ALJABAR MATRIKS pertemuan 11 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

1. ALJABAR MATRIKSpertemuan 11 Oleh :L1153Halim Agung,S.Kom

2. HimpunanOrtonormal Definisi : Misalkan v1,v2, … , vnadalahvektor – vektordidalamsebuahruanghasil kali dalam V. Jika (v1,v2) = 0 bilamanai ≠ j , maka {v1,v2, … , vn} dikatakansebuahhimpunanortogonaldarivektor – vektor. Contoh : Himpunan {(1,1,1)T , (2,1,-3)T , (4,-5,1)T} adalahhimpunanortogonal yang beradadidalam R3 , karena(1,1,1)(2,1,-3)T = 0 (1,1,1)(4,-5,1)T = 0 (2,1,-3)(4,-5,1)T = 0

3. Teorema : Jika {v1,v2, … , vn} adalahhimpunan ortogonal darivektor – vektortaknol yang beradadidalamsebuahruanghasilkalidalam V , maka v1,v2 , … , vnadalah bebas linear Definisi : Sebuahhimpunanortonormaldarivektor – vektoradalahsebuahhimpunan ortogonal darivektor – vektorsatuan. Himpunan {u1,u2, … , un} akanmenjadiortonormaljika dan hanyajika ˂ui , uj˃= δij δij= 1 jika i = j = 0 jika i ≠ j Jikadiberikanhimpunanortogonaldarivektor – vektortaknol{v1,v2, … , vn} makadimungkinkanuntukmembentuksebuahhimpunanortonormaldenganmendefinisikanuntuk i = 1,2, … , n Contoh : Jika v1 = (1,1,1)T , v2 = (2,1,-3)T , v3 = (4,-5,1)Tmaka {v1,v2,v3} adalahsebuahhimpunanortogonaldidalam R3. Untukmembentuksebuahhimpunanortonormal , maka

4. Teorema : Misalkan {u1,u2, … , un} basisortonormaluntuksebuahruanghasilkalidalam V. jikamakaci = (ui,v) Bukti : <ui,v> = Akibat : Misalkan {u1,u2, … , un} adalahsebuahbasisortonormaluntuksebuahhasilkaliruangdalam V, jika u = dan v = maka <u,v> = Akibat : (RumusParseval). Jika {u1,u2, … ,un} adalahsebuahbasisortonormaluntuksebuahruanghasilkalidalam V dan v = maka Contoh : Vektor – vektor dan Membentuksebuahbasisortonormaluntuk R2 . Jika x ϵ R2 , makadanberdasarkanteorema diatasmakadanberdasarkanakibatke 2 maka

5. Latihan • 1. Yang manakahdiantarahimpunanvektor – vektorini yang membentuksebuahbasisortonormaluntuk R2? • {(1,0)T , (0,1)T} • {(1,-1)T , (1,1)T} • Misalkan • Perlihatkanbahwa {u1,u2,u3} merupakanbasisortonormaluntuk R3 • Misalkan x = (1,1,1)T . Tuliskan x sebagaicontohkombinasi linear dari u1,u2 dan u3 denganmenggunakan teorema sebelumnya dan gunakanrumusparsevaluntukmenghitung ||x||

6. ProsesOrtogonalisasiGram – Schmidt Teorema (ProsesGram – Schmidt) Misalkan {x1,x2, … , xn} adalahbasisuntukruanghasilkalidalam V. Misalkan dan definisikanmasing – masing u2, … un secara rekursifdengan untuk k = 1, … , n-1 Dimana Adalahproyeksidari xk+1 pada rentang (u1,u2, … , un). Himpunan(u1,u2, … , un) adalahbasisortonormaluntuk V Teorema (Faktorisasi QR) Jika A adalahsebuahmatriks m x n denganrank n , maka A dapatdifaktorkankedalamsebuahhasilkali QR, dimana Q adalahsebuahmatriks m x n dengankolom – kolomortonormal dan R adalahsebuahmatriks m x n yang merupakanmatrikssegitiga atas dan dapatdibalik (invertible)

7. Bukti Misalkan p1, … pn-1 adalahvektor – vektorproyeksi yang didefinisikandalam teorema sebelumnya dan misalkan {q1, q2 ,…, qn} adalahbasisortonormaldai R(A) yang dihasilkandariprosesGram – Schmidt. Definisikan BerdasarkanprosesGram – Schmidt maka Sistemdiatasdapatdituliskembalidalambentuk Jikakitatetapkan Q = (q1,q2, … , qn) mendefinisikan R sebagaimatrikssegitiga atas

8. Makakolomke-j darihasilkali QR akanmenjadi Olehkarenaitu QR = (a1,a2, … , an) = A Contoh Hitunglahfaktorisasi QR Gramschmidtdarimatriks Penyelesaian Langkah 1. tetapkan Langkah 2. tetapkan

9. Langkah 3. tetapkan Pada setiaplangkahkitatelahmenentukansebuahkolomdari Q dan sebuahkolomdari R. Pemfaktorandiberikanoleh

10. Latihan HitunglahmatriksinimenggunakanfaktorisasiGram - schmidt

11. Polinom ortogonal Definisi Misalkanpo(x) , p1(x), … adalahsebuahbarisanpolinomdenganderajat pi(x)= i untuksetiap i . Jika [pi(x),pj(x)]=0 kalau i ≠ j , maka [pn(x)] disebutsebagaisebuahbarisanpolinom ortogonal. Jika ( pi , pj)= δij . Maka [pn(x)] disebutsebagaisebuahbarisanpolinomortonormal. Teorema Jika po,p1 ,… adalahbarisanpolinomortogonal , maka Po , … , pn-1membentuksebuah basis untukpn pnϵpn┴ ( yaitupnortogonalkesetiappolinom yang berderajatkurangdari n) Latihan Ada 4 polinomortogonal yang dikenalsecaraumum , yaitupolinomlegendre , polinomtchebycheff , polinomjacobi , polinomhermitedanpolinomlaguerre. Carilahsalahsatudaripolinomtersebut yang menurutandamudahdipahamidanbuatlah 2 soaldanjawabandari polinom yang andatemukan