1 / 15

EU-8-49 – DERIVACE FUNKCE V (věty o derivaci funkcí)

EU-8-49 – DERIVACE FUNKCE V (věty o derivaci funkcí). MOTIVACE VĚTY o derivaci součinu dvou funkcí. Na obrázku vidíme graf funkce y = x . sin x [ y = f(x) . g (x) ] . Ukažme si nejdříve výpočet derivace použitím

quincy
Download Presentation

EU-8-49 – DERIVACE FUNKCE V (věty o derivaci funkcí)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. EU-8-49 – DERIVACE FUNKCE V (věty o derivaci funkcí)

  2. MOTIVACE VĚTY o derivaci součinu dvou funkcí Na obrázku vidíme graf funkce y = x . sin x [y = f(x) . g(x)]. Ukažme si nejdříve výpočet derivace použitím definice derivace, pokusme se „objevit“ vzorec pro výpočet derivace součinu dvou funkcí.

  3. Výpočet derivace funkce y = x . sin x pomocí definice derivace: y = x . sinx  y' = [x . sinx]' = (x)'. sinx + x . (sinx)' = sinx + x . cosx y = f(x) . g(x)  y' = [f(x) . g(x)]' = f'(x). g(x) + f(x) . g'(x) VĚTA 1: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x0. Potom má v bodě x0 derivaci funkce f(x) . g(x) a platí: [f(x) • g(x)]'(x0) = f'(x0) • g(x0) + f(x0) • g'(x0).

  4. Přímý důkaz věty: 1. předpoklad - Funkce f(x) má v bodě x0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 2. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 3. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x0 vlastní derivaci, to znamená, že platí:

  5. Je tedy patrné, že nemůžeme mechanicky přenášet zkušenost z derivování součtu a rozdílu funkcí na derivování součinu dvou funkcí. • ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD – derivujte funkci

  6. MOTIVACE VĚTY o derivaci podílu dvou funkcí Na obrázku vidíme funkce y = x [funkce f(x)] a y = x2 + 1 [funkce g(x)]. Jejich vydělením [f(x) : g(x)] dostaneme novou funkci o rovnici Chceme vypočítat derivaci "nové" funkce v libovolném bodě x0 definičního oboru funkce [to je množina všech reálných čísel]. Pomocí definice derivace dostaneme:

  7. Z výpočtu derivace je zřejmé, že nebude platit pravidlo „derivace podílu je rovna podílu derivací“. Jak tedy vypočítáme derivaci podílu dvou funkcí? VĚTA 2: Předpokládejme, že funkce f(x) a g(x) mají derivaci (vlastní) v bodě x0 a g(x0)  0.Potom má v bodě x0 derivaci funkce f(x)/g(x) a platí: Přímý důkaz věty:

  8. 1. předpoklad - Funkce f(x) má v bodě x0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 2. předpoklad – Funkce g(x) má v bodě x0 vlastní derivaci. To znamená, že existuje limita: 3. předpoklad - funkce g(x) má v bodě x0 vlastní derivaci, to znamená, že platí: 4. předpoklad - g(x0)  0

  9. ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD • DŮLEŽITÝ PŘÍKLAD – odvození derivace funkce y = tg x pomocí věty 2

  10. DŮLEŽITÝ PŘÍKLAD – POROVNÁNÍ odvození derivace funkce y = tg x pomocí definice derivace

  11. Vypčítejte derivace následujících funkcí v libovolném bodě definičního oboru. (Vždy určete definiční obor dané funkce a její derivace.)

  12.  ŘEŠENÍ ÚLOH Úloha 1 Úloha 2

  13. Úloha 3 Úloha 4

  14. Úloha 5 Úloha 6 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

More Related