7. Dua Peubah Acak

1. 7. Dua Peubah Acak Pada banyak percobaan, pengamatan tak hanya dinyatakan oleh satu besaran, tetapi oleh sekumpulan nilai2 peng-amatan. Sebagai contoh, data tinggi dan berat seseorang dalam satu keluarga, atau banyak anggota dan pendapatan keluarga tersebut, memerlukan dua besaran nilai. Sekarang misalkan X and Y menyatakan dua p.a. yang berbasis model peluang (, F, P). Di sini, dan

2. Bagaimana penentuan peluang pasangan p.a. (X,Y) berada dlm suatu daerah D? Misalnya, bagaimana estimasi peluang Untuk mencari solusinya, didefinisikan peluang distribusi bersama dari X dan Y sebagai berikut: dg x dan y adalah sebarang dua bilangan real. Sifat-Sifat Fungsi Peluang Bersama: (i) karena diperoleh (7-1) (7-2)

3. Karena diperoleh hasil (ii) Utk pembuktian (7-3), perhatikan bahwa utk x2 > x1 berlaku dan sifat ME dari kedua kejadian di ruas kanan memberikan yang membuktikan (7-3). Dg cara sama, (7-4) terbukti. (7-3) (7-4)

4. Fig. 7.1 (iii) yg menyatakan peluang (X,Y) berada dalam persegi panjang R0 (Fig. 7.1). Utk membuktikan (7-5), digunakan identitas yg melibatkan berbagai kejadian saling ME di ruas kanan ekspresi berikut (7-5)

5. Ini berakibat dan hasil yang dicari (7-5) diperoleh dari (7-3) dengan y = y2 dan y = y1. FPM Bersama (Joint p.d.f) Per definisi, FPM bersama dari X dan Y dinyatakan oleh dari sini diperoleh rumus yang sangat berguna Juga dengan (7-2), diperoleh (7-6) (7-7) (7-8)

6. Fig. 7.2 Utk mencari peluang (X,Y) berada dalam sebarang daerah (himp Borel 2 dimensi) D, digunakan (7-5) dan (7-7) shg Jadi peluang (X,Y) berada dalam persegi empat seluas x yadl sama dg Dg mengulang prosedur ini thd gabungan persegi2 empat kecil yang saling lepas dalam D, diperoleh hasil yang sangat berguna (7-9)

7. (7-10) (iv) Statistik Margin Dalam konteks beberapa p.a., statistik dari masing-masing p.a. disebut statistik margin. Jadi FX(x) adl statistik FDK margin dari X sedangkan fX(x) adl FPM margin dari X. Catat bahwa setiap distribusi margin bisa diturunkan dari FPM bersama. Sesungguhnya Juga Untuk membuktikan (7-11), digunakan identitas (7-11) (7-12)

8. sehingga Untuk membuktikan (7-12), digunakan (7-7) dan (7-11) yang memberikan dan dg menurunkan thd x dalam (7-13), diperoleh Sampai di sini, diperlukan rumus penurunan di dalam tanda pengintegralan. Dimulai dengan memisalkan Turunannya terhadap x adalah Penerapan (7-16) ke dalam (7-13) menghasilkan (7-14). (7-13) (7-14) (7-15) (7-16)

9. Fig. 7.3 Jika X dan Y diskrit, maka menyajikan FPM bersama dan masing-masing FPM marginnya adalah dan Anggap bahwa ditulis dalam bentuk matriks bujursangkar. Utk mendptkan berdasarkan (7-17), semua entri di baris ke-i ditambahkan. (7-17) (7-18) Asal kata ‘margin’: Di masa/era manual, secara rutin perusahaan2 asuransi mempraktekkan pencatatan jumlah nilai di sebelah kiri dan atas margin suatu bujursangkar yg serupa dg matriks pada Fig 7.3.

10. Dari (7-11) dan (7-12), FPM bersama menyajikan informasi lengkap tentang p.a.-p.a. dan distribusi masing2 p.a. margin-nya bisa dicari dari distribusi p.a. bersamanya. Tetapi apabila diberikan hanya marginnya, (hampir selalu) mustahil mencari p.a. bersamanya. Berikut contoh2 semua diskusi di atas. Contoh 7.1: Cari FPM margin fX(x) danfY(y) dr Solusi: FPM bersama fXY(x,y)konstan pada daerah di arsir dalam Fig. 7.4. Kita bisa menggunakan (7-8) utk menentukan konstan c. Dari (7-8) (7-19) Fig. 7.4  (7-20)

11. Jadi c = 2. Lebih jauh, dari (7-14) dan demikian pula Jelas dalam contoh ini, apabila hanya diberikan fX(x) dan fY(y) spt dalam (7-21)-(7-22), mustahil bisa diperoleh FPM bersama (7-19). Contoh 7.2:X dan Y dikatakan terdistribusi normal (Gauss) bersama jika FPM bersamanya berbentuk: (7-21) (7-22) (7-23)

12. Dg pengintegralan langsung, dg (7-14) dan melengkpai kuadrat dalam (7-23), bisa dibuktikan bahwa Demikian pula Mengikuti notasi di atas, ekspresi (7-23) akan ditulis sbg Sekali lagi, kedua distr margin saja tidak bisa memberikan distribusi lengkap bersama, yaitu FPM bersama (7.23) tak bisa diturunkan hanya dari FPM margin (7-24) dan (7-25). Tetapi ada keadaan khusus di mana distribusi margin selalu bisa digunakan untuk mendapatkan distribusi bersama, yaitu ketika p.a.2-nya saling bebas secara statistik. (7-24) (7-25)

13. Peubah Acak Saling Bebas Definisi: Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas (secara statisitik) jika untuk setiap pasang himp Borel A di sb-x dan B di sb-y, kedua kejadian {X(ξ)  A} dan {Y(ξ)  B} saling independen. Dg menerapkan definisi ini pada kejadian{X(ξ)  x} dan {Y(ξ)  y} bisa disimpulkan bahwa jika p.a. X dan Y saling bebas, maka i.e., Dg kata lain, jika X dan Y saling bebas maka (7-26) (7-27) (7-28)

14. Jika X dan Y berjenis diskrit maka sifat saling bebas antara kedua p.a. berakibat sifat berikut yg berlaku utk setiap i, j Pers (7-26)-(7-29) memberikan prosedur untuk menguji sifat saling bebas. Diberikan fXY(x,y), turunkan FPM margin fX(x) dan fY(y)kemudian amati apakah (7-28) atau (7-29) berlaku valid. Jika YA, maka X dan Y independen dan jika TIDAK, maka keduanya dependen. Kembali ke Contoh 7.1, dari (7-19)-(7-22), bisa diamati langsung bahwa fXY(x,y) fX(x)fY(y). Jadi di sini X dan Y adl dua p.a. dependen. Mudah dilihat kasus yang sama untuk Contoh 7.2, kecuali  = 0. Dg kata lain, distribusi dua p.a. Gauss adl independen, spt kasus (7-23) jika dan hanya jika parameter ke lima,  = 0. (7-29)

15. Contoh 7.3: Diberikan Tentukan apakah X dan Y independen. Solusi: Demikian pula Dalam hal ini, sehingga disimpulkan X dan Y saling independen. (7-30) (7-31) (7-32)