A logika

1. A logika PTE-FEEK Informatikus-könyvtáros Bsc 2007

2. Mi a logika? • A logika ésszerűséget jelent. Ha valami nem szabályos, akkor az vét az ész szabályai ellen. Logikán minden olyan beszédet, gondolkodást, cselekedetet, viselkedést értünk, amelyben az ésszerűséget véljük felfedezni, a nem logikus dolgokban pedig az ésszerűtlenséget fedezzük fel. A logika az ésszel, a rációval van összefüggésben.

3.  A logika története A logika a görög logosz szóból származik. Jelentése beszéd, gondolat. Az egyik legrégebbi tudomány, hiszen magába foglalja a klasszikus ókori filozófiai logikát éppen úgy, mint a modern matematikai logikát. A logika – akár a filozófia, akár a matematika részeként tekintjük – a gondolkodás törvényszerűségeit kutatja. A matematikai logika egyrészt önálló ága a matematikának, másrészt annak különböző részterületei közti összefüggéseket is kutatja a megfelelő szimbólumrendszer bevezetésével.

4. Mi szükség van a logikára? • Mi a szerepe, funkciója, értelme a logikának? Az emberi élet elválaszthatatlan eleme, az életben maradás függhet a helyes döntéstől, viselkedéstől. Nem iktatható ki az emberi viselkedés keretei között.

5. A mindennapi élet logikája Hol, milyen szinten jelenik meg a logika? A döntéshozatal a logika egyik funkciója, gondolati úton, és a helyes döntés meghozatala. Egy faluban 3 féle ember él: igazmondó, mindig hazudó és felemás (következetesen egyszer igazat mond, aztán hazudik). A tűzoltóságon csörög a telefon. A telefonáló beleszól: „Ég a templom!” A tűzoltóparancsnok visszakérdez: „Melyik csoportba tartozol?” „A felemásba.” - szól a válasz, és a hívó lecsapja a kagylót. Kérdés: Ki kell-e menni a templomhoz.

6. A mindennapi élet logikája Válasz: Nem kell kimenni! Igazmondó nem lehet (akkor a saját csoportját mondta volna), ha hazudós, akkor nem ég a templom, ha felemás, akkor igazat mondott a csoportjáról, tehát a templom nem ég, mert akkor hazudott. Preferencia: Támogatott vagy kizáró szempontok. A logika a helyes alternatívák felállítása után a preferenciák alapján szűkíti a kört, és ezúton a leghelyesebb megoldáshoz vezet.

7. A mindennapi élet logikája A logika mindig közvetett módon nyilvánul meg számunkra. Az egyik hordozó közege a logikának a nyelv, a cselekedet (ez is a gondolkodás által nyilvánul meg), a viselkedés. A nyelv, a beszéd (kommunikáció) teszi lehetővé, hogy valamiről azt mondhassuk, logikus vagy logikátlan. A nyelv egy szélesebb közegbe integrálódik, a kommunikáció folyamatába illeszkedik bele.

8. Mi a kommunikáció és hol jelenik meg benne a logika? A kommunikáció valamilyen üzenet továbbítása. Mindig van egy közlő és egy befogadó. Az üzenet a közlőben érzés formájában jelenik meg. Az érzetet nem tudjuk megtapasztalni. Ahhoz, hogy az érzetből üzenet váljék, a belül meglévő érzetet kódolni kell. Kódolás: valamilyen megtapasztalható formába átültetni az üzenetet.

9. Mi a kommunikáció és hol jelenik meg benne a logika? Két formája van: 1. Nem verbális kód alkalmazása (testi kommunikáció). 2. Verbális (nyelvi)kódolás. Az üzenetet a befogadónak értelmeznie (dekódolni) kell. Van verbális és nem verbális dekódolás. Ha ez létrejön, akkor a kommunikáció betölti funkcióját a befogadónál.

11. A logika története Bár a logikus gondolkodás mondhatni egyidős az emberiséggel, a logika, mint tudomány, fejlődésének első nagy fordulópontja az ókorra tehető.A logikára nagy hatást gyakorló gondolkodók közül legelsőként az éleai Zénón említhető meg, akinek híres apóriái nagy hatással voltak az őt követő gondolkodókra is.Később Szókratész az indukcióval, fogalmakkal és állításokkal foglalkozott különböző elméletek felállításának kapcsán.

12. A logika története Arisztotelészlogikai szempontból legfontosabb műve az Organon, ezen belül is az Első Analitika és a Második Analitika címet viselő könyvek, melyben tulajdonképpen megalapozta a logikát. Következtetéseket állított fel, ahol már betűkkel jelölte a bennük előforduló változtatható részeket. Három logikai alapszabályt határozott meg, melyek oly sokáig az egyetlen alapját képezték a matematikának. Ezek a következők voltak: azonosság elve, ellentmondás elveés a harmadik kizárásának elve.

13. A logika története A sztoikusok vezették be a kijelentésváltozókata logikában. Korábban Arisztotelész csak a fogalmakra használt változókat. A sztoikus filozófiai iskola alapítója a kritoniZénón volt. Másik nagy alakja pedig Khrűsziposz, akineknevéhez fűződik sztoikus logika rendszerezése. Az arisztotelészi logika nagy hatást gyakorolt a gondolkodókra, tudósokra mintegy kétezer éven keresztül, hiszen szinte bármely tudományban alkalmazható volt.

14. A logika története Ennek következtében a középkorban a logika közel azonos szinten maradt. A skolasztikusOccam nevéhez fűződnek fontos eredmények ebben az időszakban. Ugyanebben a korban fontos szerepet játszott IbnSzina(Avicenna) Alexandriában, aki rendszerezte a görög tudományokat Arisztotelész logikán alapuló rendszerét továbbfejlesztve. Sokáig lassan fejlődött a matematikai logika. A nagy lépés Boole és De Morgan nevéhez fűződik. Boole mutatta ki, hogy a formális logika törvényeit a matematikában is lehet használni, s leírta az általa bevezetett szimbólumokkal a logika legalapvetőbb törvényeit. De Morgan vele egy időben ugyanilyen eredményre jutott.

15. A logika története • A 19. században kapott új lendületet a logika fejlődése. Venn a szimbolikus logika vizsgálatával foglalkozott. Peano pedig a természetes számok vizsgálata során alkalmazott logikai eszközöket. • A Cantor által felépített halmazelméletben több ellentmondás (antinómia) is felmerült, melyek közül az elsőt épp Cantor maga tárta fel. Ez a matematikai válság azonban újabb lendületet adott a logika fejlődésének, hiszen az ellentmondások mindegyike a kétértékű logikán, mégpedig a „harmadik kizárásának elvén” alapult. • Először Lukasiewicz vetette fel a háromértékű logika lehetőségét, ahol egy állításnak három logikai értéke lehet:- igaz- hamis- harmadik lehetőség (pl. eldönthetetlen).

16. A logika története • Ez az elmélet a gyakorlatban is felhasználható. Kvantummechanikai alkalmazhatóságának egyik felfedezője Neumann János volt. • A fuzzy (fuzzy = elmosódott, bolyhos, nem éles határú) logika még tovább ment. Míg a kétértékű logikában csak a 0 (hamis) és az 1 (igaz) logikai érték lehetséges, addig itt bármely 0 és 1 közötti számértéket fölvehet. A többértékű logika gondolatát a halmazelméletben először Zadeh vezette be az ún. fuzzy-részhalmaz fogalmán keresztül. Ebből kiindulva felépíthetővé vált egy teljes matematikai irányzat (fuzzy-matematika), melynek egy ága a fuzzy-logika. Míg a hagyományos kétértékű logika és a technika összefonódásának köszönhető a számítógép, addig a fuzzy-logika főként a vezérlést forradalmasította (videó kamerák, porszívók, mosógépek készülnek ezen technika segítségével)

17. Mi az ítélet? • Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis.Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük.Jelölése: • i igaz • h hamis

18. Mi az ítélet? • A 2 páros és prím.Logikai értéke pedig igaz. • A mákos tészta egyik alapanyaga a mustár.Ennek logikai értéke hamis. • Most következzen egy mondat, ami nem ítélet:Hazudok. Ennek nem dönthető el a logikai értéke, hiszen:1. ha igaz, akkor hazudok, tehát hamis2. ha hamis, akkor igazat mondok, vagyis igaz.

19. Az elemi ítélet és az ítélet • Az elemi ítélet olyan ítélet, amely nem bontható tovább más ítéletekre.Minden ítélet egy vagy több elemi ítélet logikai műveletekkel való összekapcsolásával hozható létre. • Egy összetett ítélet:A 2 páros és prím. • Ez két elemi ítélet összekapcsolása az ÉS logikai művelettel.

20. Az elemi ítélet és az ítélet

21. A logikai műveletek

22. Legyen A illetve B ítélet a következő.A: A gomba növény. (logikai értéke: h)B: A kukorica növény. (logikai értéke: i)C: A gorilla emlős. (logikai értéke: i) • Ebből képezhetünk összetett ítéleteket. Például a következőket.

24. A negáció • Jele: • A negáció az ítélet tagadása.Ha p igaz, akkor p hamis.Ha pedig p hamis, akkor p igaz. • Példa:p: Süt a nap.Ha a "süt a nap" kijelentés igaz, akkor a "nem süt a nap" kijelentés hamis.Ha a "süt a nap" kijelentés hamis, akkor a "nem süt a nap" kijelentés igaz.

25. A negáció

26. A konjunkció • Jele:  • Ha két vagy több ítéletet összekapcsolunk az ÉS kötőszóval, új ítéletet kapunk. Ez a logikai művelet a konjunkció.Egy konjunkciólogikai értéke csak akkor igaz, ha a benne szereplő ítéletek mindegyikeigaz. Egyébként hamis. • Példa:r: A hidrogén nemesgáz.s: A hidrogén vegyjele H.A hidrogén nem nemesgáz, tehát az állítások közül az első hamis. A hidrogén vegyjele H, tehát a második állítás igaz. Így a "hidrogén nemesgáz ÉS vegyjele H" állítás  hamislesz.

27. A konjunkció

28. A diszjunkció • Jele:  • Ha két vagy több ítéletet összekapcsolunk a VAGY kötőszóval, új ítéletet kapunk. Ez a logikai művelet a diszjunkció.Egy diszjunkciólogikai értéke akkor igaz, ha a benne szereplő ítéletek közül legalább az egyik igaz. Egyébként hamis. • Példa:r: A kukorica növény.s: A kukorica állat.A kukorica növény, tehát az állítások közül az első igaz. A kukorica nem állat, tehát a második állítás hamis. Így a "kukorica növény vagy állat" állítás igazlesz, mivel legalább az egyik teljesült.

29. A diszjunkció

30. Az antivalencia • Jele:  • Olyan vagy művelet, amely akkor igaz, ha a benne szereplő állítások közül pontosan egy igaz. Egyébként hamis. • Példa:r: Rendet rakok a szobámban.s: Kimegyek görkorcsolyázni.A "VAGY rendet rakok a szobámban, VAGY kimegyek görkorcsolyázni." mondat hamis, ha mindkét állítás igaz.Azaz akkor igaz, ha rendet rakok a szobámban, de nem korcsolyázom, vagy ha korcsolyázom, de nem rakok rendet.

31. Az antivalencia

32. Az implikáció • Jele:  • Ha p és q két állítás, akkor a HA p, AKKOR q alakú új állítást implikációnak, vagy következtetésnek nevezzük, és azt jelenti, ha p igaz, akkor q is igaz. Ezt úgy mondjuk, hogy "p implikálja q-t".Az implikáció csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény hamis ( p igaz, de q hamis). Az implikáció tehát két részből áll:

33. Az implikáció • r: esik az esős: vizes a járdaA r s implikáció így hangzik: "Ha esik az eső, akkor vizes a járda". Ennek logikai értéke igaz. A s r implikáció, ami az előző megfordítása pedig így hangozhat: "Ha vizes a járda, akkor esik az eső". Amint látjuk ennek lehet hamis is a logikai értéke, például, ha egy locsoló kocsi járt arra.Láthatjuk tehát, hogy egy implikációnak és megfordításának nem feltétlenül egyezik meg a logikai értéke.

34. Az implikáció

35. Az ekvivalencia • Jele: • Ha egy implikációnak és megfordításának logikai értéke megegyezik (vagy egyszerre igaz, vagy egyszerre hamis), akkor ezt ekvivalenciának nevezzük. Ha például p qigaz, és megfordítása q p is egyszerre igaz, akkor implikációnak nevezzük. Vagy ha r s hamis, és megfordítása s r is egyszerre hamis, akkor szintén implikációról beszélünk.Tehát az implikáció így írható fel: (p q) (q p)Az ekvivalenciát a "p akkor és csak akkor, ha q" alakban szoktuk megfogalmazni. Példa:p: A háromszög egyenlő oldalúq: A háromszög minden szöge egyenlőp q: A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha minden szöge egyenlő. Ezt megfogalmazhatnánk két implikáció formájában is:Ha a háromszög egyenlő oldalú, akkor minden szöge egyenlő. ÉS Ha a háromszög minden szöge egyenlő, akkor egyenlő oldalú.

36. Az ekvivalencia

37. A Sheffer művelet • Jele: | • Kizárásnak is szokás nevezni. A művelet logikai értéke csak akkor hamis, ha az ítéletek közül mindkettő igaz.Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Sheffer művelet akkor igaz,ha legalább az egyik állítás hamis.

38. Táblázatban ábrázolva: A Sheffer művelet

39. A sem-sem művelet • Jele: ~ • A művelet logikai értéke csak akkor igaz, ha az ítéletek közül mindkettő hamis.

40. Táblázatban ábrázolva: A sem-sem művelet

41. Legyenek p, q, r és s a következő ítéletek!p: Szép nap van.q: Még a rabkocsiból is nóta hangzik.r: Kutyák futkosnak az árokszélen.s: Mindenki remekül tölti az időt. • 1. feladat: Fogalmazd meg a következő kijelentéseket!a) p  rb) p  s  qc) r  s

42. a) Szép nap van és kutyák futkosnak az árokszélen.b) Ha szép nap van, akkor mindenki remekül tölti az időt, és még a rabkocsiból is nóta hangzik.c) Vagy kutyák futkosnak az árokszélen, vagy mindenki remekül tölti az időt.

43. a) Szép nap van és kutyák futkosnak az árokszélen.b) Ha szép nap van, akkor mindenki remekül tölti az időt, és még a rabkocsiból is nóta hangzik.c) Vagy kutyák futkosnak az árokszélen, vagy mindenki remekül tölti az időt. • Írd fel a következő mondatokat logikai jelek segítségével!a) Mindenki remekül tölti az időt, és kutyák futkosnak az árokszélen.b) Ha nem futkosnak kutyák az árokszélen, akkor mindenki remekül tölti az időt.c) Akkor és csak akkor tölti mindenki remekül az időt, ha még a rabkocsiból is nóta hangzik.

44. a) s  r • b) r  s • c) s  q

45. Add meg a következő kifejezés logikai értékét, ha p igaz, q igaz, r hamis, s hamis. a) p  q  b) q  s  c) s  p d)  s e) q  r f) s~r

46. a) igaz, mert ha az implikáció feltétele és következménye is igaz, akkor az implikáció is igaz.b) igaz, mert az antivalencia akkor igaz, ha az ítéletek közül pontosan az egyik igaz, itt pedig q igaz, és s hamis.c) igaz, mert a Sheffer művelet csak akkor hamis, ha mindkét ítélet igaz, itt pedig az egyik (s) hamis.d) igaz, mert s hamis, ezért negációja (tagadása) igaz.e) igaz, mert a diszjunkció akkor igaz, ha legalább az egyik ítélet igaz.f) igaz, mert a sem-sem művelet csak akkor igaz, ha mindkét ítélet hamis. Itt pedig r és s is hamis.

47. A király két ajtó elé állította a rabot, majd így szólt:- Két ajtót láthatsz. Azt nem lehet tudni, hogy melyik hova vezet. Lehet, hogy mindkettő a halálba, lehet, hogy mindkettő a szabadsághoz, de az is lehet, hogy az egyik ide, a másik oda. Az ajtókon feliratokat találsz. Vagy mindkét felirat igaz, vagy mindkettő hamis. Válassz!

48. Ha a második felirat hamis lenne, akkor az első ajtó a szabadságot jelentené. Tehát teljesülne az első felirat. Márpedig vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis. Így kizártuk, hogy mindkettő hamis, ezért mindkét felirat igaz. Ekkor a rab a 2. ajtót választotta, és megmenekült.

49. A király ismét kiválasztott egy rabot, és a két ajtó elé állította:- A társad megmenekült, s ha te is szeretnél szedd össze magad, mert nehezítettem a feladaton. Ha a szabadságba vezet az 1. ajtó, akkor a rajta lévő felirat igaz, ha a halálba, akkor hamis. A 2. ajtónál pedig pont fordítva. Ha a szabadságba vezet, akkor hamis, ha a halálba, akkor igaz. Melyik ajtót nyissuk ki?

50. A két felirat egyforma, tehát vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis.Nézzük meg először azt az esetet, ha mindkettő igaz. Eszerint mindkét ajtó a szabadságba vezet. Tehát a második is. Ekkor viszont a második feliratnak hamisnak kell lennie, és ez ellentmond annak, hogy mindkét felirat igaz. Tehát csak egy lehetőség maradt: mindkét felirat hamis. Ekkor pedig az első ajtó mögött a hóhér várja a rabot, a második mögött pedig a szabadság.