ją tak, by „przechodziła przez” dotychczasową decyzję optymalną (0*x1+1*x2=7+Db1 dla x1=5, x2 =3, stąd Db1=-4), decyzja optymalna nie zmieni się, ale warunek tej prostej stanie się napięty • gdy Db1<-4, zmieni się decyzja optymalna i zbiór warunków napiętych (przestanie być napięty warunek oznaczony zieloną linią) Andrzej Torój, Ekonometria

25. Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (3) • struktura bazowa rozwiązania optymalnego – zbiór napiętych warunków ograniczających • przedział stabilnościstruktury bazowej rozwiązania optymalnego względem wyrazu wolnego bi – przedział zmienności bi, w którym nie nastąpi zmiana zestawu warunków napiętych • dla warunku luźnego – pytanie podobne do tego, jakie stawialiśmy sobie przy zmianie współczynnika funkcji celu (jak wielka zmiana możliwa bez zmiany decyzji optymalnej?) • dla warunku napiętego takie pytanie nie miałoby w gruncie rzeczy sensu (każde przesunięcie linii ograniczenia powodowałoby zmianę decyzji optymalnej) Andrzej Torój, Ekonometria

26. Zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego (4) • x1 + x2 ≤ 8 • x1 ≤ 5 • x2 ≤ 7 8 7 5 ≤ b1 ≤ 12 1 ≤ b2 ≤ 8 3 ≤ b3 3 przedziały stabilności struktury bazowej rozwiązania optymalnego 5 8 Andrzej Torój, Ekonometria

27. Cena dualna (1) • jak wpływa zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczającego na wartość funkcji celu? warunek luźny warunek napięty ZAŁOŻENIE: struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie ulegnie modyfikacji ZAŁOŻENIE: struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie ulegnie modyfikacji założenie pozwala nam uznać, że te same warunki pozostaną napięte (np. warunek (1) i (2) ); zapisujemy warunki spełniane przez nową decyzję optymalną: cena dualna wynosi 0 cena dualna to przyrost (spadek) optymalnej wartości funkcji celu spowodowany jednostkowym przyrostem (spadkiem) wyrazu wolnego jednego z warunków ograniczających przy założeniu, że struktura bazowa rozwiązania optymalnego nie zostanie zmieniona rozwiązujemy ze względu na x1 i x2 (obie zmienne decyzyjne będą funkcją Db2), a następnie podstawiamy do funkcji celu: d jest ceną dualną Andrzej Torój, Ekonometria

28. Cena dualna (2) • w przypadku problemu Kubusia Puchatka: x1 + x2 ≤ 8 x1 ≤ 5 x2 ≤ 7 warunek (1) jest napięty warunek (2) jest napięty warunek (3) jest luźny cena dualna dla warunku (3) = 0 cena dualna dla warunku (1) = 0,2 cena dualna dla warunku (2) = 0,3 Andrzej Torój, Ekonometria

29. Co się stanie, gdy dodamy nowy warunek? • jeżeli dotychczasowa decyzja optymalna spełnia ten warunek, pozostanie ona optymalna; w przeciwnym razie szukamy nowego rozwiązania (o ile zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie stał się pusty!) Co się stanie, gdy usuniemy warunek? • jeżeli warunek był luźny, dotychczasowe rozwiązanie pozostaje optymalne; jeżeli był napięty, musimy rozwiązać zadanie ponownie Andrzej Torój, Ekonometria

30. Uwagi końcowe • zasada ceteris paribus: przedziałów stabilności współczynników funkcji celu nie można rozpatrywać łącznie • analiza pooptymalizacyjna dotyczy zagadnień ze zmiennymi ciągłymi Andrzej Torój, Ekonometria

31. Zadania – podstawowe typy Andrzej Torój, Ekonometria

32. 1. Dieta Andrzej Torój, Ekonometria

33. 1. Dieta (c.d.) • wyróżnione są składniki (m) diety oraz ich maksymalne i minimalne dawki • składniki dostępne są w produktach (n), dla każdego produktu znana jest jego cena (c) i zawartość składnika (b) • należy znaleźć najtańszą mieszankę produktów zawierającą odpowiednie ilości składników • klasyczne zagadnienie diety – jedyniedawki minimalne, nieograniczonyzbiór rozwiązań dopuszczalnych, ale przy dodatnich cenach i kryterium minimalizacji – istnieje rozw. opt. Andrzej Torój, Ekonometria

34. 2. Portfel inwestycyjny Andrzej Torój, Ekonometria

35. 2. Portfel inwestycyjny • poszukujemy optymalnej struktury portfela inwestycyjnego: • jak najmniejsze ryzyko przy zadanej oczekiwanej stopie zwrotu • jak najwyższa oczekiwana stopa zwrotu przy zadanym oczekiwanym poziomie ryzyka • zmienne decyzyjne: udział poszczególnych rodzajów aktywów w portfelu (%); ograniczenie budżetowe: ich suma równa 1 • limity prawne dla udziału poszczególnych aktywów (np. max. udział akcji, aktywów zagranicznych itp.) • założenie o doskonałej podzielności aktywów i płynności rynku • oczekiwana stopa zwrotu z portfela: średnia ważona z oczekiwanych stóp zwrotu poszczególnych jego elementów • założenie o NIEZALEŻNOŚCI stóp zwrotu poszczególnych aktywów (?) Andrzej Torój, Ekonometria

36. 3. Harmonogram Andrzej Torój, Ekonometria

37. 3. Harmonogram • decydujemy o liczbie pracowników rozpoczynających pracę o różnych porach • zadanie ze zmiennymi dyskretnymi (np. liczby naturalne) – trudniejsze do rozwiązania Andrzej Torój, Ekonometria

38. 4. Mieszanka Andrzej Torój, Ekonometria

39. 4. Mieszanka • mieszamy składniki; każdy z nich ma swoją cenę • mieszanka musi być jak najtańsza i spełnić jednocześnie określone wymagania Andrzej Torój, Ekonometria

40. 5. Zagadnienie transportowe Andrzej Torój, Ekonometria

41. 5. Zagadnienie transportowe • produkt zmagazynowany u m dostawców należy dostarczyć do n odbiorców; ile jednostek produktu przewieźć od i-tego dostawcy (i=1,...,m) do j-tego odbiorcy (j=1,...,n) by spełnić wymagania odbiorców • n*m zmiennych decyzyjnych • należy tak ustalić plan transportu, by zminimalizować jego łączny koszt (znany jednostkowy koszt transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy) • zagadnienie jest zbilansowane, gdy początkowy zasób u dostawców równy zapotrzebowaniu odbiorców (warunki ograniczające: równości) • niezbilansowane, gdy podaż lub popyt mniejsze (nierówności wśród warunków ograniczających) • gdy towar jest niepodzielny, nie ma konieczności uwzględniania całkowitoliczbowości zmiennych Andrzej Torój, Ekonometria

42. 6. Przydział Andrzej Torój, Ekonometria

43. 6. Przydział • m zadań do wykonania i m pracowników, którzy mogą je wykonać; każdy pracownik otrzymuje dokładnie jedno zadanie • zadań może być więcej niż pracowników (wtedy wśród warunków ograniczających nierówności) • minimalizujemy koszt realizacji zadań lub łączną efektywność • wszystkie zmienne decyzyjne są binarne; warunek ten można zastąpić warunkiem xij≥0 (na podstawie analogicznej własności zagadnienia transportowego) Andrzej Torój, Ekonometria

44. Praca domowa • Przykłady i zadania do rozdziałów • 11 • 12 • 13 Andrzej Torój, Ekonometria