KELOMPOK 9

1. KELOMPOK 9 MATRIKS + ANGGA ( 01111076 ) + CHAIRIL ( 01110053 ) + JEFRY ( 01111065 ) + RYAN ( 01111085 ) + RIDHO ( 01111078 ) + NUR ARISA (

2. MATRIKS Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung. (JOSEP BINTANG KALANGI, MATEMATIKA EKONOMI & BISNIS buku 2, hal 113)

3. KONSEP MATRIKS Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya. Contoh : Kolom ke 1 A = Kolom ke 2 baris ke 1 baris ke 2

4. Kolom ke 1 A = Kolom ke 2 baris ke 1 baris ke 2 Matriks A mempunyaiduabarisdanduakolom. Oleh karenaitukitakatakanbahwamatriks A berordo2 X 2 ditulisA2x2atau(a22). “Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.”

5. KESAMAAN MATRIKS Matriks A danmatriks B dikatakanberordosamaatauberukuransamajikabanyaknyabarisdanbanyaknyakolompadamatriks A samadenganbanyaknyabarisdanbanyaknyakolompadamatriks B. Contoh : Matriks A berordosamadenganmatriks B, yaitu2 x 3 Definisi: Duabuahmatriks A dan B dikatakansama (ditulis A = B), jika : a. Matriks A dan B mempunyaiordosama. b. Unsur-unsur yang seletak padamatriks A danmatriks B sama. A = B = dan

6. MACAM-MACAM MATRIKS

7. MATRIKS BARIS Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh : A = ( 4 3 2 4 )

8. MATRIKS KOLOM Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom Contoh : A =

9. MATRIKS PERSEGI ATAU MATRIKS BUJUR SANGKAR Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom Contoh : Contoh : A = , jumlah baris = jumlah kolom

10. MATRIKS NOL Matriks Nol adalahSuatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n ,ditulis dengan huruf O Contoh : O2X3 =

11. MATRIKS SEGI TIGA Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah ataudiatas diagonal utama semuanya 0 (nol). Contoh : C = , D =

12. MATRIKS DIAGONAL Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol. Contoh : E =

13. MATRIKS SKALAR Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama. Contoh : F =

14. MATRIKS IDENTITAS ATAU MATRIKS SATUAN Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf I. Contoh : I3 = , I4 = I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

15. MATRIKS SIMETRIS Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji. Contoh : G = Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga

16. MATRIKS MENDATAR Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom. Contoh : H2X3 =

17. MATRIKS TEGAK Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contoh :K3x2 =

18. MATRIKS TRANSPOS ( notasi At ) Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A. Misal Matriks A = Maka Transpos A adalah At = Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

19. SIFAT-SIFAT MATRIKS TRANSPOS 1) ( A + B )t = At + Bt 2) ( At )t = A 3) ( AB )t = Bt At

20. OPERASI MATRIKS

21. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN 2 MATRIKS Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan ataudikurangkan.

22. CONTOH Jika A = , dan B = Maka A + B = = A - B = =

23. BEBERAPA SIFAT YANG BERLAKU PADA PENJUMLAHAN MATRIKS 1) A + B = B = A( Sifat Komutatif) 2) (A + B) + C = A + ( B + C)(Sifat Asosiatif) 3) A + 0 = 0 + A = A(Sifat Identitas tambah)

24. PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A = (aij), maka MatrikskA = (kaij) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Jadi, jika A = , maka : kA = Contoh : Misal A = , maka 3A = 3 = =

25. SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL Jika a dan b bilangan real, maka : • ( a + b )A = aA + bA • a ( A + B ) = aA + aB • a( bA ) = (ab)A

26. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS) Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B yang berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn. A mxp.Bpxn = C mxn Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

27. Secara umum jika A = >>ordo matriks 2x3 B = >> ordo matriks 3x2 C = A . B = >> ordo matriks 2x2 Dimana

28. DETERMINAN MATRIKS Determinan matriks 𝐴 di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks dinotasikan dengan det 𝐴 atau |𝐴|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real.

29. DETERMINAN MATRIKS ORDO 2x2 Jika Matriks A = maka det (A) = |A| = | |= ad – bc Contoh : P = maka, det (P) = |P| = | | = (2.3) – (1.(-6)) = 6+6 = 12

30. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3 Untuk mencari determinanmatriks berordod apatdigunakan dua metode, sebagaiberikut: • MetodeSarrus • MetodeEkspansiKofaktor

31. METODE SARRUS Cara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan matriks ordo 3×3. Cara sarrus : i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga. ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan.

32. Jika Matriks B = maka det (B) = |B| = = ptx + quv + rsw – vtr –wup – xsq Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.

33. METODE EKSPANSI KOFAKTOR • Pengertian Minor . Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖j adalah matriks bagian dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen - elemennya pada baris ke-𝑖 dan elemen elemen pada kolom ke-𝑗. Contoh : Q = maka, M11 = , M12 = , M13 = M11,M12 , M13 merupakan sub,matriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q

34. b. PengertianKofaktorKofaktorsuatuelemenbariske-𝑖 dankolomke-𝑗darimatriks A dilambangkandengan 𝐾𝑖j =(−1)𝑖+𝑗. |𝑀𝑖j| = (−1)𝑖+𝑗.det (𝑀𝑖.j) Penentuantandadrdeterminanmatrikspersegiberodo 3x3 : Untukmencaridet (A) dg metodeekspansikofaktorcukupmengambilsatuekspansisajamisalekspansibarike -1

35. CONTOH 𝑄 = Untuk mendapatkan det(𝑄) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu determinan – determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu : M11= , det(𝑀11) = 11 ; M12= , det(𝑀12) = -32 ; M13= , det(𝑀13)=− 47 det(𝑄)= 𝑘11.𝑞11+𝑘12.𝑞12+𝑘13.𝑞13 = (−1)1+1.|𝑀11|.𝑞11+ (−1)1+2.|𝑀12|.𝑞12 + (−1)1+3.|𝑀13|.𝑞13 =11.3 − (−32).2 + (−47).4 =33+64−188 = −91

36. ADJOIN MATRIKS Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (k ij )T CONTOH : k11= (-1)1+1 | =11 ; k12= (-1)1+2 =32 ; k13= (-1)1+3 =−47 ; k21= (-1)2+1 =2 ; k22= (-1)2+2 | |=−19 ; k23 = (-1)2+3 =8 ; k31= (-1)3+1 =−18 ; k32= (-1)3+2 =−11 k33= (-1)3+3 =18

37. Adj Q = = • Jika A= maka kofaktor-kofaktornya adalah k11= d, k12 = − c, k 21= − b dan k 22 = a. Kemudian Adj A = = Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya.

38. INVERS MATRIKS Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1. Definisi: Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B. Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka berlaku: A x A-1 = A-1 x A= I Dimana I adalah matrik identitas.

39. INVERS MATRIKS ORDO 2×2 Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2 Misalkan A = invers dari A adalah A-1, yaitu • A-1 = , dengan det A ≠ 0

40. Contoh : Tentukan invers dari matriks D = Jawab : det D = = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9 D-1= = = =

41. INVERS MATRIKS ORDO 3×3 Contoh: B = , tentukan B-1! Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka : Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . B33 = (-1)3+1 .0+(-1)3+2 .0+(-1)3+3 .6 = 0 + 0 + 24 = 24

44. MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel =

45. CONTOH TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIANSISTEM PERSAMAAN LINIER BERIKUT 2x + y = 4 3x + 2y = 9 =

46. Persamaan Matriks diatas dapat ditulis menjadi AX =B, A = , X = , B = det A = | | = 1 dan A-1 = 1/1 = Oleh karena itu, X =A-1B  = = Jadi, HP adalah {(-1, 6)}

47. METODE CRAMER • metode cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu sistem persamaan linier Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat di kerjakan dengan metode cramer, jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A)≠0.