UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

2. Objetivos: • Discutir efeitos de esforços torcionais em elemento linear longo circular. • Determinar a distribuição de tensão e o ângulo de torção internos em regime linear-elástico e inelástico. • Discutir eixos e tubos estaticamente indeterminados e concentrações de tensão. Tema de aula 5: Torção SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: • 5.1 Deformação por Torção de um Eixo Circular • 5.2 Fórmula da Torção • 5.3 Transmissão de Potência • 5.4 Ângulo de Torção • 5.5 Elementos Estaticamente Indeterminados Carregados com Torque • Àtitulo de Curiosidade; • (1)-Ponto de tensão cisalhante máxima e ângulo de torção em alguns eixos sólidos não circulares comuns na engenharia. • (2)- Tensão de cisalhamento média em tubos de paredes finas com seções transversais fechadas. • 5.6 Concentração de Tensão “Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D.

3. 5.1-Deformação por torção de um eixo circular Para rotações pequenas o comprimento total do eixo longitudinal e do raio não mudam . Imaginando uma extremidade fixa, veremos a linha radial girando um ângulo de torção φ(x) ao longo de x. Torque é o momento que tende a torcer o membro em torno de seu eixo longitudinal.

4. Isolaremos um elemento de comprimento Δx à distância ρ ao longo da linha de raio c; A face anterior e posterior do elemento sofrem respectivamente as rotações φ(x) e φ(x)+Δφ . Essa diferença causa a deformação por cisalhamento γmostrada. Lembrando que; radiano=arco/raio; Vemos no elemento que: Δφ =BD/ρ e γ=BD/ Δx Logo BD =Δφρ = γΔx Fazendo Δφ->dφe Δx->dx evidenciamos a deformação por cisalhamento γ; Vemos que o ângulo φ(x) varia de forma linear ao longo de x, (ângulo entre os planos ilustrados), ou seja dφ/dx = cte, então: γ =ρcte(γ é função linear de ρ, e portanto será máxima em ρ=c) Concluíndo:

5. Pela lei de Hookeτ=Gγ , portanto τmax=G γmax, Substituindo γeγmaxem temos ; Ou seja, a tensão de cisalhamento também varia linearmente emρ; Portanto um elemento dA estará sujeito a uma força dF=τdA, e sujeito a um torque dT=ρdF; Integrando podemos obter o torque total na seção em função de τmax: 5.2-Fórmula da Torção A integral à direita é o momento de inércia polar da área, (J), assim são respect. as fórmulas do cisalhamento máximo e variável com o raio, devido à torção. Obs: Pela propriedade complementar do cisalhamento, o torque T desenvolve tb uma tensão cisalhante paralelamente ao eixo longitudinal na face do elemento : Podendo causar falhas do tipo: Tensão de Torção Máxima Absoluta: Quando o eixo sofrer variação de raio (c) ou uma série de torques externos adicionais ao longo do eixo, devemos pelo método das seções avaliar em qual seção τ=Tc/J será máximo. e

6. Principais Momentos de inércia polar de áreas de seçãocirculares(J) : a) Eixo sólido: consideraremos um elemento de área logo: a) Eixo Tubular (raio externo Ce, e raio interno Ci): Determinamos J ,simplesmente subtraindo Je (do raio externo Ce), de Ji (do raio interno Ci). Exemplo: O eixo maciço de raio c é submetido ao torque T . Determinar T’, como fração de T resistida pelo material da região externa do eixo, entre c/2 e c. Sol: dT =ρ dF, logo uma fração de torque será dado por Selecionando uma faixa branca na região; substituindo deveremos integrar: Lembrando que Então substituindo τmax em T’ relacionaremos T’ e T (total):

7. Fazer:

8. Exmpl: Sol: Da esquerda para direita vemos 4 regiões de torques ctes, traçamos um diag. mostrando os torques internos nas seções destas regiões: Vamos analisar onde a Cis. é máximo através da fórmula: Na região onde torque é 8,5kN.m, (c) e o J são maiores: Onde o torque é 5kN.m, (c) e o J são menores : portanto nesta região menor está o cisalhamento máximo.

9. Fazer:

10. O trabalho (W) transmitido por um eixo em rotação é igual ao Torque (T) multiplicado pelo ângulo de rotação (dθ). W=T.dθ Logo como Potência (P) =W/dt; P=T.dθ/dt aqui dθ/dt =ω (veloc. Angular) e V=ωr, Logo: P=Tω ou P=Tv/r Unidades e conversões: (1 hp = 550 pés • lb/s ) (1cv=735w) e (1hp=1.014cv) 5.3-Transmissão de potência Exmp: Sol: Do enunciado; PA=PB logo TAVA/rA=TBVB/rB Acorreia faz VA=VB , Logo TA/rA=TB/rB TA/2=TB/4 TB=2TA TA é obtido por PA=TA ωA Lembrando de passar a potência para (pés • lb/s ): Então TB=2TA = O raio do eixo será limitado pelo cis.:

11. Fazer:

12. Suponha um eixo de seção transversal circular, que pode variar gradualmente ao longo de seu comprimento. Então a fórmula do torque será: Imaginando comportamento elástico: Que substituído dará a def. por cis. Faremos como em 5.1, retirando a ‘fatia” de espessura dx: Aqui radiano=arco/raio; então: arco=dφρ = γdx Igualando as 2 expressões de def. cis: A integração em todo L nos dará o Ângulo de Torção para o eixo inteiro: Atenção: Então, no caso de torque e área ctes: Essa equação é usada para obter experimentalmente o valor de G numa maquina de rotação quando as outras variáveis são conhecidas. : 5.4-Ângulo de torção

13. Se ao longo do eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, Convenção de sinais para torque e ângulo de torção: Positivo se o dedo se afastar do corpo na extremidade considerada. Exemplo; Sol: Fazemos 3 seções entre os torques aplicados, obtemos seu valor na seção, e pela regra da mão direita seu sinal . O ângulo é obtido com o mesmo sinal do torque aplicando a fórmula de φ; Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes,

14. Ocorre quando as equações de equilíbrio dos MOMENTOS em relação ao eixo de rotação não for suficiente para obter os torques: Ex: Haverão os torques nos apoios (TA e TB) : As eq. de equil. dos momentos em torno de x fornecem: TA e TB são indeterminados. Precisamos de equação de compatibilidade dada pelo ângulo de torção nulo entre A e B: Logo: assim é a eq. de compat. que completa o sistema. Exemplo; Sol: A eq. de eql dos momentos em x será: E as de compatibilidade: Resolvendo o sistema teremos: τmaxestará em BC: 5.5-Elementos estaticamente indeterminados carregados com torque

15. À título de curiosidade:1-Ponto de tensão cisalhante máxima e ângulo de torção em alguns eixos sólidos não circulares comuns na engenharia:

16. À título de curiosidade:2- Tensão de cisalhamento média em tubos de paredes finas com seções transversais fechadas. Com uma análise complexa (aqui suprimida , mas apreciável na bibliografia base) teremos; onde; Importante citar que o fluxo de cisalhamento, é constante em qqptda seção. (portanto a maior tensão de cisalhamento ocorre onde a espessura é menor).

17. Ocorrem em mudanças bruscas de seção transversal tais como; O fator de concentração de tensão K é um multiplicador experimentalmente obtido em função da geometria. Ps: Concentração Máx. no pt preto 5.6-Concentração de tensão Acoplamentos: Rasgos de chaveta; Curvas de concordância: No caso das curvas de concordância; T é obtido pelo método das seções, na longitude (x) c é o raio do eixo menor. K é obtido graficamente.

18. Exemplo: Os elementos estão unidos por um filete de solda de raio r = 4 mm. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo se T = 10 N • m. Sol: O cis. máx. é dado por: Com as dimensões obtemos K na tabela; Pelo método das seções vemos que o torque será T/2na região da solda, Logo;

19. Fazer: O aço usado no eixo tem tensão de cisalhamento admissível de 8 MPa. Supondo que os elementos estejam unidos por um filete de solda de raio r = 2,25 mm, determinar o torque máximo T que pode ser aplicado.

20. MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO! • Bibliografia: • R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.