1 / 35

Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluangnya

3. Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluangnya. Peubah Acak Diskrit. Jika ruang sampel suatu percobaan bersifat diskrit Peubah acak yang memetakan hasil percobaan tsb akan bersifat diskrit pula. Contoh: Voice Lines.

olinda
Download Presentation

Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluangnya

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 3 Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluangnya

  2. Peubah Acak Diskrit • Jika ruang sampel suatu percobaan bersifat diskrit • Peubah acak yang memetakan hasil percobaan tsb akan bersifat diskrit pula.

  3. Contoh: Voice Lines • Suatu sistem komunikasi telepon pada perusahaan terdiri dari 48 jalur eksternal. • Pada suatu waktu, sistem tsb diamati, dan terdapat beberapa jalur yang sedang digunakan. • X: jumlah jalur yang sedang terpakai. • X bilangan bulat dari 0, 1, 2, …, 48. • Jika pada suatu waktu sistem diamati dan terdapat 10 jalur yang terpakai, maka x = 10.

  4. Contoh: Keping Konduktor • Pada suatu sistem produksi keping konduktor, 2 keping diambil secara acak. • Setiap keping diklasifikasikan sebagai cacat atau tidak cacat. • Diasumsikan peluang terpilihnya satu keping yang tidak cacat adalah 0.8, dan masing-masing pengambilan saling bebas • X: jumlah keping cacat pada dua pengambilan

  5. Contoh: Keping Konduktor • Ruang sampel dari percobaan dan peluangnya tersaji pada Tabel 3-1. • Peluang bahwa keping 1 tidak cacat dan keping 2 cacat: • P(TC,C) = 0.8 * 0.2 = 0.16.

  6. Sebaran Peluang • Sebaran peluang dari peubah acak X adalah suatu gambaran nilai peluang untuk masing-masing nilai yang mungkin bagi X. • Untuk suatu peubah acak diskrit, sebaran peluang dapat berupa: • Daftar/tabel seluruh nilai yang mungkin bagi X dengan peluangnya masing-masing. • Rumus/fungsi yang digunakan untuk menghitung peluang dengan menggunakan nilai peubah acak X sebagai input.

  7. Contoh: Digital Channel • Terdapat peluang terjadi kesalahan penerimaan transmisi (satuan bit: kode 0 atau 1) dari suatu channel pengiriman. • X: jumlah bit yang diterima secara salah pada 4 transmisi berikutnya. • Sebaran peluang yang bersesuaian dapat disajikan dalam bentuk grafik atau tabel. Figure 3-1 Probability distribution for bits in error.

  8. Fungsi Massa Peluang • Penyajian sebaran peluang dalam bentuk fungsi dengan X sebagai input atau daerah asal untuk X peubah acak diskrit

  9. Sifat Fungsi Massa Peluang Sec 3-2 Probability Distributions & Probability Mass Functions

  10. Contoh: Kontaminasi Keping • X adalah peubah acak yang menyatakan jumlah keping konduktor yang harus diperiksa sampai diperolehnya keping dengan partikel kontaminan. • Asumsi: peluang bahwa keping mengandung partikel kontaminan adalah 0.01, and that the wafers are independent. • p menyatakan keping mengandung partikel & a menyatakan keping tidak mengandung partikel atau absent. • Ruang sampel: S = {p, ap, aap, aaap, …} • Kemungkinan nilai X : x = 1, 2, 3, 4, …

  11. Fungsi Sebaran Kumulatif • Dari contoh transmisi • Dapat dinyatakan peluang terjadinya 3 bit atau kurang jumlah kesalahan penerimaan: P(X ≤ 3). • Kejadian (X ≤ 3) adalah gabungan dari kejadian yang mutually exclusive/saling lepas (X=0), (X=1), (X=2), (X=3). • Dari tabel: P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.9999 P(X = 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 2) = 0.0036 Sec 3-3 Cumulative Distribution Functions

  12. Sifat Fungsi Sebaran Kumulatif Fungsi sebaran kumulatif dibentuk dari fungsi massa peluang

  13. Contoh: Fungsi Sebaran Peluang • Fungsi massa peluang dapat ditentukan dari fungsi sebaran kumulatif Figure 3-3 Graph of the CDF

  14. Ukuran-ukuran Penting Pada Suatu Sebaran Peluang • Mean adalah ukuran pemusatan dari suatu sebaran peluang. • Varians adalah ukuran ketersebaran dari suatu sebaran peluang. • Akarnya adalah simpangan baku

  15. Sebaran Seragam Diskrit • Sebaran diskrit yang paling mudah. • Peubah acak X diasumsikan terbatas untuk nilai-nilai tertentu, dengan peluang sama bagi masing-masing nilai. • Untuk setiap kemungkinan nilai X: x1, x2, …, xn, fungsi peluangnya: f(xi) = 1/n (3-5)

  16. Contoh: Sebaran Seragam Diskrit Digit-digit pertama dari suatu nomor serial, dapat saja berupa angka angka 0 s/d 9 masing-masing dengan kemungkinan yang sama. X : angka pada digit pertama nomor serial X mempunyai sebaran seragam diskrit. Figure 3-7 Fungsimassapeluangf(x) = 1/10 untukx= 0, 1, 2, …, 9

  17. Sebaran Seragam Diskrit secara Umum • X adalah peubah acak diskrit dengan kemungkinan nilai a sampai dengan b untuk a < b. • Terdapat b – (a-1) nilai pada selang tersebut. Sehingga: f(x) = 1/(b-a+1) • Ukuran pemusatan dan penyebaran: μ = E(x) = 1/(b-a) σ2 = V(x) = [(b-a+1)2–1]/12

  18. Contoh: Jumlah jalur telepon X: jumlah jalur telepon yang sedang digunakan dari 48 jalur yang ada. X diasumsikan menyebar secara seragam (diskrit) pada selang 0, 1, …, 48. Tentukan ukuran pemusatan dan penyebaran bagi X.

  19. ContohPeubahAcak Binomial • Melemparkoin 10 kali. X= # gambardari 10 kali lemparan. • Suatumesinmenghasilkanprodukdenganjumlahcacat 1% darikeseluruhanproduksi. X= # jumlahcacatpada 25 unit yang diproduksisecaraberurutan. • Soalujianpilihanbergandadengan 10 pertanyaandan 4 pilihanjawabansetiappertanyaan. X= # jawaban yang benardari 10 pertanyaan. • Dari 20 bayi yang barulahir. X= # bayiperempuandari 20 bayi yang barulahirtsb.

  20. Sifat-sifatsebaran Binomial • Jumlahpercobaan yang tetap(n). • Setiappercobaanhanyaterdiridarisuksesdangagal. Xadalahjumlahsuksesdarinpercobaantsb. • Peluangsuksesdarisetiappercobaanadalahtetap, misalkansebesarp. • Hasildaripercobaan yang dilakukanberturut-turutsalingbebas.

  21. Contoh: Digital Channel Peluangbahwatransmisi bit melalui channel digital diterimasecarasalahadalah 0.1. Diasumsikanbahwa Assume that the transmission trials are independent. Let X = the number of bits in error in the next 4 bits transmitted. Find P(X=2). Answer: Let E denote a bit in error Let O denote an OK bit. Sample space & x listed in table. 6 outcomes where x = 2. Prob of each is 0.12*0.92 = 0.0081 Prob(X=2) = 6*0.0081 = 0.0486 Sec 3=6 Binomial Distribution

  22. Contoh: Digital Channel • Peluangbahwatransmisi bit melalui channel digital diterimasecarasalahadalah 0.1. • Diasumsikanbahwasetiaptransmisiterjadidengansalingbebas. • X= jumlah bit yang salahditerimapada 4 bit yang ditransmisikan. • TentukanP(X=2). Sec 2-

  23. Dinotasikan bit yang salahdengan E dan bit yang benardengan O • Ruangsampeldannilaix (jumlahkesalahanpada 4 transmisi) ditampilkanpadatabel. • Terdapat 6 hasildenganx= 2. • Masing-masingdenganpeluang: 0.12*0.92= 0.0081 • Prob(X=2) = 6*0.0081 = 0.0486

  24. DefinisiSebaran Binomial • SebarandaripeubahacakXdimana: • Xadalahjumlahsuksesdarinpercobaanpeluangsuksesp, 0 < p < 1 and n = 0, 1, .... • Fungsimassapeluangnya:

  25. Contoh: PolusiOrganik • Setiapsampel air yang diambildarisuatusungaimempunyai10% kemungkinanmengandungpolutan. • Diasumsikanbahwasampel-sampeldiambilsecarabebas. • Tentukanpeluangbahwapada 18 pengambilansampelberikutnyaakandiperolehtepat 2 sampel yang mengandungpolutan.

  26. Xjumlahsampel yang mengandungpolutandari 18 sampel yang diambil. • Masing-masingsampelhanyamungkinmengandungatautidakmengandungpolutan. • MakaXadalahpeubahacak binomial denganp= 0.1 dann = 18

  27. Tentukanpeluangbahwa paling sedikitterdapat 4 sampel yang mengandungpolutan. Sec 2-

  28. Tentukanpeluangbahwaakanada 3 sampaidengan 7 sampeldenganpolutan .

  29. Mean danVariansSebaran Binomial Xadalahpeubahacakdengan parameter ndanp μ = E(X) = np and σ2 = V(X) = np(1-p)

  30. Contoh: Padakasustransmisi bit, dengann=4 danp=0.1. Tentukan mean (rata-rata) danvarians (ragam) darijumlahkesalahantransmisi! KarenaXadalahjumlahkesalahandari 4 transmisi bit menyebar binomial maka: μ = E(X) = np = 4*0.1 = 0,4 σ2 = V(X) = np(1-p) = 4*0.1*0.9 = 3.6 σ = SD(X) = 1.9

  31. Sebaran Poisson Jikajumlahpercobaan (n) padapercobaan binomial semakinbanyak(menujutakhingga) dan rata-rata binomial (np) tetap, makasebaran binomial menjadisebaran Poisson.

  32. ContohSebaran Poisson PeubahacakX yang menyebar Poisson menyatakanjumlahkejadianpadaselangtertentu. • Jumlahpartikelkontaminasi per kepingkonduktor • Jumlahcacatdisetiapgulungantekstil. • Jumlahteleponmasuk per jam. • Frekuensilistrikpadam per bulan. • Jumlahpartikel atom yang dipancarkandarisuatuspesimen per detik. • Jumlahcacatpadasetiap meter kabel. Sec 3-9 Poisson Distribution

  33. DefinisiSebaran Poisson • PeubahacakXadalahjumlahkejadianpadaproses Poisson dengan parameter λ> 0, danfungsimassapeluang:

  34. Mean (rata-rata) danVarians (ragam) SebaranPoisson JikaX adalahpeubahacak Poisson dengan parameter λmaka: μ = E(X) = λ and σ2=V(X) = λ

  35. ContohJumlahKerusakan per Meter Kabel • Diasumsikanbahwajumlahkerusakan yang terjadidisetiap meter kabelmenyebarsecara Poisson dengan rata-rata 2.3 cacat per meter. • Xmenyatakanjumlahcacat per meter kabel. • Rata-rata berfungsisebagaiλ, sehinggaλ = 2.3. • Peluangbahwaterdapattepatduacacatpadasuatu meter kabeladalah: Sec 2-

More Related