Comportement du solides déformable

1. Chaîne d’information ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER AGIR ALIMENTER CONVERTIR DISTRIBUER TRANSMETTRE Chaîne d’énergie Comportement du solides déformable Suite Résistance des matériaux (RDM)

2. I But de la RDM Suite La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, fusées). Cela permet donc de : • Déterminer les dimensions fonctionnelles de la pièce • Choisir le matériau constituant la pièce • Vérifier la résistance à la "casse" de la pièce : (Dépassement de la limite à la résistance élastique du matériau) • Vérifier la résistance à la "déformation" de la pièce • Vérifier la résistance à la "fatigue" de la pièce : (Rupture après un certain nombre de cycles de déformation) • Optimiser le coût de la pièce par changement des formes, des dimensions, des matériaux, ...

3. I But de la RDM Suite Contraintes subies par l’aile d’avion Déformations subies par l’aile d’avion

4. I But de la RDM Suite Vérification de la résistance d’une aile d’avion

5. I But de la RDM Suite Répartition des contraintes dans la pièce sous charges

6. II Les hypothèses de la RDM Suite 1La géométrie des pièces: Pour tous les calculs RDM, on utilise le modèle « Poutre » (solides dont une dimension est très supérieure aux deux autres). Si la pièce à étudier ne peut pas être modélisée par une poutre, on utilise le calcul par éléments finis qui ne peut-être que logiciel.

7. II Les hypothèses de la RDM Suite 2Les matériaux étudiées: Ils doivent être : Isotropes: on admet que les matériaux ont, en un même point, les mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions.. Elle n'est pas vérifiée pour les matériaux tels que le bois, les matériaux composites...etc. Homogènes : On admet que les matériaux ont les mêmes caractéristiques (composition) en tout point. Continus : pas de fissure, pas de creux ...

8. II Les hypothèses de la RDM Suite 3  Les charges appliquées: Plan de symétrie Les charges sont contenues dans le plan de symétrie Elles sont concentrées ou réparties

9. II Les hypothèses de la RDM Suite 4  Les déformations : - Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne). - Les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre

10. III Torseur de cohésion Suite 1 Principe de calcul:

11. III Torseur de cohésion Suite

12. III Torseur de cohésion Suite Deux conventions d’écriture sont possibles. Conventions 1 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (2) sur la partie (1) ; Conventions 2 : le torseur de cohésion modélise les actions mécaniques de la partie (1) sur la partie (2).

13. III Torseur de cohésion Suite Pour la suite, nous adopterons la CONVENTION 1 tout à fait arbitrairement.

14. III Torseur de cohésion Suite Equilibre du tronçon (1).

15. III Torseur de cohésion Suite Equilibre du tronçon (1). Définition 1 : Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à gauche de la section droite, somme précédée du signe -.

16. III Torseur de cohésion Suite Equilibre du tronçon (2). Rappel : principe des actions réciproques :

17. III Torseur de cohésion Suite Equilibre du tronçon (2). Définition 2 : Le torseur de cohésion au centre de surface G d’une surface droite de poutre se défini en effectuant la somme des torseurs, au même point G, des actions mécaniques agissant à droite de la section droite, somme précédée du signe +.

18. III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: Soit une poutre reposant sur 2 appuis et soumise à une force de longueur l = 4,2 m Détermination du torseur de cohésion : On décompose la poutre en deux zones : [AC] et [CB]. Zone [AC] : a = 1,2m Nous allons déterminer le torseur de cohésion au centre de surface G1 d’une section de poutre située entre A et C, repérée par l’abscisse x. Le torseur de cohésion au point G1 se détermine en effectuant la somme des A.M. agissant à gauche de la coupure, somme précédée du signe « - »

19. III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: • Zone [AC] : a = 1,2m

20. III Torseur de cohésion Suite 2 Exemple de calcul: Zone [CB] : b = 3 m Pour la détermination de ce torseur de cohésion, il est préférable d’utiliser la définition 2

21. III Torseur de cohésion Suite 3 Composantes du torseur de cohésion

22. III Les différentes sollicitations simples Suite Une poutre peut être soumise à plusieurs sollicitations qui dépendent de la nature et de la direction des actions mécaniques.

23. y x N N III Les différentes sollicitations simples Suite Traction N N N>0 Exemples: Tirant Biellette Courroie

24. y N N x N N III Les différentes sollicitations simples Suite Compression N<0 Exemples: Tirant Biellette Ressort

25. T y x T T/2 T/2 T III Les différentes sollicitations simples Suite Cisaillement Exemples: Axe Clavette Goupille Rivet

26. y Mt Mt x Mt Mt III Les différentes sollicitations simples Suite Torsion Exemples: Arbre de transmission Tuyauterie

27. T y x d T III Les différentes sollicitations simples Suite Flexion Exemples: Arbre Axe Plongeoir Aile d’avion

28. IV Traction Suite 1Essai de Traction: L’essai de traction est une expérimentation qui a pour objet la détermination des caractéristiques de résistance du matériau testé.

29. IV Traction Suite On applique progressivement et lentement à une éprouvette, de formes et de dimensions normalisées, un effort de traction croissant dont l’intensité varie de 0 à F jusqu’à la rupture.. Le tableau ci-contre montre l’évolution de la déformation de l’éprouvette en fonction de la charge appliquée

30. F(N) F r F Point de rupture e Fe Charge limite élastique Fr : Charge limite à la rupture Allongement en mm Zone de Zone de déformation plastique déformation élastique IV Traction Suite 2Résultats de l’essai Graphe de l’allongement en fonction de la charge appliquée

31. IV Traction Suite Résistance élastique Re avec Re en MPa, Fe en N, So section de la pièce en mm2 Résistance à la rupture Rr avec Rr en MPa, Fr en N, Sosection de la pièce en mm2.

32. IV Traction Suite Coefficient d’allongement A% avec Lu longueur ultime après rupture, Lo longueur initiale. Allongementrelatif avec L allongement total de la poutre; Lo longueurd’origine; Lallongementrelatifsuivantl’axe

33. Pour les matériaux élastiques, la diminution des sections droites est proportionnelle à l’allongement relatif, ce coefficient est noté et appelé coefficient de Poisson. en notant on obtient IV Traction Suite Coefficient de Poisson Ce coefficient caractérise la déformation transversale.

34. V Contrainte Suite 1Définition du vecteur contrainte : Une coupure est effectuée au niveau de la surface S (le plan de coupe peut ne pas être perpendiculaire à la ligne moyenne). Considérons un point M de cette surface et dS un élément de section droite aussi petit que possible entourant le point M. Soit l’effort élémentaire transmis par dS exercé par la matière de la partie droite sur la partie gauche de la poutre. On appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur : Unités :en MPa ou N/mm2. La contrainte est homogène à une pression.

35. 2Contrainte normale et contrainte tangentielle : Soit le repère local affecté à la coupure suivant la section droite S de normale . Projetons le vecteur contrainte Cm dans le repère (G x y z) :  : Contrainte normale (projection du vecteur contrainte sur la normale à la coupure). : Contrainte tangentielle (projection du vecteur contrainte dans le plan YZ). V Contrainte Suite

36. Lorsqu’une poutre est sollicitée en traction la contrainte tangentielle est nulle et la contrainte normale vaux : V Contrainte Suite 3 Contrainte en traction: • avec • en N/mm²(MPa), F en N, S en mm². L’expérience montre qu’il y a proportionnalité dans la zone élastique entre la contrainte  et l’allongement relatif . Loi de Hooke : avec E module de Young en N/mm². (aciers E = 210000Mpa)

37. V Contrainte Suite 4 Condition de résistance Pendant toute la durée de son service, une pièce doit conserver un comportement élastique. Cette condition s'exprime par l'inégalité suivante : Les problèmes d'incertitude sur la valeur de Re, de la contrainte, de la modélisation de l'étude…, nous amènent donc à exprimer la condition de résistance par : avec Re: résistance limite élastique en MPa s: coefficient de sécurité (s>1) Rpe: résistance pratique de limite élastique en Mpa

38. Avec : = contrainte atteinte au voisinage de la singularité = contrainte moyenne nominale calculée V Contrainte Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt La plupart des pièces industrielles ne sont pas cylindriques, elles possèdent des singularités de formes (perçages, gorges, rainures, filetages…). On définit un coefficient de concentration de contrainte appelé Kt tel que : La contrainte maximale a pour valeur :

39. V Contrainte Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt

40. V Contrainte Suite 5 Coefficient de concentration de contraintes : Kt Les valeurs de Kt sont expérimentales. Exemple 1 : Pour un filetage triangulaire ISO : Kt = 2.5 Exemple 2 : Arbre de section circulaire épaulé.

41. V Cisaillement Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte T : effort tranchant en N S : surface de la section en m2 La contrainte tangentielle engendrée est identique dans toute la section  2 Loi de comportementélastique G : module de Coulomb en Pa : glissement transversal relatif (sans unité)

42. V Torsion Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte Mt : moment de torsion en Nm IG : moment quadratique polaire de la section en m4  : distance au centre de la section en m 2 Moment quadratiquepolaire Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport au point O est : Io = 2 . DS

43. V Torsion Suite Quelques expressions usuelles 3 Loi de comportementélastique G : module de Coulomb en Pa angle de torsion unitaire en rad/m IG : moment quadratique polaire de la section en m4

44. V Flexion Suite 1 Relation sollicitation - Contrainte Mfz : moment de flexion en Nm IGz : moment quadratique de la section par rapport à l’axe (Gz) en m4 y : distance par rapport à l’axe (Gz) en m La contrainte normale engendrée est nulle le long de l’axe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus élevée lorsqu’on s’en éloigne. 2 Moment quadratique par rapport à un axe

45. V Flexion Fin Quelques expressions usuelles 3 Loi de comportementélastique Mfz: moment de flexion en Nm E : module de Young en Pa IGz : moment quadratique par rapport à l’axe z de la section en m4 f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans sollicitation) en m f’’ : dérivée seconde de la flèche par rapport à l’abscisse x