Peubah Acak Diskret Khusus

1. Peubah Acak Diskret Khusus

2. Peubah Acak Bernoulli Misalkan sebuah percobaan yang outcome-nya dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan gagal. Jika X=1 bila outcome-nya berhasil dan X=0 bila outcome-nya gagal, maka fungsi masa peluang dari X adalah P(0) = P(X=0) = 1-p (2.1) P(1) = P (X=1) = p dimana 0≤p≤1 adalah peluang keberhasilan Peubah acak X dikatakan peubah acak Bernoulli jika fungsi massa peluangnya adalah persamaan (2.1)

3. Peubah Acak Binomial • Misalkan dilakukan n percobaan yang bebas, • Masing – masing menghasilkan outcome berhasil dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p. • Jika X adalah banyaknya keberhasilan yang terjadi dari n percobaan, maka X dikatakan peubah acak Binomial dengan parameter (n,p)

4. Peubah Acak Binomial Contoh : Lima koin yang setimbang dilemparkan. Jika outcome-nya diasumsikan bebas, temukan fungsi massa peluang dari banyaknya gambar yang muncul. Suatu ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan berganda, masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab hanya secara menebak – nebak saja memperoleh 10 jawaban yang benar?

5. Peubah Acak Binomial Fungsi massa peluang dari peubah acak Binomial dengan parameter (n,p) adalah

6. Peubah Acak Poisson Peubah acak X yang mengambil salah satu dari nilai 0,1,2,…dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter  jika untuk >0, i=0,1,2,…

7. Peubah Acak Poisson Peubah acak Poisson dapat digunakan sebagai pendekatan peubah acak binomial dengan parameter (n,p) bila n besar dan p cukup kecil sehingga np adalah ukuran yang sedang, sehinggabanyaknya sukses yang terjadi dapat didekati dengan peubah acak Poisson dengan parameter =np.

8. Peubah Acak Poisson Beberapa contoh peubah acak yang mengikuti hukum peluang Poisson • Banyaknya kesalahan cetak suatu halaman dalan satu buku • Banyaknya orang dalam suatu populasi yang hidup sampai 100 tahun • Banyaknya nomor telepon yang salah yang di-dial dalam suatu hari

9. Peubah Acak Poisson Contoh : Misalkan suatu mesin cetak membuat kesalahan secara acak pada kertas cetak, rata – rata 2 kesalahan tiap kertas. Hitung peluang bahwa dalam satu kertas yang dicetak, terdapat satu kesalahan cetak

10. Peubah Acak Geometrik Misalkan percobaan yang bebas, masing – masing dengan peluang sukses adalah p, 0<p<1, dilakukan sampai suatu sukses terjadi. Jika X adalah banyaknya percobaan yang diperlukan, maka P ( X = n ) = (1-p)n-1p n = 1,2,… Peubah acak X yang mempunyai fungsi massa peluang seperti di atas dikatakan peubah acak geometrik dengan parameter p

11. Peubah Acak Geometrik Hitunglah peluang bahwa seseorang yang melemparkan sekeping uang logam yang setimbang, memerlukan 4 lemparan sampai diperoleh sisi gambar Suatu keranjang yang terdiri dari N bola putih dan M bola hitam. Bola diambil secara acak, sampai bola hitam terambil. Diasumsikan setiap bola yang terambil dikembalikan lagi sebelum pengambilan berikutnya, berapa peluang bahwa (1) tepat n pengambilan diperlukan

12. Peubah Acak Binom Negatif Misalkan percobaan bebas, masing – masing dengan peluang sukses p, 0<p<1, dilakukan sampai diperoleh r sukses. Jika X adalah banyaknya percobaan yang diperlukan, maka Peubah acak yang fungsi massa peluangnya mengikuti persamaan di atas dikatakan sebagai peubah acak binom negatif dengan parameter (r,p)

13. Peubah Acak Binom Negatif Hitunglah peluang seseorang yang melemparkan tiga uang logam akan mendapatkan semua sisi gambar atau semua sisi angka untuk yang kedua kalinya pada lemparan yang kelima

14. Peubah Acak Binom Negatif Seorang dokter anak ingin merekrut 5 pasang suami istri yang mempunyai anak. Dia berharap agar kelima pasangan tersebut bersedia mengikutkan anak pertama mereka mengikuti suatu program pengembangan intelegensia. Jika peluang suatu pasangan bersedia mengikutkan anaknya mengikuti program tersebut adalah 0.2, berapa peluang bahwa pasangan ke-15 yang ditanya adalah pasangan kelima yang bersedia mengikutkan anaknya mengikuti program tersebut

15. Peubah Acak Hipergeometrik Misalkan bahwa sebuah contoh berukuran n diambil secara acak (tanpa pengembalian) dari suatu wadah yang berisi N bola, dimana Np diantaranya berwarna putih dan N-Np berwarna hitam. Jika X adalah banyaknya bola putih yang terambil maka fungsi massa peluang dari X adalah Peubah acak X yang mempunyai fungsi massa peluang seperti pada Persamaan di atas untuk suatu nilai n,N,dan p dikatakan peubah acak hipergeometrik

16. Peubah Acak Hipergeometrik Seseorang hendak menanami halaman belakang dan depan rumahnya dengan tanaman bunga. Dari sebuah kotak yang berisi 3 umbi tulip dan 4 umbi mawar, ia mengambil 3 umbi secara acak untuk ditanam di halaman depan dan sisanya ditanam di halaman belakang. Berapa peluang ketika musim berbunga tiba di halaman depan berbunga 1 tulip dan 2 mawar?

17. Suatu perusahaan mempunyai 20 doktor dengan 5 diantaranya adalah doktor terbaik di bidang teknik. Suatu tim yang terdiri dari 10 orang akan dibentuk untuk menyelesaikan suatu permasalahn yang cukup berat. Berapa peluang kelima doktor terbaik yang dimiliki oleh perusahaan tersebut masuk dalam tim yang akan dibentuk?

18. Soal –soal • Tabel berikut menampilkan fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak diskret. Tentukan fungsi massa peluangnya k012345 F(k)00.10.30.70.81.0 2. Dari dua percobaan berikut, mana yang lebih besar peluangnya : (1) munculnya 9 Gambar dalam pelemparan 10 koin yang seimbang (2) munculnya 18 Gambar pada pelemparan 20 koin yang setimbang.

19. 3. Disebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja dan sejenisnya ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja? 4. Sebuah panitia yang terdiri dari 5 orang diambil secara acak dari 3 perempuan dan 5 laki – laki. Carilah sebaran peluang bagi banyaknya perempuan dalam panitia itu.

20. 5. Hitunglah peluang bahwa seseorang yang melemparkan sekeping uang logam yang setimbang, memerlukan 4 lemparan sampai diperoleh sisi gambar. 6. Rata – rata jumlah hari sekolah ditutup karena salju selama musim dingin adalah 4. Berapa peluang bahwa sekolah – sekolah di kota tersebut akan tutup selama 6 hari dalam suatu musim dingin.

21. 7. Peluang penduduk di suatu kota mempunyai anjing diduga sebesar 0.3. Hitunglah peluang bahwa orang yang kesepuluh yang diambil secara acak untuk diwawancarai dalam kota ini adalah orang kelima yang mempunyai anjing. 8. Seorang ilmuwan menginokulasikan beberapa tikus, satu demi satu dengan suatu bakteri penyakit sampai ia memperoleh 2 tikus yang terkena penyakit itu. Bila peluang terjangkiti penyakit itu adalah 1/6, berapa peluang bahwa dalam percobaan itu diperlukan 8 tikus?

22. 9. Peluang bahwa seseorang siswa berhasil lolos tes scoliosis adalah 0.004. Diantara 1875 siswa yang dites scoliosis, hitunglah peluang terdapat kurang dari 5 yang tidak berhasil lolos dari tes itu. 10. Misalkan bahwa secara rata – rata 1 diantara 1000 orang membuat kesalahan angka dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10000 formulir diambil secara acak dan diperiksa, berapa peluang terdapat 7 formulir yang mengandung kesalahan?

23. 11. Misalkan bahwa mesin pesawat terbang bekerja tidak tergantung satu dengan lainnya dan peluang mesin itu rusak adalah 1/5. Seandainya pesawat terbang selamat bila sekurang – kurangnya separuh dari jumlah mesinnya bekerja dengan baik, tentukan mana yang berpeluang selamat lebih besar pesawat bermesin 4 atau pesawat bermesin 2? 12. Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.4. Bila 15 orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa • sekurang – kurangnya 10 orang dapat sembuh • ada 3 sampai 8 orang yang sembuh • tepat 5 orang yang sembuh

24. 13. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan berganda, masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab hanya secara menebak – nebak saja memperoleh 5 sampai 10 jawaban yang benar? 14. Perusahaan telpon melaporkan bahwa di antara 5000 pemasang telpon baru, 4000 menggunakan telpon ‘ tombol ‘. Bila 10 di antara pemasang baru tersebut diambil secara acak, berapa peluang tepat ada 3 orang yang menggunakan tipe putar?

25. 15. Dari 12 peluru kendali, 5 diambil secara acak dan ditembakkan, bila diantara 12 peluru itu terdapat 3 peluru yang rusak sehingga macet bila ditembakkan, berapa peluang bahwa • kelima-limanya berhasil ditembakkan? • Sebanyak-banyaknya 2 yang macet? 16. Misalkan peluangnya seseorang akan mempercayai suatu cerita mengenai hidup setelah mati adalah 0.8. Berapa peluang bahwa • Orang keenam yang mendengar cerita itu adalah yang keempat yang mempercayainya? • Orang ketiga yang mendengar cerita itu adalah yang pertama yang mempercayainya